Conceitos Computação I - Aulas 5-6 Álgebra Booleana

Conceitos de Computação I
Webconferências IV:
Aulas 5 e 6
Prof. Filippo Valiante Filho

Um pouco mais sobre a disciplina...
Participem!!!
• Fóruns!!!
• Webconferências.

Aulas 5 e 6
Álgebra de Boole e funções booleanas
Álgebra de Boole e postulados

Prof. Filippo Valiante Filho – http://prof.valiante.info
Porta OR
• Porta OU

Porta OR
• Exemplo de Diagrama de tempo:
No circuito os bits
correspondem a
tensão baixa (0) e
alta (1)

Porta AND
• Porta E

Portas AND e OR de 3 Entradas

Porta NOT
• Porta NÃO (negação)
• Combinando com as outras portas...

Porta NOR
• Porta NÃO-OU

Porta NAND
• Porta NÃO-E

Porta XOR
• Porta OU-Exclusivo:
X = A xor B
X = A ⊕ B

Porta XNOR
• Porta Coincidência
X = A ʘ B
X = A xnor B

Aplicação
• Comparadores são circuitos detectores de igualdade.
• As CPUs dos computadores sempre possuem flags (sinalizadores)
de igualdade para indicar se os números sendo manipulados na
ULA são iguais.
• As CPUs também possuem flags de zero para indicar se o
resultado da operação realizada na ULA foi, ou não, igual a 0.
CPU = Central Processing
Unit (Unidade Central de
Processamento)
ULA = Unidade Lógica e
Aritmética

Comparadores
• Comparador com XNOR
X1X0 = Y1Y0 ? ? ?

Comparadores
• Comparador com XOR
Comparador de (números de) 4 bits:
A3A2A1A0 = B3B2B1B0 ? ? ?

Flag de Zero
• Como fazer um circuito eficiente para a flag de zero?
• Colocar uma das entradas do circuito da flag de
comparação em zero não é o mais eficiente...

Flag de Zero
• Basta uma porta NOR!

Circuitos Integrados
Die of a 74AHC00D quad 2-input NAND
gate manufactured by NXP Semiconductors
Imagens adicionais:
Wikimedia Commons

Circuitos Integrados
• Diversos encapsulamentos, principalmente
para montagem em superfície (SMT/SMD):

RECORDANDO

Otimização de circuitos
• Um determinado alarme possui e expressão e o circuito a seguir:
alarme = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc
alarme
t
p
c
U1
AND3
U2
AND3
U3
AND3
U4
AND3
U5
U6
NOT
U7
NOT
U8
NOT
temp
press
card
U12
OR5
X1
2.5 V
5V
VCC

?
MAS SERÁ QUE ESSA É
A MELHOR IMPLEMENTAÇÃO?

Otimização de circuitos
• Se pensarmos em álgebra pura...
alarme = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc
alarme = ҧ
tpc + t ത
pത
c + ത
pc + pത
c + pc
alarme = pc ҧ
t + t + tത
p ത
c + c + tpത
c
…
Será que não é possível simplificar/otimizar alguma coisa!?

?
POR QUE OTIMIZAR / SIMPLIFICAR?

Otimização – Por que otimizar/simplificar?
⚫ Cu$to
⚫ Consumo de energia
⚫ Tamanho
⚫ Quantidade de componentes
⚫ Complexidade
⚫ Tempo de projeto / teste / mercado
⚫ Menor possibilidade de falha
⚫ Etc.

Álgebra Booleana
• Teoremas / Postulados / Identidades

Álgebra Booleana
• Teoremas de De Morgan

Álgebra Booleana
• Teoremas de De Morgan para mais de 2 variáveis...
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = ത
𝑋. ത
𝑌. ҧ
𝑍
𝑊. 𝑋. 𝑌. 𝑍 = ഥ
𝑊 + ത
𝑋 + ത
𝑌 + ҧ
𝑍

Álgebra Booleana
• Exercício - Determinar a expressão lógica do circuito e simplificá-la
utilizando os teoremas de De Morgan:

Álgebra Booleana
• Resposta

Projeto de Circuitos – Simplificação com Álgebra Booleana
• Retomando nosso projeto...
alarme = ҧ
tpc + t ത
pത
c + ത
pc + pത
c + pc
alarme = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc
Note que:
ത
p + p = 1
ത
c + c = 1
Portanto:
(ത
p + p)(ത
c + c ) = 1.1 = 1
(ത
p + p)(ത
c + c ) = ത
pത
c + ത
pc + pത
c + pc = 1

alarme = ҧ
tpc + t ത
pത
c + ത
pc + pത
c + pc
alarme = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc
alarme = ҧ
tpc + t. 1
𝐚𝐥𝐚𝐫𝐦𝐞 = 𝐭𝐩𝐜 + 𝐭
Bem mais simples, não!?

• Circuito simplificado:
𝐚𝐥𝐚𝐫𝐦𝐞 = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc = 𝐭𝐩𝐜 + 𝐭
t
p
c
alarme

Mapas de Karnaugh
• Método gráfico baseado nos diagramas de Venn (teoria dos
conjuntos)...
• Mapas de Karnaugh ou Diagramas de Karnaugh (ou Veitch-
Karnaugh).
Veja a apresentação
especial sobre
Mapas de Karnaugh
no site do professor

Mapas de Karnaugh
⚫ Mapas para 2, 3 e 4
variáveis e a passagem
da tabela para o mapa:

Mapas de Karnaugh
⚫ Exemplos de agrupamentos:

Mapas de Karnaugh
⚫ Exemplos de agrupamentos
⚫ Sobreposições
entre os grupos:

Mapas de Karnaugh
⚫ Exemplos de duas soluções possíveis com o mesmo grau de
simplificação:

Projeto de Circuitos – Simplificação com Mapa de Karnaugh
t p c alarme
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
alarme = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc
ҧ
𝑝 ҧ
𝑐 ҧ
𝑝𝑐 𝑝𝑐 𝑝 ҧ
𝑐
ҧ
𝑡
𝑡

Projeto de Circuitos – Simplificação com Mapa de Karnaugh
t p c alarme
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
alarme = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc
ҧ
𝑝 ҧ
𝑐 ҧ
𝑝𝑐 𝑝𝑐 𝑝 ҧ
𝑐
ҧ
𝑡 1
𝑡 1 1 1 1
𝐚𝐥𝐚𝐫𝐦𝐞 = 𝐭 + 𝐩𝐜
t
p
c
alarme

COMPARATIVO
alarme = ҧ
tpc + tത
pത
c + tത
pc + tpത
c + tpc alarme = tpc + t alarme = t + pc

Referências (e indicações) Bibliográficas
• Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações – 11ª Edição
Ronald J. Tocci, Neal S. Widmer e Gregory L. Moss
Editora Pearson Education
• Sistemas Digitais: Projeto, otimização e HDLs
Frank Vahid
Editora Bookman
• Organização Estruturada de Computadores - 5ª Edição
Andrew S. Tanenbaum
Editora Pearson Education
• Elementos de Eletrônica Digital
Francisco G. Capuano e Ivan Valeije Idoeta
Editora Érica
Outros links e
simuladores online
no site do
professor!
Os três primeiros
são também a
fonte da maior
parte das figuras!

Contato
• Contato preferencial via Blackboard, mas se precisar:
filippo.vfilho@sp.senac.br

Lembrando...
Participem dos fóruns!!!
Confiram o calendário de webconferências!
Professor, salve as anotações à tinta para compartilhar!!!

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