Este es un trabajo final en el proceso de formación de maestros de secundaría

1. “CONOZCAMOS NUESTRO UNIVERSO”: CARACTERIZACION Y
CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE A PARTIR DE SITUACIONES PROBLEMA
ESMERALDA ROCIO BOCANEGRA
316 252 39 41 esmeraldina_rbv@yahoo.com
JOSE VICENTE VELASQUEZ
315 512 65 24 josevelasquezm@hotmail.com
JORGE CALDERON
418 88 00 jorgewilliamcalderon@hotmail.com
CLAUDIA CECILIA GONZALEZ
312 869 50 26 clauceci7002@gmail.com
PROGRAMA DE COMPETENCIAS
10º Y 11º
INSTITUCIONES EDUCATIVAS: VICENTE BORRERO COSTA
SECRETARIA DE EDUCACION MUNICIPAL
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACION Y PEDAGOGIA
AREA DE EDUCACION Y MATEMATICA
Santiago de Cali
2010

2. INTRODUCCIÓN
Una herramienta metodológica que permite el trabajo colaborativo y la participación activa
de los estudiantes es el aprendizaje basado en situaciones didácticas, las cuales bien
realizadas por el docente, le permite a los estudiantes la comprensión de los conceptos junto
con un análisis crítico y serio de lo aprendido.
TITULO
“CONOZCAMOS NUESTRO UNIVERSO”
Caracterización Y Construcción De La Elipse A Partir De Situaciones Problema
1. PROBLEMA
1.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
“El modelo de estudiantes receptores, pasivos y repetidores de frases bien
elaboradas, ha ido reevaluándose con el transcurso de los años, para dar paso
a planteamientos educativos donde el centro de atención es el estudiante, no
como elemento vacío que debe ser colmado de conceptos, sino como un sujeto
activo que debe apropiarse del conocimiento, sobre la base de una reflexión
crítica de lo que aprenda.” y que “El docente ya no es el trasmisor de saberes
ni el cuantificador de resultados, sino el orientador y dinamizador de procesos
continuos e integrales.”1
Es necesario realizar un análisis a las prácticas pedagógicas utilizadas, repensar y
cuestionar la pedagogía tradicional. Utilizar nuevas metodologías que tengan en cuenta al
estudiante como parte de una comunidad y un contexto determinado, con conocimientos
previos y con capacidad de análisis e investigación. Es necesario buscar y recorrer caminos
que permitan que el conocimiento de la matemática sea significativo para el estudiante,
reconociéndola como un conjunto de lenguajes y un proceso no acabado, con historia
propia.
Al observar a los estudiantes se puede vislumbrar como ellos no encuentran relación entre
lo que viven a diario con las temáticas que en general se trabajan en la clase de matemática,
las clases no le ofrecen el aliciente por aprender y se carece en general de un interés por el
estudio. El tema de las cónicas no escapa a este fenómeno pues por la limitación del
tiempo su enseñanza se limita a la grafica y expresión de la ecuación correspondiente,
desligada totalmente de su historia y aplicaciones. Los ejercicios que se realizan son
repetitivos y no fomentan el análisis y el desarrollo de pensamiento matemático.
1
Beltrán Beltrán, Luís Pompilio y otros, Matemáticas con Tecnología Aplicada. Prentice Hall de Colombia,
Bogotá, 1999

3. 1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
¿Cómo lograr que los estudiantes del grado decimo de nuestras instituciones
educativas construyan, caractericen y planteen la ecuación correspondiente a la elipse,
a partir de situaciones problemas e identifiquen los elementos que la conforman?
2. JUSTIFICACIÓN
La geometría como las matemáticas han jugado un papel importante en la consolidación de
muchos saberes, sin embargo dentro del pensum académico parece tener una pérdida
progresiva de su posición formativa central en la enseñanza de las matemáticas. Este
decaimiento ha sido tanto cualitativo como cuantitativo. Síntomas de esta reducción se
encuentran por ejemplo, en las recientes encuestas nacionales e internacionales sobre el
conocimiento matemático de los estudiantes.
Con frecuencia la geometría es totalmente ignorada en ellas, o solamente se incluyen muy
pocos ítems de geometría. En último caso, las preguntas tienden a ser confinadas a algunos
"hechos" elementales sobre figuras simples y sus propiedades, y se reporta un desempeño
relativamente pobre.
La brecha entre la concepción de la geometría como un área de investigación y como una
materia a ser enseñada en las escuelas parece estar incrementándose; pero no parece
encontrarse consenso en cómo superar esta brecha, ni aún si pudiera (o debiera) ser
superada a través de la introducción de más tópicos avanzados en los grados inferiores del
currículo escolar.
En el caso de la geometría analítica, la enseñanza se limita tanto en el tiempo dedicado a su
enseñanza como en la metodología empleada reducida a la mecanización de procesos
algebraicos.
Es importante recordar que los estudiantes en la educación básica y media deben alcanzar
competencias matemáticas para llegar a resultados que le permitan comunicarse y hacer
interpretaciones que les relacionando la matemática con situaciones cotidianas. Es así , que
los docentes deben estar en constante cambio y actualización ,dejando atrás las prácticas
tradicionales y enfocándose hacia nuevos estilos y métodos; al respecto el CNTM(Consejo
nacional de profesores de matemáticas) escribe que los maestros deberían tener en cuenta
las mejores prácticas para la enseñanza como por ejemplo ofrecer experiencias que
estimulen la curiosidad de los estudiantes y adquieran confianza en la investigación ,la
solución de problemas y en el aprendizaje entre otras.

4. Atendiendo a estas necesidades se hace ineludible la búsqueda de nuevas herramientas
pedagógicas que lleguen al estudiante, lo motiven y que al mismo tiempo logre el
desarrollo de pensamiento matemático. Es aquí donde la didáctica y las tics desempeñan
un rol muy importante en la aprehensión y modificación del conocimiento. Las
computadoras pueden ser usadas para obtener un entendimiento más profundo de las
estructuras geométricas gracias al software específicamente diseñado para fines didácticos.
Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular las construcciones tradicionales con regla y
compás, o la posibilidad de mover los elementos básicos de una configuración sobre la
pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones geométricas existentes, lo cual puede
conducir a una presentación dinámica de objetos geométricos y favorecer la identificación
de sus invariantes.
3. OBJETIVOS
3.1. Objetivo General:
Proporcionar herramientas que permitan al estudiante caracterizar y construir la elipse,
dando solución a las .diferentes situaciones problemas que se le propongan.
3.2. Objetivos Específicos:
• Utilizar la lúdica como estrategia practica en la construcción de la elipse y a partir de
allí identificar los elementos que la componen.
• Generar pensamiento matemático relativo a la construcción, representación de la elipse
en el plano cartesiano a través de diferentes registros de representación, mediante el
diseño, análisis y puesta en escena de una secuencia didáctica en diferentes contextos.
• Potencializar el pensamiento variacional y su relación con otros pensamientos por
medio del estudio de la elipse
• Incentivar en el estudiante la formulación y resolución de situaciones problemas que
involucren el concepto de la elipse, a través de diferentes representaciones.
• Propiciar aprendizajes más significativos en nuestros estudiantes a través del
fortalecimiento de los diferentes procesos de pensamiento (Razonamiento,
Planteamiento y resolución de problemas, Modelación y Comunicación) y el trabajo por
competencias.
• Utilizar las tics como herramienta motivacional y practica en la construcción de la
elipse y su análisis geométrico y algebraico

5. 4. MARCO REFERENCIA
4.1. EL DISEÑO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA
La enseñanza de la matemática hoy en día requiere nuevas herramientas que permitan al
estudiante la adquisición de conocimientos de una forma diferente a la tradicional, donde él
sea parte activa del proceso enseñanza – aprendizaje.
Las situaciones didácticas brindan al docente y al estudiante una forma diferente de ver la
matemática; favorecen el intercambio de conocimientos y el desarrollo de competencias
básicas como la interpretativa, argumentativa y propositiva. Ellas enfrentan al estudiante a
la acción, formulación y validación en la apropiación del conocimiento2.
Las situaciones que presentamos tienen la estructura de la dialéctica herramienta/objeto
propuesta por Regine Douady, cuyo funcionamiento esta, a grandes rasgos, conformado por
tres etapas:
“La primera etapa consiste en la utilización de un objeto conocido como herramienta
explicita para introducir un procedimiento de resolución del problema o al menos una parte
del problema. Dicho de otra forma, se moviliza lo antiguo para resolver al menos
parcialmente el problema.
En la segunda etapa, el alumno encuentra dificultades para resolver completamente su
problema. El alumno es conducido a buscar otros medios mejor adaptados a su situación.
Esta etapa es una etapa de aprendizaje y es esencialmente en ella que las concepciones y
representaciones del alumno evolucionan.
En la tercera etapa ciertos elementos son formulados e identificados” 3 y en nuestro caso
nos permiten evaluar el nivel de conocimiento adquirido hasta el momento por el
estudiante.
Es así como por medio de estas situaciones deseamos despertar en el estudiante el interés
por la matemática, específicamente el estudio de la elipse, mostrando su utilidad y
proyectándola fuera del aula. Teniendo presente que “El docente debe ser parte activa del
desarrollo, implementación y evaluación del currículo, su papel debe ser el de propiciar una
atmósfera cooperativa que conduzca a una mayor autonomía de los alumnos frente al
conocimiento. Deberá crear situaciones problemáticas que permitan al estudiante explorar
problemas, construir estructuras, plantear preguntas y reflexionar sobre modelos, estimular
2
BROUSSEAU, G. La théorisation des phénomenes d´enseignement des mathématiques. Thése,
Université de Bordeaux, 1986.
3
DOUADY, R. Jeux de Cadres et Dialectique outil-object, dans l´endeignement des
mathématiques. Une realization dans tout le curses primaire. Thése d´Etat, Université Paris VII,
1984

6. representaciones informales y múltiples y, al mismo tiempo, propiciar gradualmente la
adquisición de niveles superiores de formalización y abstracción, diseñar además
situaciones que generen conflicto cognitivo” 4.
5. DISEÑO METODOLOGICO
El proyecto de intervención se aplicara en la Institución Educativa Vicente Borrero
Costa. Se realizaran tres situaciones didácticas con el objetivo de conceptuar la elipse de
forma que los estudiantes la construyan y caractericen claramente dando solución a
situaciones problemas que las involucren.
Cada situación consta de una serie de actividades las cuales se desarrollarán en forma
grupal (grupos de 4 estudiantes) para discutir las diferentes posibles soluciones y llegar a
una única solución enriquecida por el aporte de cada uno de los integrantes del grupo.
Al finalizar la aplicación de las diferentes situaciones se realizará la evaluación y se
anotarán las conclusiones, teniendo en cuenta las dificultades, interrogantes y los resultados
presentados por los estudiantes. En todas las situaciones estará presente el docente como
orientador, guía y moderador, aclarando aquellos interrogantes que se presenten.
6. PROPUESTA
6.1. SECUENCIA DIDACTICA
SECCION CONICA
“Haciendo nuevas preguntas llegaremos a tener nuevos conocimientos”
Situación 1
Materiales:
Plastilina,
Cartulina
Bisturí
4
Nuevos Lineamientos Curriculares. MEN.

7. Hoja de papel cuadriculado
Molde
Procedimiento:
Con la plastilina elaborar un cono, y con ayuda del molde construir un cono circular recto.
Una vez armados los conos, realizar los siguientes los siguientes cortes, utilizando el
bisturí:
a. Horizontal, paralelo a la base del cono
b. Vertical, paralelo al eje vertical del cono.
c. Diagonal al eje horizontal del cono

8. d. Diagonal , paralelo a uno de los lados del cono
Observa las figuras obtenidas, en la superficie plana, al realizar cada uno de los cortes
Representa en una hoja las figuras obtenidas.
Todas estas curvas son llamadas cónicas y se estudian en la geometría analítica, siendo
útiles para el análisis de las órbitas de los planetas, la trayectoria de los proyectiles y el
cálculo de áreas.
Situación 2
Elaboración de una elipse a través del plegado de papel en dos etapas.
1. Plegado del papel
Recorte un círculo de papel de cualquier radio e indique el centro del mismo.
Marque en el interior de dicho circulo un punto P que sea distinto de su centro O.
Doble el círculo de manera que la circunferencia pase por el punto P. Como se indica en
la figura.
Realice varios dobleces, haciendo siempre coincidir puntos de la circunferencia con el
punto P, hacer esto en varias direcciones.
2. Una vez realizados estos dobleces:
a. Que observas? Discute con tus compañeros
b. Qué figura se obtiene?, delinéala.
c. Qué función cumplen los puntos O y P

9. Los dobleces realizados parecen delimitar una elipse cuyos focos son a simple vista los
puntos O y P, el centro del circulo, y el punto fijado en su interior, respectivamente.
Esto se muestra en la siguiente figura.
La figura así formada recibe el nombre del ELIPSE
Situación 3
Sobre una hoja de papel cuadriculado ubica los puntos F1 y F2, separados una distancia d.
d
F1 F2
En un lugar cualquiera ubica el punto P a cierta distancia de los puntos F1 y F2
P
F1 F2
Con ayuda de un cordon mide la distancia F1 P (dis(F1P))y únela con la de F2 P.
Manteniendo fija esta longitud ubica los extremos del cordel en los puntos F1 y F2, tensiona
el cordel con la punta del lápiz (como se muestra en la figura) en P y manteniéndola
siempre tensa desliza el lápiz y dibuja cuantos puntos creas convenientes.

10. Mediante un trazo suave une los puntos. La figura así formada
recibe el nombre del ELIPSE, obsérvala y responde:
1. ¿Cómo se obtuvieron cada uno de los puntos que forman la
elipse?
2. Plantea una relación entre dis(F1P), dis(F2,P) y la longitud
del cordón.
3. Si escogiéramos otro punto de la elipse Q, ¿Qué relación
habría entre la longitud del cordón y la dis(F1Q) y dis(F2,Q)?
4. Socializa tus respuestas con tus compañeros.
Une mediante una recta los focos (puntos F1 y F2), y prolonga sus
extremos hasta tocar puntos de la figura, llamaremos a dichos Q
puntos vértices y los denotaremos así: V1 y V2. Traza la mediatriz a
la recta V1V2 y denota al punto medio como O.
A partir de estos trazos representa los ejes coordenados.
Determina las coordenadas de los puntos V ,V, F ,F ,O ,Q ,P
5. Calcula las distancias (dis(V1,F1) y dis(V2,F2).
6. Compara las distancias dis(V1,F1) y dis(V2,F2). ¿Qué relación hay entre ellas?.
7. Calcula la distancia dis (V1, V2) y comparala con la longitud del cordón ¿Qué
relación existe entre ellas?
8. Que podemos decir de la dis(P,F1) + dis(P,F2)?
9. Que podemos decir de la dis(V1,F1) + dis(V1,F2)?
10. Que podemos decir de la dis(V1,F1) + dis(F2, V2)?
11. Que podemos decir de la dis(Q,F1) + dis(Q,F2)?
12. Que conclusión puedes determinar para todo punto P (x, y ) de la elipse?

11. Situación 4
¿QUE ES LA ELIPSE?
La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituye un lugar geométrico que
tienen la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos, a otros dos
fijos, F1 y F2 llamados focos es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor.

12. Dibujemos en el plano cartesiano la elipse y ubiquemos los siguientes puntos
P =(x, y)
Analiza
el
gráfico
y
responde:
1. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos y de los vértices?
2. ¿Cuál es la distancia entre los focos?
3. ¿Cuál es la distancia entre los vértices?
4. ¿A que es igual la suma: dis (V1, F1) + dis (V1, F2)?
5. Compara la distancia entre los vértices con la suma de las distancias entre V1 a cada
uno de los focos (dis(V1, V2) y dis (V1, F1) + dis (V1, F2)). ¿Cómo son?
Al realizar el punto anterior pudiste comprobar que:
dis (V1, V2) = dis (V1, F1) + dis (V1, F2) = 2 a
1. Que puedes decir de las dis(F1, P1) + dis (F2, P1) . Compárala con la comprobación
anterior.
2. Teniendo en cuenta el resultado anterior, qué relación encuentras entre a, b y c
Por lo tanto, la suma de las distancias de un vértice a cada uno de los focos es igual a 2a. Y
como un vértice es un punto de la elipse, cualquier punto P de la elipse también debe
cumplir la misma condición. Es decir
Para todo punto P de la elipse se cumple que dis (P, F1) + dis (P, F2) = 2 a
3. Utilizando las coordenadas de los puntos y el método para hallar distancia entre dos
puntos, halla la expresión para la distancia dis(P, F1) y dis(P, F2). Encuentra su
suma.

13. Situación 5
Al realizar la anterior actividad podemos constatar que al realizar la suma de dis(P, F1) y
dis(P, F2), se obtiene:
La cual es la ecuación de la elipse con centro (0,0) y focos (0, -c) y (0,c).
¿Cuál es la ecuación de la elipse de la figura?
Sustituyendo en ella la x y la y por las coordenadas de Q, ¿qué ocurre?
Desplaza el punto Q y observa los cambios.
Desliza el punto P y observa qué ocurre al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la
elipse.
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A, A', B y B' y de los focos F y F' de la elipse?
¿Cuánto miden los semiejes a=OA y b=OB y la semidistancia focal c=OF? ¿Qué relación
hay entre estas tres medidas?
Mueve los puntos A y B y observa los cambios. ¿Cuál es la ecuación de la elipse de
semiejes a y b?

14. ¿Qué ocurre si b>a? ¿Y si b=a?
Mueve los puntos O, A y B hasta visualizar la elipse de ecuación (x+2)²/16 + (y-3)² /25 = 1
Visualiza ahora la de ecuación x² + 9y² =9
Situación 6
1. Para las siguientes ecuaciones de la elipse determinar sin necesidad de realizar la
grafica correspondiente lo siguiente:
Si es vertical u horizontal.
Las coordenadas del centro.
Los valores de a, b, y c.
La excentricidad.
Las coordenadas de los vértices, de los focos y de los extremos del eje menor.
a) (X – 3)2 + (Y + 4)2 = 1 b) (X + 5)2 + (Y – 1)2 = 1
16 4 9 49
2. Hacer la grafica de las siguientes elipses a partir de sus ecuaciones:
a) X2 + Y2 = 1 b) (Y – 2)2 + (X – 1)2 = 1
25 16 36 25
3.
Deducir el vértice, los focos, y las ecuaciones de las elipses a partir de sus gráficas:
a) Y b) Y
V1 (0,2)
X=3
X
(1,0)
(3,-2) X
V1 (7,-4) Y= - 4

15. Evaluación para acreditar la percepción del
tema de la elipse.
1. Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la ecuación de la elipse:
a). X2/a2 – Y2/b2 = 1 b). X2/a2 = Y2/b2 c). X2/a2 – Y2/b2 = -1 d). X2/a2 + Y2/b2 = 1
2 2
e). X +Y =1.
2. Conteste falso o verdadero a las siguientes preguntas.
a).Una elipse es un ovalo
b). La parábola, hipérbola, y elipse son cónicas.
c).La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de sus focos.
d).La elipse es un lugar geométrico.
e).Todo ovalo es una elipse.
3. A continuación se presentan una serie de palabras que están relacionadas. Debes
comprobar que relación existe entre ambas, y escribir la palabra que corresponda.
a). Eje mayor - Vértices…………Recta.
b). Ángulos - Lados …………Cónicas.
c). Pendiente - Punto …………Elipse.
d). Parábola - Hipérbola……….Líneas.
e). Perpendicular - Paralelas…..Triángulos.
4. En cada serie hay una palabra que no tiene nada que ver con las otras tres, pon mucha
atención y subraya la correcta.
a).casa….edificio….chalet….foco.
b).vértice….agua….fuego….aire.
c). numero….excentricidad….calculo….algebra-
d). moto….carro….elipse….bicicleta.
e). profesor….clase….eje mayor….alumno.
5. Coloca los números en las intersecciones de estas elipses de manera que la suma de los
seis números de cada elipse sea igual a 24.

16. 0-1-2-3-4-5-6-7-8.
6. En las siguientes ecuaciones, falta una parte para hacerlas verdaderas, termina la
ecuación con ayuda de la grafica.
a). X2/52 + Y2/ = 1.
b). 25X2+4y2=100. Terminar la ecuacion y hacer la grafica.
c).Si la ecuación de la elipse es: X2/a2+ Y2/b2=1. ¿Cómo quedaría expresada la ecuación si
a=21/2 y b=31/2.
d).Cuando la ecuación de la elipse es igual a la ecuación de la circunferencia?
e). Haga una grafica de la elipse y señale sus partes.