Ley de senos y ley de cosenos en la resolución de triángulos oblicuángulos.

2. El triángulo rectángulo
La resolución de problemas en los
que se presentan triángulos
rectángulos es sencilla; se aplica el
Teorema de Pitágoras o cualquiera de
las funciones trigonométricas básicas
para determinar los lados y ángulos
que sea necesario.

3. El triángulo rectángulo
La resolución de problemas en los que se
presentan triángulos rectángulos es sencilla; se
aplica el Teorema de Pitágoras o cualquiera de
las funciones trigonométricas básicas para
determinar los lados y ángulos que sea
necesario.

4. Problemas diferentes
¿Cómo resolvemos problemas en los que los triángulos que
se presentan, no tienen ningún ángulo recto?

5. Problemas diferentes
¿Cómo resolvemos problemas en los que los triángulos que
se presentan, no tienen ningún ángulo recto?
¿Cómo determinamos las
medidas faltantes de un
triángulo si ninguno de sus
ángulos mide 90°?

6. ¿Cómo determinamos las medidas
faltantes de un triángulo si
ninguno de sus ángulos mide 90°?
Problemas diferentes

7. Disponemos de dos herramientas:
Problemas diferentes
Ley de los cosenos
Ley de los senos

8. Ley de los senos y ley de
los cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis
magnitudes básicas: tres lados y tres
ángulos.

9. Ley de los senos y ley de los cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis magnitudes
básicas: tres lados y tres ángulos.
Si se conocen tres de estas
magnitudes, se pueden
determinar las tres restantes.

10. Ley de los senos y ley de los cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis magnitudes
básicas: tres lados y tres ángulos.
Si se conocen tres de estas magnitudes, se
pueden determinar las tres restantes.
Dependiendo de las magnitudes que se conozcan, se
aplica la ley de los senos o la ley de los cosenos.

13. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al
menos, tres datos para poder aplicar la
fórmula de la ley de los cosenos.

14. Resolución de problemas
Se toma la fórmula que contiene los tres
datos conocidos. Si se conocen a, b, y el
ángulo C, entonces se toma esa fórmula:

15. Resolución de problemas
Se toma la fórmula que contiene los tres
datos conocidos. Si se conocen a, b, y el
ángulo C, entonces se toma esa fórmula:

16. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al
menos, tres datos para poder aplicar la
fórmula de la ley de los cosenos.
¿Pueden ser 3 datos cualesquiera?

17. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para
poder aplicar la fórmula de la ley de los cosenos.
¿Pueden ser 3 datos cualesquiera?
Para aplicar la ley de los senos, no pueden
ser tres datos cualesquiera, pero en este
caso, ¿Qué piensas?

18. Resolución de problemas
Por ejemplo: Si se conocen a, b, y el ángulo A, resulta
Se genera una ecuación de segundo
grado, pero no estamos seguros si tiene
solución.
Resuelve el siguiente ejemplo y determina
si pueden ser tres datos cualesquiera.

19. Con referencia a la figura adjunta, resuelve el
siguiente problema aplicando la ley de los
cosenos:
1. A= 36°, a = NL ×12, b = NL ×17

20. Después de resolver el problema, realiza una
investigación y determina si la ley de los cosenos
puede aplicarse a cualquier grupo de tres datos.
En caso de que sea así, busca y publica un
ejemplo de cada combinación de datos y sus
restricciones.

21. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.
Ejemplo 1 (Tomado de la parte 1)
La primera parte de este material se encuentra en el enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles.html

22. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.
Ejemplo 1 (Tomado de la parte 1)
En la parte 1 de esta presentación,
se pedía resolver este problema
aplicando la ley de los senos y no
fue posible, tal como se muestra a
continuación.

23. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

24. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

25. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Este problema no puede ser
resuelto mediante la ley de
los senos, debemos buscar
una estrategia diferente.
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

26. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Ahora veremos cómo
resolver este problema
mediante la ley de los
cosenos.
Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)

27. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.

28. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.

29. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.
Esta fórmula es la que podemos
emplear porque contiene los
datos disponibles.

30. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.
Sólo es necesario despejar y
sustituir para determinar el
valor de c.

31. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.

32. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.

33. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.

34. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.

35. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos)
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6
cm, y el ángulo C, 56°.
Se ha avanzado en la
solución del problema,
ahora conocemos los
tres lados del triángulo y
un ángulo. Falta
determinar los ángulos A
y B.

36. Para terminar el problema, despeja las otras dos
fórmulas para determinar los ángulos faltantes y
verifica que la suma de A, B y C, sea 180°.

37. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b,
18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los
ángulos A, B y C.
Ejemplo 2

38. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm,
y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y C.
Ejemplo 2
Se conocen los tres lados, por lo
tanto deben despejarse los tres
cosenos de los ángulos.

39. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm,
y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y C.
Ejemplo 2
Se conocen los tres lados, por lo
tanto deben despejarse los tres
cosenos de los ángulos.
Comenzaremos por determinar el
valor del ángulo A.

40. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm,
y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y C.
Ejemplo 2

41. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm,
y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y C.
Ejemplo 2

42. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm,
y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y C.
Ejemplo 2

43. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm,
y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y C.
Ejemplo 2

44. En el triángulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm,
y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los ángulos A, B y C.
Ejemplo 2
Se ha avanzado en la
solución del problema,
ahora conocemos los
tres lados del triángulo y
un ángulo. Falta
determinar los ángulos B
y C.

45. Para terminar el problema, despeja las otras dos
fórmulas para determinar los ángulos faltantes y
verifica que la suma de A, B y C, sea 180°.

46. Se dice que la matemática no es un deporte de espectadores, es decir,
no podemos afirmar que hemos aprendido matemáticas en tanto no
hayamos resuelto, en forma autónoma, algunos problemas.
La siguiente diapositiva contiene ejercicios que deberás resolver para
comprender el tema.
La primera parte de este material se encuentra en el enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles.html

48. Gracias
Por su atención
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