2. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Función elevada a un exponente constante
Esta fórmula se emplea cuando la
expresión que se va a integrar es una
expresión, generalmente entre
paréntesis, elevada a un exponente
constante.
Es necesario completar el diferencial, y
el valor de n debe ser diferente de -1.
න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
3. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Fórmula para el cociente de dos funciones
La fórmula se lee:
La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de
𝒗 es igual a:
𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏
Más la constante de integración C
Se emplean colores para identificar la función y el exponente.
න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
4. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
La fórmula es:
Es necesario identificar claramente la función 𝒗, el
exponente 𝒏 y revisar si está completo el diferencial
𝒅𝒗
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
=
න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
5. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
A primera vista, la expresión algebraica no
parece corresponder a la fórmula que se propone
para resolver el problema, pero si se reordena
como se muestra en seguida queda claro que sí
es posible emplear dicha fórmula
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
=
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
= න 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
6. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
El diferencial que se ha obtenido no es igual al
diferencial que se encuentra en la integral
𝒗 = 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
= න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
7. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
El diferencial que se ha obtenido no es igual al
diferencial que se encuentra en la integral.
Para poder integrar, el diferencial “debe estar
completo”, es decir, ambos diferenciales deben
ser iguales.
𝒗 = 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
= න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
8. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
A primera vista, da la impresión que no es posible completar el
diferencial, sin embargo, obteniendo factor común en el diferencial
obtenemos:
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
= න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
9. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
Se completa el diferencial agregando el dos que falta.
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
= න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
10. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
El dos se agrega porque es necesario completar el diferencial, sin
embargo, es evidente que modifica el valor de la expresión origina, que
se multiplica por dos al agregar el dos que completa el diferencial.
Debemos “compensar”, ¿cómo hacerlo?
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
= න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
11. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
Puesto que la expresión original se multiplicó por dos, podemos
cancelar este efecto dividiendo entre dos, o multiplicar por un medio.
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
=
𝟏
𝟐
න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
12. 𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
El “un medio” que se agregó se coloca fuera de la
integral, ya que las constantes no se integran.
Y entonces se aplica la fórmula de integración.
=
𝟏
𝟐
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
− 𝟏
𝟐
+𝟏
−
𝟏
𝟐
+ 𝟏
+ 𝑪
La fórmula indica “sumar uno” al exponente y dividir entre
ese mismo valor.
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
න
𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
=
𝟏
𝟐
න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙
−
𝟏
𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙