Oblique triangles: Law of cosines Triángulos oblicuángulos: Ley de los cosenos.

2. El triángulo rectángulo
La resolución de problemas en los
que se presentan triángulos
rectángulos es sencilla; se aplica el
Teorema de Pitágoras o cualquiera
de las funciones trigonométricas
básicas para determinar los lados y
ángulos que sea necesario.

3. El triángulo rectángulo
Las funciones trigonométricas que se usan
son:.

4. Problemas diferentes
¿Cómo resolvemos problemas en los que los triángulos
que se presentan, no tienen ningún ángulo recto?

5. Problemas diferentes
Cuando el triángulo no es rectángulo, no es posible la
aplicación directa de las funciones trigonométricas
básicas.
¿Cómo determinamos las
medidas faltantes de un
triángulo si ninguno de sus
ángulos mide 90°?

6. ¿Cómo determinamos las
medidas faltantes de un
triángulo si ninguno de sus
ángulos mide 90°?
Problemas diferentes

7. Disponemos de dos
herramientas:
Problemas diferentes
Ley de los cosenos
Ley de los senos

8. Ley de los senos y ley de los
cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis
magnitudes básicas: tres lados y tres
ángulos.

9. Ley de los senos y ley de los cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis magnitudes
básicas: tres lados y tres ángulos.
Si se conocen tres de estas
magnitudes, se pueden
determinar las tres restantes.

10. Ley de los senos y ley de los cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis magnitudes
básicas: tres lados y tres ángulos.
Si se conocen tres de estas magnitudes,
se pueden determinar las tres restantes.
Dependiendo de las magnitudes que se conozcan, se
aplica la ley de los senos o la ley de los cosenos.

13. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al
menos, tres datos para poder aplicar la
fórmula de la ley de los cosenos.

14. Resolución de problemas
Se toma la fórmula que contiene los tres
datos conocidos. Si se conocen a, b, y el
ángulo C, entonces se toma esa
fórmula:

15. Resolución de problemas
Se toma la fórmula que contiene los tres
datos conocidos. Si se conocen a, b, y el
ángulo C, entonces se toma esa
fórmula:

16. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al
menos, tres datos para poder aplicar la
fórmula de la ley de los cosenos.
¿Pueden ser 3 datos cualesquiera?

17. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para
poder aplicar la fórmula de la ley de los cosenos.
¿Pueden ser 3 datos cualesquiera?
Para aplicar la ley de los senos, no
pueden ser tres datos cualesquiera, pero
en este caso, ¿Qué piensas?

18. Resolución de problemas
Por ejemplo: Si se conocen a, b, y el ángulo A, resulta
Se genera una ecuación de segundo
grado, pero no estamos seguros si tiene
solución.
Resuelve el siguiente ejemplo y
determina si pueden ser tres datos

19. Con referencia a la figura adjunta, resuelve el
siguiente problema aplicando la ley de los
cosenos:
1. A= 36°, a = NL ×12, b = NL ×17

20. Después de resolver el problema, realiza una
investigación y determina si la ley de los
cosenos puede aplicarse a cualquier grupo de
tres datos.
En caso de que sea así, busca y publica un
ejemplo de cada combinación de datos y sus
restricciones.

21. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Ejemplo 1 (Tomado de la parte 1)
La primera parte de este material se encuentra en el enlace:
http://licmata-ebc.blogspot.mx/2018/02/law-of-sines.html

22. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Ejemplo 1 (Tomado de la parte 1)
En la parte 1 de esta
presentación, se pedía resolver
este problema aplicando la ley de
los senos y no fue posible, tal
como se muestra a continuación.

23. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

24. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

25. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Este problema no puede
ser resuelto mediante la
ley de los senos, debemos
buscar una estrategia
diferente.
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

26. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Ahora veremos cómo
resolver este problema
mediante la ley de los
cosenos.
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

27. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.

28. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.

29. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Esta fórmula es la que
podemos emplear porque
contiene los datos disponibles.

30. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Sólo es necesario despejar y
sustituir para determinar el
valor de c.

31. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.

32. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.

33. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.

34. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.

35. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Se ha avanzado en la
solución del problema,
ahora conocemos los
tres lados del triángulo
y un ángulo. Falta
determinar los ángulos
A y B.

36. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Para calcular las medidas
de los ángulos A y B
podemos aplicar la ley de
los senos en dos ocasiones.
Al final se podrá verificar
que el resultado es
correcto sumando los tres
ángulos; debe dar igual a
180°.

37. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Con la finalidad de
practicar, vamos a calcular
las medidas de los ángulos
A y B mediante la ley de los
cosenos. Al final se podrá
verificar que el resultado
es correcto sumando los
tres ángulos; debe dar
igual a 180°.

38. Para terminar el problema, despeja las otras
dos fórmulas para determinar los ángulos
faltantes y verifica que la suma de A, B y C,
sea 180°.

39. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado
b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los
ángulos A, B y C.
Ejemplo 2

40. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18
cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y
C.
Ejemplo 2
Se conocen los tres lados, por lo
tanto, deben despejarse los tres
cosenos de los ángulos.

41. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18
cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y
C.
Ejemplo 2
Se conocen los tres lados, por lo
tanto deben despejarse los tres
cosenos de los ángulos.
Comenzaremos por determinar
el valor del ángulo A.

42. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18
cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y
C.
Ejemplo 2

43. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18
cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y
C.
Ejemplo 2

44. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18
cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y
C.
Ejemplo 2

45. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18
cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y
C.
Ejemplo 2

46. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18
cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y
C.
Ejemplo 2
Se ha avanzado en la
solución del problema,
ahora conocemos los
tres lados del triángulo
y un ángulo. Falta
determinar los ángulos
B y C.

47. Para terminar el problema, despeja las otras
dos fórmulas para determinar los ángulos
faltantes y verifica que la suma de A, B y C,
sea 180°.

48. Se dice que la matemática no es un deporte de espectadores, es
decir, no podemos afirmar que hemos aprendido matemáticas en
tanto no hayamos resuelto, en forma autónoma, algunos problemas.
La siguiente diapositiva contiene ejercicios que deberás resolver
para comprender el tema.
La primera parte de este material se encuentra en el enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles.html

50. GraciasPor su atención
Fuentes de información en línea
http://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
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