Belajar Rister Operasional dengan menggunakan metode simpleks

1. PROGRAM LINIER – METODE SIMPLEKS

2.  Merupakan metode yang biasanya digunakan
untuk memecahkansetiap permasalahan pada
pemrogrammanlinear yang kombinasi
variabelnya terdiri dari tiga variabel atau lebih.
 Metode yang secara matematis dimulai dari
pemecahandasar yang feasibel (basic feasible
solution) ke pemecahan dasar feasibel lainnya,
yang dilakukan berulang-ulang (iteratif)
sehingga tercapai suatu penyelesaian
optimum.

3.  Diperkenalkan pada tahun 1947 oleh
George B. Dantzig dan telah diperbaiki
oleh beberapa ahli lain.
 Metode penyelesaian dari Metode Simpleks
ini melalui perhitungan ulang (iteration) di
mana langkah-langkahperhitungan yang
sama diulang-ulangsampai solusi optimal
diperoleh.

4. Syarat:
Model program linier (Canonical form) harus dirubah
dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan
”bentuk baku” (standard form).
Sifat bentuk baku:
 Semua batasan adalah persamaan (dengan tidak
ada nilai negatif pada sisi kanan)
 Semua variabel tidak ada yang bernilai negatif, dan
 Fungsi tujuan dapat berupa minimisasi atau
maksimisasi.
Mohamad Sidiq

5. Mohamad Sidiq
Maksimalkan/minimalkan: 𝑧 𝑥1, 𝑥2, … … , 𝑥 𝑛 = σ1
𝑛
𝑐𝑗 𝑥𝑗
dengan batasan (kendala): σ1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
≤
≥
𝑏𝑖
𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑗 ≥ 0 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 = 1,2,3,… 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 1,2,3,… 𝑛
Atau
Maksimalkan/minimalkan:
𝑧 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + 𝑐3 𝑥3 + ⋯. . +𝑐 𝑛 𝑥 𝑛
dengan batasan(kendala):
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ … + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ … + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏2
… . .
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + 𝑎 𝑚3 𝑥3 + ⋯ … + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏 𝑚
𝑑𝑎𝑛 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , … . , 𝑥 𝑗 ≥ 0

6. Mohamad Sidiq
z = Fungsi tujuan
xj = Jenis kegiatan (variabelkeputusan)
aij = Kebutuhan sumberdaya i untuk menghasilkan setiap unit
kegiatan j
bi = Jumlah sumberdaya i yang tersedia
cj = Kenaikan nilai Z jika ada pertambahan satu unit kegiatan j
a, b, dan c, disebut juga sebagai parameter model
m = Jumlah sumberdaya yang tersedia
n = Jumlah kegiatan.

7.  Fungsi Pembatas
 Suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda <
diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk
standar) dengan cara menambahkan suatu
variabel baru yang dinamakan slack variable .
 Banyaknya slack variable bergantung pada fungsi
pembatas.

8.  FungsiTujuan
 Dengan adanya slack variable pada fungsi
pembatas, maka fungsi tujuan juga harus
disesuaikan dengan memasukkan unsur slack
variable ini.
 Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi
apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta
untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

10.  Setelah fungsi batasan diubah ke dalam
bentuk persamaan (bentuk standar), maka
untuk menyelesaikanmasalah program linier
dengan metode simpleks menggunakan
suatu kerangka tabel yang disebut dengan
tabel simpleks.
 Tabel ini mengatur model ke dalam suatu
bentuk yang memungkinkanuntuk
penerapan penghitunganmatematismenjadi
lebih mudah.

11. Var.
Dasar
Z X1 X2 . . . . Xn S1 S2 . . . . Sn NK
Z 1 -C1 -C2 . . . . -Cn 0 0 0 0 0
S1 0 a11 a12 . . . a1n 1 0 0 0 b1
S2 0 a21 a22 . . . a2n 0 1 0 0 b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sn 0 am1 am2 . . . amn 0 0 0 1 bm

12. 1. Rumuskan persoalan PL ke dalam model
umum PL (fungsi tujuan dan fungsi
pembatas).
2. Ubah model umum PL menjadi model
simpleks:
a. Fungsi Pembatas: tambahkan slack
variable (surplus variabel, variabel buatan
atau artifisial variable)

13. b. Fungsi tujuan :
- Ubahlah bentuk fungsi tujuan eksplisit
menjadi persamaan bentuk implisit
-Tambahkan/kurangidengan slack
variable (surplus var atau variable
buatan) yang bernilai nol.
3. Formulasikanke dalamTabel Simpleks.
4. Lakukan langkah-langkahpenyelesaian.

14.  Model Program Linear
1. FungsiTujuan :
Maksimumkan: Z=8X1 + 6X2
(dalam Rp 1000)
2. Fungsi Pembatas :
BahanA : 4X1 + 2X2 ≤ 60
Bahan B : 2X1 + 4X2 ≤ 48
X1, X2 ≥ 0

15.  ModelSimpleks :
1. FungsiTujuan : Maksimumkan
Z– 8X1–6X2–0S1- 0S2 = 0
2. Fungsi Pembatas :
4X1+2X2+ S1+ 0S2 = 60
2X1+4X2+0S1+ S2 = 48
X1, X2, S1, S2 ≥ 0

16. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z
S1
S2

17. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -8 -6 0 0 0
S1
S2

18. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -8 -6 0 0 0
S1 4 2 1 0 60
S2

19. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -8 -6 0 0 0
S1 4 2 1 0 60
S2 2 4 0 1 48

20. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -8 -6 0 0 0
S1 4 2 1 0 60
S2 2 4 0 1 48
1. Iterasi Awal (Iterasi-0)

21. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -8 -6 0 0 0
S1 4 2 1 0 60
S2 2 4 0 1 48
2. Iterasi-1 :
a. Menentukan kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien
fungsi tujuan yang bernilai negatif
terbesar.

22. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z -8 -6 0 0 0 -
S1 4 2 1 0 60 15
S2 2 4 0 1 48 24
b. Menentukanbaris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif).
𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 =
𝑁𝐾 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠
𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐾𝑜𝑙𝑜𝑚 𝐹. 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠
Angka Kunci

23. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z
X1 1 ½ ¼ 0 15
S2
c. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) / n-angka kunci
- Nilai baris yang lain = Baris lama – {(Nilai baris kunci baru) x
(angka kolom kunci baris ybs)}

24. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci
Rumus :
Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci
[-8 -6 0 0 0 ]
(-8) [ 1 1/2 1/4 0 15 ] ( - )
Nilai baru = [0 -2 2 0 120 ]
Baris pertama (Z)
Baris ke-3 (batasan 2)
[2 4 0 1 48 ]
(2) [ 1 1/2 1/4 0 15 ] ( - )
Nilai baru = [0 3 -1/2 1 18 ]
Langkah Penyelesaian (5)

25. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z 0 - 2 2 0 120
X1 1 ½ ¼ 0 15
S2 0 3 - ½ 1 18

26. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z 0 - 2 2 0 120 -
X1 1 ½ ¼ 0 15 30
S2 0 3 - ½ 1 18 6

27. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z
X1
X2 0 1 - 1/6 1/3 6 -

28. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z 0 0 5/3 2/3 132 -
X1 1 0 1/3 - 1/6 12 -
X2 0 1 - 1/6 1/3 6 -

29. Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi
tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai
nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini
menunjukkan penyelesaian persoalan linear
dengan metode simpleks sudah mencapai
optimumdengan hasil sbb :
X1= 12 danX2 = 6
denganZmakasimum = Rp 132.000.-

30.  Model Program Linear
1. FungsiTujuan :
Maksimumkan : Z=15X1 + 10X2
(Dlm Rp10.000)
2. Fungsi Pembatas :
BahanA : X1 + X2 ≤ 600
Bahan B : 2X1 + X2 ≤ 1000
X1, X2 ≥ 0

31. 1. FungsiTujuan : Maksimumkan
Z– 15X1–10 X2–0S1- 0S2 = 0
2. Fungsi Pembatas :
X1+X2+ S1+ 0S2 = 600
2X1+X2+0S1+ 1S2 = 1000
X1, X2, S1, S2 ≥ 0

32. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z
S1
S2

33. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -15 -10 0 0 0
S1
S2

34. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -15 -10 0 0 0
S1 1 1 1 0 600
S2

35. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -15 -10 0 0 0
S1 1 1 1 0 600
S2 2 1 0 1 1000

36. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -15 -10 0 0 0
S1 1 1 1 0 600
S2 2 1 0 1 1000
1. Iterasi Awal (Iterasi-0)

37. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z -15 -10 0 0 0
S1 1 1 1 0 600
S2 2 1 0 1 1000
2. Iterasi-1 :
a. Menentukan kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien
fungsi tujuan yang bernilai negatif
terbesar.

38. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z -15 -10 0 0 0 -
S1 1 1 1 0 600 600
S2 2 1 0 1 1000 500
b. Menentukanbaris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif).
𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 =
𝑁𝐾 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠
𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐾𝑜𝑙𝑜𝑚 𝐹. 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠

39. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z
S1
X1 1 ½ 0 ½ 500
c. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) / n-angka kunci
- Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x
angka kolom kunci baris ybs.

40. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z
S1 0 ½ 1 - ½ 100
X1 1 ½ 0 ½ 500
c. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) / n-angka kunci
- Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x
angka kolom kunci baris ybs.

41. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK
Z 0 -2½ 0 7½ 7500
S1 0 ½ 1 - ½ 100
X1 1 ½ 0 ½ 500

42. 3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel
simpleks masih ada yang bernilai negatif.
Angka Kunci
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z 0 -2½ 0 7½ 7500 -
S1 0 ½ 1 - ½ 100 200
X1 1 ½ 0 ½ 500 1000

43. - Merubah baris pada angkakunci dan baris-barislainnya.
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z
X2 0 1 2 -1 200 -
X1

44. - Merubah baris pada angkakunci dan baris-barislainnya.
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z
X2 0 1 2 -1 200 -
X1 1 0 -1 1 400 -

45. - Merubah baris pada angkakunci dan baris-barislainnya.
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z 1 0 5 5 8000 -
X2 0 1 2 -1 200 -
X1 1 0 -1 1 400 -

46. Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi
tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai
nilai negatif, proses peru-bahan selesai dan ini
menunjukkan penyelesaian persoalan linear
dengan metode simpleks sudah mencapai
optimumdengan hasil sbb :
X1= 400 danX2 = 200 dengan
Zmakasimum = Rp 8000.-

47.  Model Program Linear
FungsiTujuan :
Maksimumkan : Z = 3X1+2X2
Fungsi Pembatas :
X1 + X2 ≤ 15
2X1 + X2 ≤ 28
X1 + 2X2 ≤ 20
X1, X2 ≥ 0

48.  Model Simpleks
FungsiTujuan : Maksimumkan
Z– X1–2X1–0S1–0S2–0S3 = 0
Fungsi Pembatas :
X1 + X2 + S1 = 15
2X1 + X2 + S2 = 28
X1 + 2X2 + S3 = 20
X1, X2 ≥ 0

49. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK
Z
S1
S2
S3
 Tabel Simpleks

50. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK
Z -3 -2 0 0 0 0
S1
S2
S3

51. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK
Z -3 -2 0 0 0 0
S1 1 1 1 0 0 15
S2
S3

52. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK
Z -3 -2 0 0 0 0
S1 1 1 1 0 0 15
S2 2 1 0 1 0 28
S3

53. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK
Z -3 -2 0 0 0 0
S1 1 1 1 0 0 15
S2 2 1 0 1 0 28
S3 1 2 0 0 1 20

54. (a). IterasiAwal (Iterasi-0) :
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z -3 -2 0 0 0 0 -
S1 1 1 1 0 0 15 15
S2 2 1 0 1 0 28 14
S3 1 2 0 0 1 20 20

55. (a). IterasiAwal (Iterasi-0) :
Angka Kunci
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z -3 -2 0 0 0 0 -
S1 1 1 1 0 0 15 15
S2 2 1 0 1 0 28 14
S3 1 2 0 0 1 20 20

56. (b). Iterasi-1
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z
S1
X1 1 ½ 0 ½ 0 14 -
S3

57. (b). Iterasi-1
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z
S1
X1 1 ½ 0 ½ 0 14 -
S3 0 3/2 0 -½ 1 6 -

58. (b). Iterasi-1
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z
S1 0 ½ 1 -½ 0 1 -
X1 1 ½ 0 ½ 0 14 -
S3 0 3/2 0 -½ 1 6 -

59. (b). Iterasi-1
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z 0 -½ 0 3/2 0 42 -
S1 0 ½ 1 -½ 0 1 -
X1 1 ½ 0 ½ 0 14 -
S3 0 3/2 0 -½ 1 6 -

60. Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z 0 -½ 0 3/2 0 42 -
S1 0 ½ 1 -½ 0 1 2
X1 1
½
0 ½ 0 14 28
S3 0 3/2 0 -½ 1 6 4

61. Perubahan-perubahanbaris kuncidan barislainnya.
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z
X2 0 1 2 -1 0 2 -
X1
S3

62. Perubahan-perubahanbaris kuncidan barislainnya.
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z
X2 0 1 2 -1 0 2 -
X1 1 ½ 0 ½ 0 14 -
S3

63. Perubahan-perubahanbaris kuncidan barislainnya.
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z
X2 0 1 2 -1 0 2 -
X1 1 ½ 0 ½ 0 14 -
S3 0 0 0 -3 1 1 -

64. Perubahan-perubahanbaris kuncidan barislainnya.
Variabel
Dasar
X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks
Z 0 0 1 1 0 43 -
X2 0 1 2 -1 0 2 -
X1 1 ½ 0 ½ 0 14 -
S3 0 0 0 -3 1 1 -

65. Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi
tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai
nilai negatif, proses peru-bahan selesai dan ini
menunjukkan penyelesaian perhitungan
persoalan program linear dengan metode
simpleks sudah mencapai optimum dengan
rincian sbb :
X1 =13; X2=2,
denganZmaksimum = 43

66. Maksimumkan
Z = 60X1+30X2+20X3
Dengan Pembatas :
8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 8
X2 ≤ 5
X1,X2,x3 ≥ 0

67. Maksimum
z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3
Dengan Pembatas :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0

68. Memaksimumkan
z = 8 x1 + 7 x2 + 3x3
Dengan Pembatas :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 4
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 7
3x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0

69. Penyimpangan bentuk standar dapat terjadi
karena :
1. Fungsi tujuan (Z) bukan Maximalisasi,
tetapi Minimalisasi
2. Fungsi batasan bertanda (=) atau (≥)
3. Dan syarat X1 atau X2 tidak terpenuhi,
misalkan X1 ≥ - 10 (negatif)

70. Fungsi Tujuan :
Minimalkan Z = 3X1 + 5X2
Dengan batasan :
Mesin A 2X1 = 8
Mesin B 3X2 ≤ 15
Mesin C 6X1 + 5X2 ≥ 30 ,
di mana X1 dan X2 ≥ 0

71.  Fungsi tujuan agar menjadi maksimal dikalikan dengan (-1)
 Jika kendala bertanda “=“, tambahkan ruas kiri satu variabel
tambahan berupa variabel artifisial .
 Jika kendala bertanda “>”, kurangkan ruas kiri dgn variabel
surplus dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel artifisial.
 Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan
artifisial ke dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var.
surplus = 0 dan koefisien var. artifiasial = M
(M adalah konstanta yang nilainya sangat besar sekali, tapi
berhingga, misalnya ribuan, puluhan ribu,dst)

72.  Minimalkan Z = 3X1 + 5X2 menjadi
Maksimalkan (-Z) = -3X1 – 5X2
 Mesin A 2X1 = 8, akan menjadi :
2X1 + X3 = 8
 Mesin B 3X2 ≤ 15  3X2 + X4 = 15
 Mesin C 6X1 + 5X2 ≥ 30 ,  akan menjadi
6X1 + 5X2 -X5 + X6 = 30
Sehingga fungsi tujuan menjadi :
Maksimal : –Z + 3X1 + 5 X2 + MX3 + MX6 = 0
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5

73. Masalah berikutnya yang muncul adalah setiap
variabel dasar (slack atau artificial variabel),
harus bernilai nol, sehingga MX3 dan MX6 di
atas harus di-nol-kan terlebih dahulu, sebelum
dipindah ke tabel simplex. Cara yang
digunakan adalah dengan mengurangi
bilangan M tersebut dengan bilangan M itu
sendiri, yang sebelumnya dikalikan dengan
setiap nilai batasan yang menyebabkan
munculnyabilanganM tersebut.

74. Nilai fungsi tujuan terakhir adalah :
3 5 M 0 0 M 0
 Kita coba hilangkan M yang pertama terlebih dahulu.
 X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK
 3 5 M 0 0 M 0
( 2 0 1 0 0 0 8 ) M
_____________________________________-
3-2M 5 0 0 0 M -8M

75.  Selanjutnya kita hilangkan M yang kedua.
 3-2M 5 0 0 0 M -8M
( 6 5 0 0 -1 1 30 ) x M
________________________________________________-
3-8M 5-5M 0 0 M 0 -38M,
Atau
 -8M+3 -5M+5 0 0 M 0 -38M
Yang merupakannilai dari fungsi tujuanyang baru
selanjutnya akan dimasukkan ke tabel simplex,
sehingga tabel simlex awalnya adalah sebagai
berikut :

76. X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK
Z -8M+3 -5M+5 0 0 M 0 -38M
X3 2 0 1 0 0 0 8
X4 0 3 0 1 0 0 15
X6 6 5 0 0 -1 1 30
Tabel Awal simplex, untuk kasus penyimpangan :