Problem solving process, derivative applications Máximos y mínimos

1. Aplicaciones de la
Derivada
G. Edgar Mata Ortiz
5555

2. 5555

3. Introducción
En el presente material se resuelve un problema de optimización
mediante máximos y mínimos relativos, siguiendo un proceso sistemático;
desde la modelación, estrategia de solución, y la interpretación contextual
de la respuesta del modelo.

4. CONTENIDO
1
2
3
4
Problema
Elaborar modelo matemático
Resolver modelo matemático
Interpretación del modelo

5. Problema
Se requiere fabricar un recipiente
cilíndrico, cerrado sólo en su base, con
capacidad de un litro (1,000 cm3).
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para
que el material utilizado sea el mínimo
posible?

6. Análisis y comprensión del problema
Para determinar el volumen de un
cilindro se utiliza la fórmula:
Donde solamente intervienen dos
variables: radio y altura del cilindro.
Se dice que el cilindro queda definido
mediante su altura y su radio.
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ
𝑟
ℎ
Información necesaria

7. Análisis y comprensión del problema
La pregunta acerca de las dimensiones
del cilindro se refiere a que; es posible
construir un cilindro de volumen igual a
un litro con un radio pequeño, en cuyo
caso la altura deberá ser mayor, o con un
radio grande y, por lo tanto, con una
altura menor.
¿En cuál de estos casos se requiere una
menor cantidad de material?
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ
Interpretación de la información 𝑟
ℎ
𝑟
ℎ

8. Modelo matemático
La cantidad de material utilizado se
interpreta, geométricamente, como
el área lateral total (ALT), que está
formada por una base circular (AB) y
la pared del cilindro, llamada área
lateral (AL).
𝐴 𝐿𝑇 = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐿
Información necesaria

9. Modelo matemático
Las fórmulas de estas dos áreas son:
𝐴 𝐿𝑇 = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐿
Información necesaria
𝐴 𝐵 = 𝜋𝑟2 𝐴 𝐿 = 2𝜋𝑟ℎ
Sustituyéndolas el área lateral total es:
𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ

10. Modelo matemático
Sustituyendo en la fórmula del volumen:
Porque sabemos que el cilindro deberá
tener un volumen de 1 litro que equivale
a 1000 cm3.
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ
𝑟
ℎ
Identificación de la incógnita
𝜋𝑟2
ℎ = 1000

11. Modelo matemático
Tenemos dos cantidades desconocidas,
el radio y la altura del cilindro.
Podemos despejar cualquiera de ellas y
sustituirla en la fórmula del área lateral
total para que quede una función con
una sola variable.
𝑟
ℎ
Identificación de la incógnita
𝜋𝑟2
ℎ = 1000

12. Modelo matemático
Vamos a despejar la altura, porque si despejamos el radio
obtendremos una raíz cuadrada, que preferimos evitar.
Identificación de la incógnita
𝜋𝑟2
ℎ = 1000
ℎ =
1000
𝜋𝑟2

13. Modelo matemático
Sustituyendo la altura que despejamos
Obtención de la función
𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟𝒉
𝒉 =
1000
𝜋𝑟2
𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟
1000
𝜋𝑟2

14. Modelo matemático
Si representamos el radio como equis y el área lateral total como ye,
y simplificamos obtendremos la función que modela el problema.
Obtención de la función 𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟
1000
𝜋𝑟2
𝑦 = 𝜋𝑥2 + 2𝜋𝑥
1000
𝜋𝑥2
𝑦 = 𝜋𝑥2 +
1000(2𝜋𝑥)
𝜋𝑥2
𝑦 = 𝜋𝑥2
+
2000
𝑥

15. Modelo matemático
La función que modela el problema es:
Obtención de la función
𝑦 = 𝜋𝑥2 +
2000
𝑥

16. Resolver el modelo matemático
Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos
𝑦 = 𝜋𝑥2
+
2000
𝑥
Derivar con respecto a equis:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝜋𝑥 −
2000
𝑥2

17. Resolver el modelo matemático
Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos
Igualar a cero la derivada:
2𝜋𝑥 −
2000
𝑥2
= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0

18. Resolver el modelo matemático
Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos
Resolver la ecuación obtenida:
2𝜋𝑥 −
2000
𝑥2
= 0
2𝜋𝑥 = +
2000
𝑥2
2𝜋𝑥 ∙ 𝑥2 = 2000
2𝜋𝑥3 = 2000
𝑥3 =
2000
2𝜋

19. Resolver el modelo matemático
Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos
Resolver la ecuación obtenida:
2𝜋𝑥 ∙ 𝑥2
= 2000
2𝜋𝑥3
= 2000
𝑥3
=
2000
2𝜋
𝑥3
= 318.309886
𝑥 = 6.8278406
Este valor de equis es la solución del
modelo, desde luego con muchos más
decimales.

20. Interpretación del modelo
Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real.
El valor de equis representa el radio del cilindro.
𝑥 = 6.8278406 Para que el material empleado en la
fabricación de un recipiente cilíndrico
de un litro, de modo que el material
empleado sea el mínimo posible, debe
tener un radio de 6.8278406 cm.
𝑟 = 6.8278406

21. Interpretación del modelo
Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real.
Falta determinar la altura del cilindro.
𝑟 = 6.8278406
ℎ =
1000
𝜋𝑟2
ℎ =
1000
𝜋(6.8278406)2
ℎ = 6.8278406

22. Interpretación del modelo
Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real.
El radio y la altura son iguales.
𝑟 = 6.8278406 Para que el material empleado en
la fabricación de un recipiente
cilíndrico de un litro, sea el
mínimo posible, debe tener un
radio de 6.8278406 cm y una
altura de 6.8278406 cm.
ℎ = 6.8278406

23. Interpretación del modelo
Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real.
Sólo falta calcular el área lateral total.
𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟ℎ
𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋(6.8278406)2
+2𝜋(6.8278406)(6.8278406)
𝐴 𝐿𝑇 = 439.3775663

24. Interpretación del modelo
Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real.
El radio y la altura son iguales.
𝑟 = 6.8278406
Para que el material empleado en la
fabricación de un recipiente cilíndrico
de un litro, sea el mínimo posible,
debe tener un radio de 6.8278406
cm y una altura de 6.8278406 cm,
obteniéndose un área lateral total de
439.3775663 cm2
ℎ = 6.8278406
𝐴 𝐿𝑇 = 439.3775663

25. Gracias
por su atención