Semejanza de triangulos y funciones trigonometricas

1. Geometría y
Trigonometría
Actividad 1.3
Funciones Trigonométricas
G. Edgar Mata Ortiz

2. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas
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La resolución de triángulos consiste en; a partir del conocimiento de las
magnitudes de algunos lados y ángulos, determinar los restantes.
Para ello, se cuenta, además del teorema de Pitágoras, con las funciones
trigonométricas. Es necesario identificar claramente los elementos del
triángulo para decidir cuál de las funciones es la adecuada en cada
situación.
Contenido
Introducción .............................................................................................................................................................2
Semejanza de triángulos.......................................................................................................................................2
Semejanza de triángulos rectángulos...................................................................................................................2
El triángulo rectángulo .........................................................................................................................................3
Las funciones trigonométricas..................................................................................................................................4
Ejercicios...............................................................................................................................................................5
Bibliografía................................................................................................................................................................6
Reproducción del papiro Rhind en la que se
observa el proceso de solución de triángulos.

3. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas
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Introducción
La palabra trigonometría proviene de dos raíces griegas: “trígono”, que significa
triángulo, y “metron”, medida; entonces la trigonometría es, simplemente, la
medida de triángulos.
En este material vamos a estudiar las medidas de los triángulos, comenzando
por los triángulos rectángulos, complementando así el Teorema de Pitágoras.
Semejanza de triángulos.
En dos triángulos cualesquiera, si sus ángulos son iguales, sus lados serán
proporcionales, es decir, al dividir sus lados se obtendrán los mismos resultados.
Veamos un ejemplo:
Utilizando solamente regla y compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas
sean 5 cm, 6 cm y 8 cm; y el otro de 7.5 cm, 9 cm y 12 cm. Ahora mide sus
ángulos y notarás que son iguales. Verifica esta igualdad trazando los mismos
triángulos en AutoCAD.
Ahora que sabemos que sus ángulos son iguales, divide el lado mayor entre el
menor del triángulo más pequeño y luego realiza la misma operación con el
triángulo más grande:
𝟖
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟕. 𝟓
=
Ahora efectúa las siguientes divisiones:
𝟖
𝟔
=
𝟏𝟐
𝟗
=
𝟔
𝟓
=
𝟗
𝟕. 𝟓
=
Cuando ocurre algo como lo anterior, se dice que los lados de los triángulos son
proporcionales.
Semejanza de triángulos rectángulos.
En los triángulos rectángulos sucede exactamente lo mismo; si los ángulos son
iguales, los lados son proporcionales.
Utilizando solamente regla y compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas
sean 10 cm, 10.5 cm y 14.5 cm; y el otro de 20 cm, 21 cm y 29 cm. Mide sus
ángulos y realiza las divisiones señaladas en el ejemplo anterior y anota tus
conclusiones al reverso de esta hoja. Verifica tus conclusiones trazando los
mismos triángulos en AutoCAD.
La Geometría
Breve introducción
a la Historia de la
Trigonometría
Se dispone de evidencias,
como el papiro Rhind, en las
que se demuestra que el
estudio de los triángulos data
de más de 2000 años antes de
Cristo.
Sin embargo, el estudio
sistemático de las relaciones
entre los lados y ángulos del
triángulo comenzó con los
matemáticos griegos, creando
lo que ahora entendemos por
Trigonometría.
Se cree que Hiparco (190-120
b. C), fue el primero en
construir una tabla de valores
de las funciones
trigonométricas, ya que
escribió un libro de astrología
en el que se observa el uso de
dichas funciones, aunque no se
dispone de dichas tablas de
valores.
Después de Hiparco, el
siguiente matemático griego
que realizó aportaciones a la
trigonometría fue Menelao,
quien escribió un tratado, en 6
libros, acerca de las cuerdas en
una circunferencia. Este
tratado se ha perdido y
solamente se conoce por las
referencias que otros
matemáticos hacen acerca de
él.
En cualquier caso, el
“Almagesto” de Ptolomeo, es
nuestra mejor fuente de
información acerca de Hiparco
y la trigonometría de
Alejandría. Este enciclopédico
trabajo contiene una tabla de
cuerdas comparable con
nuestras modernas tablas de
funciones trigonométricas.
Las funciones Trigonométricas

4. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas
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El triángulo rectángulo
Los nombres que emplearemos en trigonometría difieren de los empleados en el Teorema de Pitágoras.
Como muestra la figura, los nombres de los catetos; opuesto y adyacente, hacen referencia a la posición del
ángulo  (theta), el cateto opuesto a dicho ángulo es el que se encuentra “frente” a , y el adyacente es uno de
los lados del ángulo .
Si el ángulo de interés cambia, también los nombres de los catetos cambiarán. Completa la información:
Cuando en dos triángulos rectángulos, el ángulo  es igual, los triángulos son semejantes, explica por qué:
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5. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas
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Las funciones trigonométricas.
Las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres especiales, consulta y completa la
información faltante:
Seno () =
Coseno () =
Tangente () =
Además de estas funciones, existen muchas más, entre ellas, las funciones inversas. Anótalas en seguida con
sus fórmulas:
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Anota otras 4 funciones, poco conocidas, con sus fórmulas:
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___________________________________________________________________________________________
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Estas fórmulas se emplean para determinar medidas faltantes en triángulos rectángulos, la estrategia es muy
sencilla; debe identificarse cuáles medidas se conocen y cuáles se están buscando, posteriormente, sólo es
necesario identificar la función o trigonométrica que relaciona unas cantidades con otras.
Si se dispone de la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, puede determinarse cualquiera de los catetos,
mediante la función seno o coseno, aunque también es posible determinar primero el ángulo agudo faltante y
elegir una función trigonométrica diferente.

6. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas
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Ejercicios.
Resuelve los siguientes problemas empleando tu número de lista (NL) y/o
número de equipo (NE) según se indica. Construye el triángulo rectángulo que
representa el problema, primero al reverso de estas hojas, y posteriormente,
en AutoCAD.
1. Determina la longitud de una escalera cuya parte superior se
encuentra apoyada sobre una pared a una altura de 5.NL metros y
forma un ángulo de 65.NE° con el piso. ¿Cuál es la longitud de la
escalera?
2. Un cable sujeta un poste mediante una abrazadera que se encuentra,
en el poste, a una altura de 7.NE metros y tiene una longitud de 12.NL
metros. ¿Qué ángulo forma el poste con el cable que lo sujeta?
3. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la
altura de un triángulo cuyos lados miden; 6.16×NL, 6.63×NL y 9.05×NL cm. Después, calcula el área
mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados
coinciden.
4. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la
altura de un triángulo cuyos lados miden; 5.4×NE, 6.29×NE y 8.29×NE cm. Después, calcula el área
mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados
coinciden.
5. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la
altura de un triángulo cuyos lados miden; 11.13×NL, 11.84×NL y 16.25×NL cm. Después, calcula el área
mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados
coinciden.

7. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas
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Bibliografía.