1. República Bolivariana De Venezuela
Instituto universitario politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión-Barcelona
Ecuaciones paramétricas
Leonel Granado
V-29859890
2. Introducción
El objetivo de este trabajo es aprender más sobre los vectores en el espacio , saber cómo se realizan, cuáles son
sus objetivos , la gran importancia que es saber el objetivos de cada una de los diferentes tipos de vectores en la
algebra vectorial y como realizar sus diferentes problemas para buscar su solución.
4. Generalidades del algebra vectorial
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones
lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas
como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones,
gráficas computacionales, entre otras.
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de esta se ha logrado
desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha hecho
posible una mejor comprensión del universo.
5. Fundamentos
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así
como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los
vectores servirían de instrumento para representar varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente, Analíticamente, Axiomáticamente
6. Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y
multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de
descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de
representación geométrica.
7. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede
ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran:
– Sistema unidimensional, que se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P)
determina la escala (longitud) y el sentido de esta:
– Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional), que está compuesto por dos rectas perpendiculares
llamadas eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en cuatro regiones
llamadas cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano es dado por las distancias que existen entre los ejes y
P.
– Sistema de coordenadas polares (bidimensional). En este caso el sistema es compuesto por un punto O (origen)
que es llamado polo y una semirrecta con origen en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano, con
referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo (Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el origen
y el punto P.
– Sistema tridimensional rectangular, formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un
punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en ocho
regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre
los planos y P.
8. Magnitudes
Una magnitud es una cantidad física que puede ser contada o medida a través de un valor numérico, como
en el caso de algunos fenómenos físicos; sin embargo, muchas veces es necesario poder describir esos
fenómenos con otros factores que no sean numéricos.
Magnitud vectorial
Son aquellas cantidades que son definidas y representadas por un módulo junto con una unidad, así como
también por un sentido y dirección. Por ejemplo:
a) Velocidad: (5ȋ – 3ĵ) m/s.
b) Aceleración: 13 m /s2; S 45º E.
c) Fuerza: 280 N, 120º.
d) Peso: -40 ĵ kg-f.
Las magnitudes vectoriales son representadas gráficamente por vectores.
9. Vectores
Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los
que su extremo final es la punta de una flecha.
Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es indicado por la punta de su
flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un vector es también conocido
como el punto de aplicación.
Los elementos de un vector son los siguientes:
Módulo
Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector, representada por un número real junto
con una unidad. Por ejemplo:
|OM| = |A| = A = 6 cm
Dirección
Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector, así como también se utilizan
los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste).
Sentido
Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia dónde se dirige este.
10. Clasificación de los vectores
Generalmente, los vectores son clasificados como:
Vector fijo
Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es decir, que se mantiene ligado a un punto del espacio,
por lo que no puede desplazarse en este.
Vector libre
Puede moverse libremente en el espacio porque su origen se traslada a cualquier punto sin cambiar su
módulo, sentido o dirección.
Vector deslizante
Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su línea de acción sin cambiar su módulo, sentido o
dirección.
11. Propiedades de los vectores
Entre las principales propiedades de los vectores se encuentran las siguientes:
Vectores equipolentes
Son aquellos vectores libres que tienen igual módulo, dirección (o estas son paralelas) y sentido que un
vector deslizante o un vector fijo.
Vectores equivalentes
Ocurre cuando dos vectores tienen la misma dirección (o son paralelas), el mismo sentido, y a pesar de
tener diferentes módulos y puntos de aplicación, estos provocan efectos iguales.
Igualdad de vectores
Estos tienen igual módulo, dirección y sentido, aun cuando sus puntos de partida son diferentes, lo que
permite que un vector paralelo se traslade a sí mismo sin afectarlo.
Vectores opuestos
Son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, pero su sentido es opuesto.
Vector unitario
Es aquel en el que el módulo es igual a la unidad (1). Este se obtiene al dividir el vector por su módulo y es
utilizado para determinar la dirección y sentido de un vector, bien sea en el plano o en el espacio.
Vector nulo
Es aquel cuyo módulo es igual a 0; es decir, su punto de origen y extremo coinciden en un mismo punto.
12. Componentes de un vector
Las componentes de un vector son aquellos valores de las proyecciones del vector sobre los ejes del sistema
de referencia; dependiendo de la descomposición del vector, que puede ser en ejes de dos o tres
dimensiones, se obtendrán dos o tres componentes, respectivamente.
Las componentes de un vector son números reales, que pueden ser positivos, negativos o incluso cero (0).
De esa forma, si se tiene un vector Ā, con origen en un sistema de coordenadas rectangulares en el plano xy
(bidimensional), la proyección sobre el eje x es Āx y la proyección sobre el eje y es Āy. Así, el vector se
expresará como la suma de sus vectores componentes.
13. Ecuaciones paramétricas
Un Sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio,
mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro,
considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
Ejemplos
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la
velocidad de un móvil.
En el caso de una función real de una variable real, y =f(x), en algunos casos es preferible, tratándose del par
ordenado (x,y) , expresar cada una de las coordenadas como una función; esto es x= g(t) , y = h(t). De tal manera
que a t se le denomina parámetro' y al sistema formado por x= g(t) , y = h(t) se denomina ecuaciones paramétricas.
De la función. Extendiendo este concepto para el caso de curvas se puede hablar que las ecuaciones x= g(t) , y = h(t)
definen una curva recorriendo algún intervalo de números reales.
Las ecuaciones paramétricas x = 2t-5, y = 4t - 7, que corresponden a la recta de ecuación y=2x+3.
Las de la cicloide son x = a(t-sent), y = a( 1-cost); siendo a el radio de la circunferencia rodante sin resbalamiento por
una recta horizontal; t el ángulo central de la circunferencia , cuyo uno de los lados pasa por un punto de la cicloide
y el otro, por el punto de contacto de la circunferencia con la recta donde rueda.
14. En el espacio
En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por un sistema de tres ecuaciones x= x(t), y = y(t),
z= z(t).
Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = a sen t, z = bt
Para describir una superficie en el espacio R3 se emplean dos parámetros.: s, t. y el correspondiente sistema
de tres ecuaciones paramétricas es x = x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t), resolviendo para s y t el sistema formado
por las dos primeras ecuaciones y reemplazando en la ecuación z= z(s,t) se puede obtener z= f(x,y) o bien
F(x,y,z) = 0
Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones paramétricas es x = a cos s sent, y = asen s sen t , z = a
cos t.
Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de curvatura de una curva plana, la curvatura y la torsión de
una curva en el espacio; plano tangente de una superficie., etc. y da motiva a la llamada derivación de
ecuaciones paramétricas con resultados peculiares.
15. Graficar ecuaciones paramétricas
Hemos visto, que si un lugar geométrico tiene una representación analítica, la cual es una sola ecuación que
contiene dos variables. Ahora veremos la representación analítica de una curva utilizando dos ecuaciones, que
se llaman ecuaciones paramétricas de la curva. Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x
y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto,
designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se
representan en la siguiente forma general:
x =F (z)
y =F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente
referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo:
16. Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente
referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo:
Un segmento de recta de 10 cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas.
Determinar el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) situado sobre el segmento A B a 4 cm del
extremo que se apoya sobre el eje de las x, como se muestra en la figura adjunta:
17. Observando la figura anterior se tienen las funciones trigonométricas:
cos φ
𝑥
6
𝑦 senφ= y
𝑦
4
Por tanto despejando:
x = 6 cos φ
y = 4 sen φ
Estas son las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico descrito, pero necesitamos transformarlas para que
podamos identificar, e incluso, para que podamos darnos cuenta de que las dos ecuaciones paramétricas
representan una sola curva.
Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores:
𝑥2
36
= 𝑐𝑜𝑠2
φ
𝑦2
16
𝑠𝑒𝑛2
φ
Pero se sabe que: sen φ + cos φ =1
18. Sustituyendo tenemos:
𝑥2
36
+
𝑦2
16
= 1
Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geométrico descrito por P es una elipse horizontal, con centro
en el origen, cuyos semiejes miden 6 y 4.
Este problema nos hace ver que toda elipse como la que acabamos de ver con semiejes a y b, esta
representada por las siguientes ecuaciones paramétricas:
x = a cos φ…………………………………………………………………I
y = b sen φ ……………………………………………………………....I’
Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son:
x =b cos φ ...................................................................II
y = a sen φ………………………………………………………………ll’
19. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas
determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva.
Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones
paramétricas. Así tenemos los siguientes ejemplos.
Trazar la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
x = 6 cos φ
y = 4 sen φ
Asignamos diferentes valores al parámetro φ, en este caso La siguiente tabla de tabulación muestra los
valores de x y en función de φ, los cuales los representamos en un sistema de ejes cartesianos.
20. La figura siguiente presenta la gráfica de los valores calculados. La gráfica
representa una elipse.
φ x y
00 6 0
300 =π/6 3 3 2
600
=π/3 3 2 3
900 =π/2 0 4
1200
=2π/3 -3 2 2
1500
=5π/6 −3 3 2
1800
=π -6 0
2700
=3π/2 0 -4
3600 =2π 1 0
21. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
Si una curva suave C está dada por x = f(t) y y = g(t) y C no se interseca a sí misma en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 ,
entonces la longitud de arco de C en este intervalo está dada por:
𝑆 = 𝑎
𝑏 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡 = 𝑎
𝑏
݂´(𝑡) 2
+ g´(𝑡) 2
dt
Ejemplo
22.
23. Conclusión
Al concluir este trabajo de investigación pudimos analizar e investigar cada factor o forma los vectores y sus temas
relacionados , de manera en que pudimos terminar este trabajo con el resultado de que el algebra vectorial se
relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de
operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
25. Bibliografía
Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV espais vectorials». Àlgebra lineal i geometría (en catalán). Publ. UAB.
Cohen, Jacob y Cohen, Patricia. (1975). Applied Multiple Regression and Correlation for the Behavioral Sciences.
Lawrence Erlbaum Ass. USA.
Saris, W y Stronkhorst, L. H. (1984 ). Causal Modelling in Nonexperimental Research. Sociometric Research
Foundation. The Netherlands.
Stevens, Stanley. (1946). On the Theory of Scales of Measurement. Science, New Series, Vol. 103, No. 2684, pp.
677-680. American Association for the Advancement of Science.
Stevens, Stanley. (1957). On the Psychological Law. Psychological Review 64, Pp. 153-181. American
Psychological Association. USA.
