Εκπαιδευτικό πρόγραμμα Αποτελέσματα Έρευνας - Συγγραφή, Δημοσίευση & Παρουσίαση Επιστημονικών Εργασιών Ανοικτό Εργαστήριο 2012-13 Διδάσκων: Μωυσής Μπουντουρίδης, Αν. Καθηγητής

1. Η Επιστήμη των ∆ικτύων
Μια Πολύ Σύντομη Εισαγωγική Παρουσίαση
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης
Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών
mboudour@upatras.gr
23 Απριλίου 2013
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

2. Τι είναι ένα δίκτυο;
Ερώτηση: Τι είναι ένα πράγμα;
Απάντηση:
Από πλευράς υλικής υπόστασης.
Και από πλευράς λειτουργικής συμπεριφοράς.
Υλική περιγραφή: Ποια είναι τα στοιχεία του πράγματος;
Λειτουργική συμπεριφορά: Πώς συμπεριφέρονται, τι κάνουν, τι
παράγουν, πώς δρουν τα στοιχεία του πράγματος;
Ερώτηση: Τι είναι ένα δίκτυο;
Απάντηση:
Υλική–οντολογική υπόσταση: ´Ενα δίκτυο
περιλαμβάνει πολλαπλά πράγματα (πολλά
στοιχεία, ομοιογενή ή ανομοιογενή).
Λειτουργική ικανότητα: ´Ενα δίκτυο λειτουργεί με
τις διαδράσεις των πραγμάτων που περιλαμβάνει
(θετικές–αρνητικές αλληλεξαρτήσεις, συμπληρωματι-
κότητα–συντονισμός [δράση–δράση] ή ανταγωνι-
σμός–αντίθεση [δράση–αντίδραση]).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

3. Φαινομενολογικός–Τυπικός Ορισμός ∆ικτύου
Φαινομενολογικά, έτσι όπως καταλαβαίνουμε εννοιολο-
γικά τι είναι ένα δίκτυο:
´Ενα δίκτυο είναι ένα σύνολο παραγόντων ή φορέων
δράσης, που ονομάζονται δρώντες (actors), οι οποίοι
σχετίζονται μεταξύ τους με κάποια μορφώματα
διαδραστικής συμπεριφοράς, που ονομάζονται
δεσμοί (ties) ή σχέσεις διάδρασης (interactions).
Τυπικά, έτσι όπως αναλύεται μαθηματικά (στην Θεωρία
Γράφων [Graph Theory]) ή αναπαρίσταται μέσω γραφι-
κών οπτικοποιήσεων (visualizations):
´Ενα δίκτυο είναι ένα σύνολο κόμβων (ή κορυφών ή
σημείων), οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με
κάποια συγκεκριμένα μορφώματα συνδέσμων (links),
που είτε δεν έχουν κατεύθυνση (οπότε είναι ακμές ή
γραμμές) ή έχουν κατεύθυνση (οπότε είναι τόξα)
(το αντίστοιχο μαθηματικό–τυπικό αντικείμενο
ονομάζεται μη κατευθυνόμενος γράφος στην πρώτη
περίπτωση ή κατευθυνόμενος γράφος στην δεύτερη
περίπτωση).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

4. Euler: Οι 7 Γέφυρες του K¨nigsberg
o
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

5. Βασικοί Συμβολισμοί Θεωρίας Γράφων
a pair (V, E), where V is a ένα of vertices E), όπου τοpoints), and E
´Ενας γράφος G είναι set ζεύγος (V, (also called V είναι
ένα σύνολο κορυφών (ή κόμβων ή σημείων) και το E
called lines).
είναι ένα σύνολο ακμών (ή γραμμών ή συνδέσμων ή
er of vertices is called the order of a graph and the number of edges is cal
συνδέσεων).
h.
´Ετσι, ο γράφος γράφεται ως G = (V, E) κι, όταν χρειάζεται να επισημάνουμε
aph Gότι το VE) the vertex κορυφών του γράφου G, γράφουμε V = V(theκαι, set E
= (V, είναι το σύνολο set V is often denoted V (G) and G) edge
παρόμοια, ότι το E είναι το σύνολο ακμών του G, γράφουμε E = E(G).
e ∈ EΚάθε ακμή e ∈ E ενός γράφου G of(V, E) αντιστοιχεί σε If u κορυφές του associat
is associated with a pair = points from V . δυο and v are
συνόλου V, οι οποίες αποτελούν τα δυο άκρα της ακμής. ´Οταν τα άκρα της
y are called ethe endpoints of e,και v ∈ V, γράφουμε u = (orv){u, v} to represent
ακμής ∈ E είναι οι κορυφές u we often write e v u, . Σημειωτέον ότι
οι ακμές δεν έχουν κατεύθυνση, δηλαδή, e = (u, v) = (v, u).
2 Ο γράφος G = (V, E) με V = {v1 , v2 , v3 , v4 } και E = {(v1 , v3 ), (v2 , v3 ), (v3 , v4 )}:
v1 v2
❅
❅
v4 ❅v3
❅
V = {v1 , v2 ,Α. 3 }, E = {{v3Η, Επιστήμη των v3 }, {v1 , v3 }}
Μωυσής v Μπουντουρίδης v4 }, {v2 , ∆ικτύων

6. erve that G1 ⊕ G2 = G1 ∪ G2 . However, usually for ring sums we have the same vert
Τύποι Γράφων
= V2 , but different edge sets E1 = E2 , whereas for unions we often want disjoint unions,
= ∅.
e aware that ´Ενας βρόχος (loop) είναι μια ακμή πουIn particular, some vauthors use G1 ∨ G
notations for these operations vary. ενώνει μια κορυφή με τον
join and take G1 +της, to= (v,av).
εαυτό G2 e be disjoint union.
∆υο (ή περισσότερες) ακμές ονομάζονται παράλληλες αν τα άκρα τους
είναι οι ίδιες κορυφές.
Directed ´Ενας γράφος χωρίς βρόχους και χωρίς παράλληλες ακμές ονομάζεται
Graphs
tion 10 απλός, ενώ διαφορετικά ονομάζεται πολλαπλός γράφος (multi–graph).
´Ενας γράφος ονομάζεται γράφος με βάρη (weighted graph) και
directed graph or digraphως G = (V, (V, E), where V is a set of points (also called vertices
συμβολίζεται is a pair E, w), αν σε κάθε ακμή του e αντιστοιχεί ένα
nd E is a setβάρος ή μια pairs of(e) ∈ R. from V called arcs.
of ordered τιμή w points
ach arc´Ενας E is associated with an ordered pair G είναι ένα ζεύγος If u ), όπου τοassociat
e ∈ κατευθυνόμενος γράφος ή διγράφος of points from V . (V, Eand v are
ith the edge e they are called the endpoints of e,ήwe often write τοvEor (u, v) to represent t
V είναι ένα σύνολο κορυφών (ή κόμβων σημείων) και u είναι ένα
σύνολο τόξων με το κάθε τόξο e ∈ E να αντιστοιχεί σε ένα διατεταγμένο
rc e. ζεύγος κορυφών (u, v) έτσι ώστε να κατευθύνεται από την κορυφή u προς
την κορυφή v.
xample κατευθυνόμενος γράφος G = (V, E) με V = {v1 , v2 , v3 , v4 } και E = {(v1 , v3 ), (v3 , v2 ), (v4 , v3 )}:
Ο 11
v1 v2
❅ ✻
❅
v4 ✲ v3
❅
❘
❅
VΜωυσής 1Α.vΜπουντουρίδης {(v4 , v3 ), (v3 , των ∆ικτύων3 )}
= {v , 2 , v3 }, E = Η Επιστήμη v2 ), (v1 , v

7. ∆ιμερείς Γράφοι
´Ενας γράφος ονομάζεται διμερής
(bipartite), όταν υπάρχει ένας
διαμερισμός του συνόλου των
κορυφών του V σε δυο μέρη
(τμήματα), το U και το W, δηλαδή,
V = U ∪ W (όπου U ∩ W = ∅), έτσι
ώστε όλες οι ακμές να πηγαίνουν
από το U στο W και να μην
υπάρχει καμιά ακμή ούτε μεταξύ
κορυφών του U ούτε μεταξύ
κορυφών του W.
Προβολές διμερούς γράφου:
u1
u1 2 u2 w1
u2 w1
2 w2
1 1 2 2
u3
u3 u4 w3 w2 w3
1 u4 1
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

8. Το δίκτυο των Αθλίων του Βίκτωρος Ουγκώ
Σχήμα: Το δίκτυο των σχέσεων μεταξύ των κύριων χαρακτήρων των
Αθλίων του Βίκτωρος Ουγκώ (τα χρώματα αντιστοιχούν σε κοινότητες, που
υπολογίσθηκαν εκ των υστέρων) (Newman Girvan, Finding and evaluating
community structure in networks, Physical Review E, 2004, 69: 026113).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

9. ∆ίκτυο Φιλίας Μελών Λέσχης Καράτε
Σχήμα: ∆ίκτυο φιλίας των 34 μελών μιας Πανεπιστημιακής λέσχης καράτε
(Zachary, An information flow model for conflict and fission in small groups,
Journal of Anthropological Research, 1977, 33: 452-473).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

10. Το ∆ίκτυο των Στενών Συνεργατών του Σαντάμ
Σχήμα: Το δίκτυο του εσωτερικού κύκλου των στενών συνεργατών του
Σαντάμ Χουσεΐν (Barabasi et al., Network Science Book,
´
http://barabasilab.neu.edu/networksciencebook/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

11. ∆ίκτυο Φιλίας Μαθητών του Faux Magnolia High School
Σχήμα: Το δίκτυο φιλίας 1461 μαθητών του Faux Magnolia High School
χωρίς απομονωμένους κόμβους (Goudreau et al., A statnet Tutorial, Journal of
Statistical Software, 2008, 24(9): 1-27).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

12. Κατηγοριοποιήσεις ∆ικτυακών ∆ρώντων
Οι δρώντες ενός δικτύου μπορεί να είναι:
Ατομα (άνθρωποι) με διαφορετικά δημογραφικά
´
χαρακτηριστικά (όπως φύλο, φυλή–έθνος, υπηκοότητα,
ηλικία, εκπαίδευση, εργασία, οικονομική κατάσταση, κατοικία
κλπ.) ή σε διαφορετικές ψυχο–σωματικές καταστά-
σεις [πχ., ασθένειες, υγεία, βάρος, ευτυχία κλπ.] ή με διαφο-
ρετικές ιδέες–πεποιθήσεις–τοποθετήσεις–προτιμήσεις
για κάποια πολιτιστικά ή πολιτικά ή οικονομικά κλπ. ζητήματα.
Ομάδες ατόμων (όπως οργανώσεις, εταιρίες, θεσμικά σώματα,
κράτη κλπ.).
Οργανισμοί (ζωικοί ή βιολογικοί).
Υλικά πράγματα (όπως βιβλία, εργασίες, επιστημονικοί
κλάδοι, μέσα επικοινωνίας–πληροφόρησης, τεχνουργήματα
[artifacts], εμπορεύματα, μηχανές, υπολογιστές, διαδικτυακά
σάϊτ/σελίδες κλπ.).
Συναθροιστικά γεγονότα (όπως συμφωνίες, ψηφοφορίες,
εκθέσεις, διαδηλώσεις διαμαρτυρίας, συμβάντα, περιστάσεις,
τακτικές συναντήσεις σε χώρους επικοινωνίας ατόμων ή
οργανώσεων για συγκεκριμένους σκοπούς κλπ.).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

13. ∆ίκτυο Παχύσαρκων Ατόμων
Σχήμα: ∆ίκτυο παχύσαρκων ατόμων (Christakis Fowler, The spread of
obsesity in a large social network over 32 years, New Englnd Journal of
Medicine, 2007, 357(4): 370-379).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

14. ∆ίκτυο Ευτυχισμένων Ατόμων
Σχήμα: ∆ίκτυο ευτυχισμένων ατόμων (Fowler Christakis, Dynamic spread
of happiness in a large social network: Longitudinal analysis over 20 years in the
Framingham Heart Study, British Medical Journal, 2008, 337(768): a2338).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

15. Το ∆ίκτυο των Φλωρεντιανών Οίκων
Σχήμα: Το δίκτυο των γάμων μεταξύ των μεγάλων Οίκων της
Φλωρεντίας του μεσαίωνα (Padgett Ansell, Robust action and the rise of the
Medici, 1400–1434, American Journal of Sociology, 1993, 98(6): 1259-1319).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

16. ∆ίκτυο Συνεργασίας στην Santa Fe
Σχήμα: ∆ίκτυο συνεργασίας επιστημόνων του Ινστιτούτου Santa Fe (Girvan
Newman, Community structure in social and biological networks, Proceedings of
the National Academy of Sciences of the USA, 2002, 99: 8271-8276).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

17. Τροφικός Ιστός του Οικοσυστήματος μιας Λίμνης
Σχήμα: Το δίκτυο του τροφικού ιστού (food web) του οικοσυστήματος της
Λίμνης Little Rock του Wisconsin (Martinez, Artifacts or attributes? Effects of
resolution on the Little Rock Lake food web, Ecological Monographs, 1991, 61:
367-392).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

18. ∆ίκτυο Φαινοτυπικών Ασθενειών
Σχήμα: ∆ίκτυο φαινοτυπικών ασθενειών (Hidalgo, Blumm, Barabasi
´
Christakis, A Dynamic Network Approach for the Study of Human Phenotypes,
PLOS Computational Biology, http://www.ploscompbiol.org/article/info%
3Adoi%2F10.1371%2Fjournal.pcbi.1000353).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

19. ∆ίκτυο Πρωτεϊνών Ζύμης
Σχήμα: ∆ίκτυο πρωτεϊνών ζύμης (Maslov Sneppen, Specificity and stability
in topology of protein networks, Science, 2002, 296: 910-913).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

20. Κατηγοριοποιήσεις ∆ικτυακών ∆ιαδράσεων
Οι διαδράσεις σε ένα δίκτυο μπορεί να είναι:
Κοινωνικές σχέσεις μεταξύ ατόμων (όπως φιλίας,
συγγένειας, συναισθηματικής φύσης, σεξουαλικής σχέσης,
αρέσκειας–δυσαρέσκειας, εμπιστοσύνης–δυσπιστίας κλπ.).
Κοινωνικές σχέσεις αλληλεξάρτησης (όπως διδάσκο-
ντα–διδασκόμενου, προϊστάμενου–υφιστάμενου, συνεργασίας,
υποστήριξης, αλληλοβοήθειας, παροχής συμβουλών,
εμπορικών–οικονομικών συναλλαγών κλπ.).
Κοινωνικές σχέσεις αντιπαλότητας (όπως διαφωνίας,
αντιπαραθέσεων, έχθρας, φόβου, ανταγωνισμού κλπ.).
´Εμμεσες σχέσεις διαμοιρασμού ή συμμετοχής σε
κοινά γεγονότα (όπως σε οργανώσεις, συμβάντα,
λέσχες–κλαμπ, συλλόγους, συμβούλια, σχολεία,
θεσμούς–ιδρύματα, καταγωγής ή διαμονής σε γεωγραφικές
περιοχές, συν–δημοσιεύσεων, βιβλιογραφικών αναφορών,
διάδοσης γνώσης, κοινωνικής επιρροής, κοινών ασχολιών,
επαναλαμβανόμενων συνηθειών, όπως χρήσης ναρκωτικών, κλπ.,
μετάδοσης [contagion] ασθενειών κ.ά. ή διάχυσης ιών κ.ά. κλπ.).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

21. ∆ίκτυο Ερωτικών Σχέσεων
Σχήμα: ∆ίκτυο ερωτικών σχέσεων (Bearman et al., Chains of affection: The
structure of adolescent romantic and sexual networks, American Journal of
Sociology, 2004, 110: 44-91) σε οπτικοποίηση του Mark Newman
(http://www-personal.umich.edu/~mejn/networks/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

22. Το Internet
Σχήμα: Το δίκτυο των ISPs του Internet (Cheswick Burch, Internet Atlas Gallery,
http://www.caida.org/projects/internetatlas/gallery/ches/data.xml).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

23. Το Facebook
Σχήμα: Το δίκτυο επικοινωνίας του Facebook (Barabasi et al., Network
´
Science Book, http://barabasilab.neu.edu/networksciencebook/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

24. ∆ίκτυο Twitter
Σχήμα: Μια συνεκτική συνιστώσα ενός δικτύου Twitter για τους φόνους
στο σχολείο Sandy Hook στο Newtown, CT, στις 14 ∆εκεμβρίου 2012.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

25. ∆ίκτυο Παραπομπών στην Κοινωνιολογία
Σχήμα: ∆ίκτυο βιβλιογραφικών παραπομπών στην Κοινωνιολογία από δεδομένα του Jim Moody
(http://orgtheory.wordpress.com/2009/08/14/sociologys-citation-core/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

26. ∆ίκτυο (∆ια–)Κλειδωμένων ∆Σ Εταιριών
(Interlocking Directorates)
Σχήμα: ∆ίκτυο (∆ια–)Κλειδωμένων (Interlocking Directorates) ∆ιοικητικών Συμβουλίων Εταιριών
από κοινές συμμετοχές στελεχών σε αυτές
(http://orgtheory.wordpress.com/2011/08/19/theyrule-net-interlocking-boards/,
http://theyrule.net/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

27. ∆ίκτυο Συμμετοχών σε Κοινωνικές Εκδηλώσεις
Γυναικών του Νότου
Σχήμα: ∆ίκτυο συμμετοχών–μαζώξεων σε 14 συμβάντα κοινωνικών
εκδηλώσεων 18 γυναικών του Αμερικάνικου Νότου (Davis, Gardner Gardner,
Deep Douth, University of Chicago Press, 1941).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

28. ∆ίκτυο Ψηφοφοριών στο Ανώτερο ∆ικαστήριο
των ΗΠΑ
Σχήμα: ∆ίκτυο ψηφοφοριών στο Ανώτερο ∆ικαστήριο των ΗΠΑ με τις συνεχόμενες γραμμές να
συμβολίζουν θετικές ψήφους και τις διακοπτόμενες γραμμές αρνητικές ψήφους (Mrvar Doreian,
Partitioning signed two-mode networks, Journal of Mathematical Sociology, 2009, 33: 196-221).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

29. ∆ίκτυο Επιτροπών στην Βουλή των
Αντιπροσώπων των ΗΠΑ
420
ARTICLE IN PRESS
M.A. Porter et al. / Physica A 386 (2007) 414–438
APPROPRIATIONS
BUDGET
ENERGY/COMMERCE VETERANS’ AFFAIRS
INTELLIGENCE
ARMED SERVICES
HOUSE ADMINISTRATION AGRICULTURE
OFFICIAL CONDUCT
RULES TRANSPORTATION
HOMELAND SECURITY
SMALL BUSINESS
RESOURCES
EDUCATION
GOVERNMENT REFORM
WAYS AND MEANS
SCIENCE
INTERNATIONAL RELATIONS
JUDICIARY
FINANCIAL SERVICES
Fig. 4. (Color) Network of committees (squares) and subcommittees (circles) in the 108th US House of Representatives, color-coded by
Σχήμα: the parent standing and select committees. (The depicted labels indicate the parent committee of each group but do not identify the
∆ίκτυο επιτροπών (τετράγωνα) και υπο–επιτροπών (κύκλοι) στην 108η Βουλή των
location of that committee in the plot.) As with Fig. 2, this visualization was produced using a variant of the Kamada–Kawai spring
Αντιπροσώπων των ΗΠΑ (Porter, Mucha, Newman Friend, Community structure in the United States
embedder, with link strengths (again indicated by darkness) determined by normalized interlocks. Observe again that subcommittees of the
same parent committee are closely connected to each other.
House of Representatives, Physica A, 2007, 386: 414-438).
Security Committee shares only one common member (normalized interlock 2.4) with the Intelligence Select
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων
Committee (located near the 1 o’clock position in Fig. 5) and has no interlock at all with any of the four

30. Χαρακτηριστικά ∆ρώντων και ∆ιαδράσεων
∆ιαφορετικές κατηγορίες (ή τύποι) δρώντων ή διαδράσεων μπορούν
να ενοποιηθούν σε ομάδες, στις οποίες ορίζεται ένα χαρακτηριστικό
(attribute), που παίρνει διαφορετικές τιμές σε κάθε ομάδα.
Γενικώς, κάθε χαρακτηριστικό μπορεί να θεωρηθεί ως μια μεταβλητή,
είτε ποσοτική (συνεχών ή διακριτών τιμών) ή ποιοτική (διατακτικών
[ordinal] ή ονομαστικών] [nominal] τιμών). Π.χ.:
Αρρενες και θήλεις δρώντες ομαδοποιούνται κάτω από το
´
(ποιοτικό) ονομαστικό χαρακτηριστικό του φύλου.
∆ρώντες διαφορετικού βάρους ομαδοποιούνται κάτω από το
(ποσοτικό) συνεχές χαρακτηριστικό του βάρους.
∆ιαδράσεις ηλεκτρονικής επικοινωνίας ομαδοποιούνται κάτω από
το (ποσοτικό) διακριτό χαρακτηριστικό του πλήθους ή της
συχνότητας των ανταλλασσόμενων μηνυμάτων (σε κάποια
περίοδο).
∆ιαδράσεις διαφορετικών βαθμών της σχέσης φιλίας ομαδοποιού-
νται κάτω από το (ποιοτικό) διατακτικό χαρακτηριστικό της
διαβάθμισης της έντασης της σχέσης φιλίας.
∆ιαδράσεις συμπάθειας–αντιπάθειας ομαδοποιούνται κάτω από
το (ποιοτικό) διατακτικό (δυαδικό) χαρακτηριστικό του
πρόσημου (θετικού ή αρνητικού) της σχέσης.
Οι αντίστοιχοι γράφοι είναι οι γράφοι με βάρη ή (τιμές) (weighted–
valued graphs) στους κόμβους ή στους συνδέσμους. Ειδικά στο τελευ-
ταίο παράδειγμα, ονομάζονται προσημασμένοι γράφοι (signed graphs).
´Ενα δίκτυο, στο οποίο οι ίδιοι δρώντες διατηρούν περισσότερες της
μιας διαφορετικές διαδράσεις ονομάζεται πολυσχιδές (multiplex).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

31. ∆ίκτυο Φιλίας Μαθητών του Faux Magnolia High School με το
Χαρακτηριστικό του ´Ετους Φοίτησης των Μαθητών
Σχήμα: Το δίκτυο φιλίας 1461 μαθητών του Faux Magnolia High School με
το χαρακτηριστικό του έτους φοίτησης των μαθητών και χωρίς
απομονωμένους κόμβους (Goudreau et al., A statnet Tutorial, Journal of
Statistical Software, 2008, 24(9): 1-27).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

32. ∆ίκτυο Φιλίας με το Χαρακτηριστικό της Φυλής των Μαθητών
Σχήμα: ´Ενα δίκτυο φιλίας μαθητών με το χαρακτηριστικό της φυλής των μαθητών (κίτρινο
λευκοί, πράσινο μαύροι, κόκκινο άλλης φυλής) και χωρίς απομονωμένους κόμβους (Moody, Race,
school integration, and friendship segregation in America, American Journal of Sociology, 2001, 107:
679-716) σε οπτικοποίηση του Mark Newman (http://www-personal.umich.edu/~mejn/networks/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

33. Το ∆ίκτυο Βιοτεχνολογίας–Βιομηχανίας στις
ΗΠΑ
Σχήμα: Το δίκτυο των σχέσεων Βιοτεχνολογίας–Βιομηχανίας στις ΗΠΑ (Powell, White, Koput
Owen–Smith, Network Dynamics and Field Evolution: The Growth of Interorganizational Collaboration in the
Life Sciences, American Journal of Sociology, 2005, 110(4): 1132-1205,
http://eclectic.ss.uci.edu/~drwhite/Movie/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

34. Το ∆ίκτυο των Χωρών με Μεγάλο Χρέος
Σχήμα: Το δίκτυο των χωρών με μεγάλα χρέη (Barabasi et al., Network
´
Science Book, http://barabasilab.neu.edu/networksciencebook/).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

35. ∆ικτυακές Αναλύσεις
1 Κοινωνικά ∆ικτυακά ∆εδομένα
Ερωτηματολόγια και συνεντεύξεις
Ιστορικά αρχεία και αρχεία τύπου
Βιβλιομετρικά και επιστημομετρικά δεδομένα
∆εδομένα από το Internet (μηνύματα, ιστοσελίδες,
μπλογκ, κοινωνικά μέσα)
Σχεσιακά Μεγάλα ∆εδομένα (Big Data) και Ανοικτά
∆εδομένα (Open Data)
2 ∆ικτυακά Μέτρα
Βαθμοί κόμβων
Κεντρικότητες κόμβων
Συντελεστής συσσώρευσης και μεταβατικότητα
Αμοιβαιότητα συνδέσμων
Αποστάσεις κόμβων
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

36. 3 ∆ικτυακοί διαμερισμοί
Συνεκτικές συνιστώσες και κλίκες
k–πυρήνες
Πυρήνας–περιφέρεια
Ισοδυναμίες κόμβων (δομική και κανονική)
Ομαδοποίηση σε μπλοκ Blockmodeling
Κοινότητες (Communities)
Ταξινομησιμότητα (assortativity) και ανάμειξη (mixing)
4 ∆ικτυακά μοντέλα
Κοινωνική επιρροή
∆ιάχυση (μοντέλα SIR και SIS)
Τυχαίοι γράφοι Erd¨s–Renyi
o ´
∆ίκτυα μικρών κόσμων (small–worlds)
∆ίκτυα χωρίς κλίμακα (scale–free)
Αυξανόμενα τυχαία δίκτυα και το μοντέλο
Barabasi–Albert
´
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

37. Βαθμοί Κόμβων
Γείτονες: ´Εστω ο μη κατευθυνόμενος γράφος G = (V, E) και i, j ∈ V
δυο κορυφές του. Η j λέγεται γείτονας της i όταν (i, j ) ∈ E.
Πίνακας Γειτνίασης (Adjacency Matrix): Είναι ένας
(συμμετρικός) πίνακας A = {Aij }i,j∈V τάξης |V| × |V| τέτοιος ώστε
Aij = 1, όταν i, j γείτονες, Aij = 0, διαφορετικά.
Βαθμοί: Στο μη κατευθυνόμενο γράφο G, ο βαθμός μιας κορυφής i,
που συμβολίζεται ως ki , ορίζεται σαν το πλήθος των γειτόνων του i,
δηλαδή, το πλήθος των συνδέσεων που προσπίπτουν στο i.
Προφανώς, ισχύει:
ki = Aij = Aij
j ∈V i ∈V
κι, επιπλέον,
ki = Aij = 2|E|
i ∈V i,j ∈V
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

38. ´Εστω τώρα ο κατευθυνόμενος γράφος G = (V, E), για τον οποίον ο
αντίστοιχος πίνακας γειτνίασης A = {Aij } είναι μη συμμετρικός.
Ο βαθμός εισόδου της κορυφής i του G, που συμβολίζεται ως kin ,i
ορίζεται σαν το πλήθος των συνδέσεων που ξεκινούν από γείτονες
του i και κατευθύνονται προς τον i, δηλαδή,
kin =
i Aij
j ∈V
Ο βαθμός εξόδου της κορυφής i του G, που συμβολίζεται ως kout ,
i
ορίζεται σαν το πλήθος των συνδέσεων που ξεκινούν από τον i και
κατευθύνονται προς γείτονες του i, δηλαδή,
kout =
i Aij
i∈V
Προφανώς, ισχύει:
kin =
i kout =
i Aij = |E|
i∈V j ∈V i,j ∈V
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

39. Βαθμοί κόμβων στο δίκτυο καράτε
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

40. Γενικοί Τύποι ∆ικτυακών Κατανομών Βαθμών
Σχήμα: ∆ιωνυμική Κατανομή (ή Κατανο-
μή Poisson) για τυχαίους γράφους Erd¨s–Renyi
o ´
Σχήμα: Κατανομή Νόμου ∆ύναμης (Power
Law) για δίκτυα χωρίς κλίμακα (scale–free
networks)
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

41. Κεντρικότητες Κόμβων:
1. Κεντρικότητα Βαθμού (Degree Centrality)
Οι ορισμοί ΟΛΩΝ των κεντρικότητων που θα δώσουμε
εδώ και στη συνέχεια αφορούν μη κατευθυνόμενους
(απλούς) γράφους.
Η κεντρικότητα βαθμού (degree centrality) xi του κόμβου
i ισούται προς τον βαθμό ki του κόμβου αυτού:
xi = ki
x8 = 5
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

42. 2. Κεντρικότητα Ενδιαμεσότητας
(Betweenness Centrality)
Η κεντρικότητα ενδιαμεσότητας (betweenness centrality) xi του κόμβου
i ισούται προς:
nist
xi =
g
s=i=t∈V st
όπου nist είναι το πλήθος των γεωδαιτικών διαδρομών μεταξύ των
κόμβων s και t, που περνούν από τον κόμβο i, και gst είναι το συνολικό
πλήθος των γεωδαιτικών διαδρομών μεταξύ των κόμβων s και t.
n2 = 2
3,23
g3,23 = 4
x2 = 0.1436
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

43. 3. Κεντρικότητα Εγγύτητας
(Closeness Centrality)
Σε έναν γράφο G, για κάθε δυο κόμβους i, j, η (γεωδαιτική) απόστασή
τους d(i, j ) ορίζεται ως το μήκος της συντομότερης διαδρομής από το i
στο j, εφόσον οι κόμβοι αυτοί είναι συνδεδεμένοι, ενώ d(i, j ) = ∞,
διαφορετικά (και φυσικά, d(i, i) = 0). (Η ‘‘συντομότερη διαδρομή’’
μεταξύ δυο κόμβων είναι η διαδρομή που έχει το ελάχιστο μήκος
ανάμεσα σε όλες τις διαδρομές μεταξύ των δυο κόμβων.)
Σε έναν γράφο με n κόμβους, η κεντρικότητα εγγύτητας (closeness
centrality) xi του κόμβου i ισούται προς:
n
xi =
j ∈V d(i, j )
x0 = 0.5689
x2 = 0.5593
x33 = 0.55
x31 = 0.5409
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

44. 4. Κεντρικότητα Ιδιοδιανύσματος
(Eigenvector Centrality)
Η κεντρικότητα ιδιοδιανύσματος (eigenvector centrality) xi του κόμβου i
ισούται προς:
xi = κ−1
1 Aij x j
j ∈V
όπου Aij είναι ο πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix) του γράφου και
xi είναι οι συνιστώσες του ιδιαδιανύσματος του Aij , που αντιστοιχούν
στη μεγαλύτερη ιδιοτιμή του κ1 .
x33 = 0.3734
x0 = 0.3555
x2 = 0.3172
x32 = 0.3086
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

45. Οι 4 κεντρικότητες των κόμβων του δικτύου καράτε
Nodes Degree C. Betweenness C. Closeness C. Eigenvector C.
0 0.484848485 0.437635281 0.568965517 0.355490721
1 0.272727273 0.053936688 0.485294118 0.265959605
2 0.303030303 0.143656806 0.559322034 0.317192417
3 0.181818182 0.011909271 0.464788732 0.211179694
4 0.090909091 0.000631313 0.379310345 0.075968879
5 0.121212121 0.029987374 0.38372093 0.079483113
6 0.121212121 0.029987374 0.38372093 0.079483113
7 0.121212121 0 0.44 0.170959892
8 0.151515152 0.055926828 0.515625 0.227404355
9 0.060606061 0.000847763 0.434210526 0.102674504
10 0.090909091 0.000631313 0.379310345 0.075968879
11 0.03030303 0 0.366666667 0.052855817
12 0.060606061 0 0.370786517 0.084254727
13 0.151515152 0.045863396 0.515625 0.226473112
14 0.060606061 0 0.370786517 0.10140365
15 0.060606061 0 0.370786517 0.10140365
16 0.060606061 0 0.284482759 0.023635566
17 0.060606061 0 0.375 0.092399699
18 0.060606061 0 0.370786517 0.10140365
19 0.090909091 0.032475048 0.5 0.147912918
20 0.060606061 0 0.370786517 0.10140365
21 0.060606061 0 0.375 0.092399699
22 0.060606061 0 0.370786517 0.10140365
23 0.151515152 0.017613636 0.392857143 0.150118912
24 0.090909091 0.002209596 0.375 0.057052326
25 0.090909091 0.003840488 0.375 0.059206342
26 0.060606061 0 0.362637363 0.075579616
27 0.121212121 0.022333454 0.458333333 0.133477386
28 0.090909091 0.001794733 0.452054795 0.131077964
29 0.121212121 0.002922078 0.38372093 0.134961122
30 0.121212121 0.014411977 0.458333333 0.174758637
31 0.181818182 0.138275613 0.540983607 0.191034394
32 0.363636364 0.145247114 0.515625 0.308643749
33 0.515151515 0.304074976 0.55 0.373362539
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

46. Κεντρικότητα Μικρή τιμή Μεγάλη τιμή
Degree Λίγοι γείτονες (συνδέσεις) Πολλοί γείτονες (συνδέσεις)
Betweenness Μικρός έλεγχος ροής Μεγάλος έλεγχος ροής
Closeness Προς την περιφέρεια Προς το κέντρο
Eigenvector Λίγοι ή λίγο σημαντικοί γείτονες Πολλοί ή πολύ σημαντικοί γείτονες
Το δίκτυο των στρατιωτικών του David Krackhardt:
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

47. Συντελεστής Συσσώρευσης
Ο συντελεστής συσσώρευσης (clustering coefficient) Ci του κόμβου i
ορίζεται ως:
2εi
Ci =
ki (ki − 1)
όπου εi είναι το πλήθος των συνδέσεων μεταξύ των γειτονικών
κόμβων του i και dij i προς οποιοδήποτε άλλο κόμβο ki είναι το
πλήθος των γειτονικών κόμβων του i.
2×4
C23 = = 0.4
5×4
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

48. ∆ικτυακή Μεταβατικότητα
Ο συνολικός συντελεστής συσσώρευσης (global clustering coefficient)
(όλου) του γράφου G ορίζεται ως η μέση τιμή των συντελεστών
συσσώρευσης των κόμβων του:
1
C(G) = Ci
|V| i
Η μεταβατικότητα (transitivity) του γράφου G ορίζεται ως το πηλίκο:
πλήθος τριγώνων
T(G) =
πλήθος συνδεδεμένων τριάδων
C(G) = 0.16
T(G) = 0.19
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

49. Αμοιβαιότητα Συνδέσεων σε Κατευθυνόμενο Γράφο
Σε έναν κατευθυνόμενο γράφο, ο συντελεστής αμοιβαιότητας
συνδέσεων/δεσμών (link/tie mutuality coefficient) ορίζεται ως εξής:
πλήθος ανταποδιδόμενων συνδέσεων Er
M(G) =
πλήθος όλων των συνδέσεων/τόξων E
Er (G) = 64
E(G) = 195
M(G) = 0.3282
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

50. Αποστάσεις Κόμβων σε Γράφο
Συμβολίζοντας με d(i, j ) τη (γεωδαιτική) απόσταση στον γράφο G
μεταξύ των δυο κόμβων i, j (δηλαδή, ως μήκος της συντομότερης
διαδρομής από το i στο j, εφόσον οι κόμβοι αυτοί είναι συνδεδεμένοι,
ενώ d(i, j ) = ∞, όπου η ‘‘συντομότερη διαδρομή’’ μεταξύ δυο κόμβων
είναι η διαδρομή που έχει το ελάχιστο μήκος ανάμεσα σε όλες τις
διαδρομές μεταξύ των δυο κόμβων), το μέσο μήκος των συντομότερων
διαδρομών (average shortest path length) στον γράφο αυτό, ορίζεται ως:
1
a= d(i, j )
|V|(|V| − 1)
i,j ∈V
a = 2.4082
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

51. Μέτρα ∆ιάφορων Εμπειρικών ∆ικτύων
TABLE I. The general characteristics of several real networks. For each network we indicated the number of nodes, the avera
degree k , the average path length and the clustering coefficient C. For a comparison we have included the average pa
length rand and clustering coefficient Crand of a random graph with the same size and average degree. The last colum
identifies the symbols in Figs. 8 and 9.
Network Size k rand C Crand Reference N
WWW, site level, undir. 153, 127 35.21 3.1 3.35 0.1078 0.00023 Adamic 1999
Internet, domain level 3015 - 6209 3.52 - 4.11 3.7 - 3.76 6.36 - 6.18 0.18 - 0.3 0.001 Yook et al. 2001a,
Pastor-Satorras et al. 2001
Movie actors 225, 226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027 Watts, Strogatz 1998
LANL coauthorship 52, 909 9.7 5.9 4.79 0.43 1.8 × 10−4 Newman 2001a,b
MEDLINE coauthorship 1, 520, 251 18.1 4.6 4.91 0.066 1.1 × 10−5 Newman 2001a,b
SPIRES coauthorship 56, 627 173 4.0 2.12 0.726 0.003 Newman 2001a,b,c
NCSTRL coauthorship 11, 994 3.59 9.7 7.34 0.496 3 × 10−4 Newman 2001a,b
Math coauthorship 70, 975 3.9 9.5 8.2 0.59 5.4 × 10−5 Barab´si et al. 2001
a
Neurosci. coauthorship 209, 293 11.5 6 5.01 0.76 5.5 × 10−5 Barab´si et al. 2001
a
E. coli, substrate graph 282 7.35 2.9 3.04 0.32 0.026 Wagner, Fell 2000 1
E. coli, reaction graph 315 28.3 2.62 1.98 0.59 0.09 Wagner, Fell 2000 1
Ythan estuary food web 134 8.7 2.43 2.26 0.22 0.06 Montoya, Sol´ 2000
e 1
Silwood park food web 154 4.75 3.40 3.23 0.15 0.03 Montoya, Sol´ 2000
e 1
Words, cooccurence 460.902 70.13 2.67 3.03 0.437 0.0001 Cancho, Sol´ 2001
e 1
Words, synonyms 22, 311 13.48 4.5 3.84 0.7 0.0006 Yook et al. 2001 1
Power grid 4, 941 2.67 18.7 12.4 0.08 0.005 Watts, Strogatz 1998 1
C. Elegans 282 14 2.65 2.25 0.28 0.05 Watts, Strogatz 1998 1
TABLE II. The scaling exponents characterizing the degree distribution of several scale-free networks, for which P (k) follow
a power-law (2). We indicate the size of the network, its average degree k and the cutoff κ for the power-law scaling. F
directed networks we list separately the indegree (γin ) and outdegree (γout ) exponents, while for the undirected network
marked with a star, these values are identical. The columns lreal , lrand and lpow compare the average path length of re
networks with power-law degree distribution and the prediction of random graph theory (17) and that of Newman, Stroga
and Watts (2000) (62), as discussed in Sect. V. The last column identifies the symbols in Figs. 8 and 9.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

52. Πόροι για Εισαγωγή στα Κοινωνικά ∆ίκτυα
1 Βιβλία
Mark Newman, Networks: An Introduction, Oxford
University Press, 2010.
Stanley Wasserman and Katherine Faust, Social
Network Analysis: Methods and Applications,
Cambridge University Press, 1994.
2 ´Αρθρα Επισκόπησης
Robert A. Hanneman and Mark Riddle, Introduction to
social network methods:
http://faculty.ucr.edu/~hanneman/nettext/
Mark Newman, The structure and function of complex
networks: http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0303516v1
Laszlo Barabasi et al., Network Science Book:
´
http://barabasilab.neu.edu/networksciencebook/
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

53. 3 Λογισμικό
Pajek: http://pajek.imfm.si/doku.php
UCInet:
https://sites.google.com/site/ucinetsoftware/home
iGraph: http://igraph.sourceforge.net/
NetworkX: http://networkx.github.io/
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

54. Ιδέες για Πρότζεκτ
Με βάση τα δεδομένα που συγκεντρώθηκαν από το
Ερωτηματολόγιο που κυκλοφόρησε, μπορούν να
σχηματισθούν 12 ομάδες που η κάθε μια θα
επεξεργασθεί ένα τα εξής επιμέρους δεδομένα:
1 Σχέση φιλίας και χαρακτηριστικό φύλου.
2 Σχέση φιλίας και χαρακτηριστικό ηλικίας.
3 Σχέση φιλίας και χαρακτηριστικό επιπέδου
σπουδών.
4 Σχέση φιλίας και χαρακτηριστικό τμήματος
σπουδών.
5 Σχέση γενικής συνεργασίας (εκτός ΑΕ) και
χαρακτηριστικό φύλου.
6 Σχέση γενικής συνεργασίας (εκτός ΑΕ) και
χαρακτηριστικό ηλικίας.
7 Σχέση γενικής συνεργασίας (εκτός ΑΕ) και
χαρακτηριστικό επιπέδου σπουδών.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων

55. 8 Σχέση γενικής συνεργασίας (εκτός ΑΕ) και
χαρακτηριστικό τμήματος σπουδών.
9 Σχέση συνεργασίας εντός ΑΕ και χαρακτηριστικό
φύλου.
10 Σχέση συνεργασίας εντός ΑΕ και χαρακτηριστικό
ηλικίας.
11 Σχέση συνεργασίας εντός ΑΕ και χαρακτηριστικό
επιπέδου σπουδών.
12 Σχέση συνεργασίας εντός ΑΕ και χαρακτηριστικό
τμήματος σπουδών.
Πιο συγκεκριμένα, κάθε ομάδα χρησιμοποιώντας το
λογισμικό Pajek θα προσπαθήσει να κάνει τα εξής:
Οπτικοποίηση του αντίστοιχου δικτύου με τους
κόμβους χρωματισμένους ανάλογα με την τιμή του
χαρακτηριστικού.
Υπολογισμό των 4 κεντρικότητων για κάθε κόμβο
του δικτύου (βαθμού, ενδιαμεσότητας, εγγύτητας
και ιδιοδιανύσματος).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Η Επιστήμη των ∆ικτύων