Cynthia Sanchez

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENCION BARQUISIMETO.
Cynthia Sánchez
C.I:19.571.045

2. 1
0
Parte Nº1: Hallar el área de la Región encerrada por los gráficos:
a). 푭(풙) = 풙ퟐ- 4, g(x)= X- 4
Puntos de intersección de las graficas
y=푥2 – 4 y=x – 4
Igualamos
x- 4 = 푥2 – 4
A= ∫ [(푥 − 4) − (푋2 − 4)]
1
0 푑푥 = ∫ (푥 − 4 − 푋2 + 4)푑푥 = ∫ (푥 − 푥2)푑푥
1
0
1
0
A=
푥2
2
−
푥3
3
=
(1)2
2
−
13
3
− [
02
2
−
03
3
] = 퐴 =
1
6
b). 풚= 풙ퟑ , 풚 = ퟒ풙
Puntos de intersección de las gráficas:
푦= 푥3 푦 = 4푥
Igualamos
푥3 = 4 푥 → 푥3 − 4푥 = 0
→ 푋(푥2 − 4) = 0
X=0 X=2 x= - 2
Si x=0 en y=x - 4
Y= - 4 푃1(0, - 4)
Si x= 1 en y=x - 4
Y= - 3 푃2 (1, - 3)
Si x=0 en y = 푋2 - 4
Y= - 4 푃3(0, - 4)
Si x= 1 en y=푋2 - 4
Y= - 3 푃4 (1, - 3)
Si x=0 en y = 푋3
Y= 0 푃1(0, 0)
Si x= 2 en y=푋3
Y= 8 푃2 (2, 8)
Si x= - 2 en y = 푋3
Y= - 8 푃3(- 2, - 8)

3. 0
-2
2
0
0
-2
2
0
푒2
1
Tenemos dos áreas por los tanto 퐴푡= 퐴1+ 퐴2
퐴푡 = ∫(푥3−4푥)푑푥+ ∫( 4푥− 푥3)푑푥 = 푥44− 4푥22200−2 + 4푥22− 푥44
퐴푡= 푥44−2푥2 + 2푥2− 푥44 = 0 -((−2)44−2(−2)2)+2(2)2− (2)44−0
퐴푡=− [164−8]+8− 164= 퐴푡=4+4→ 퐴푡=8
c). 풙= ퟏퟐ 풚 ,풙=풐, 풚=ퟏ, 풚=풆ퟐ
Hallamos los puntos de intersección.
퐴푡=∫(12 푦 −0)푑푦=12 ∫ 1 푦 푒21 푑푦= 12 푙푛푦 푒21 =12 [푙푛푒2−푙푛1]
퐴=2−푙푛1= 퐴=2
Para 푦=1 푒푛 푥= 12 푦
→푥=12 푃1 (12,0)
Para 푦=푒2 푒푛 푥= 12 푦
푥=1,624 푃2 (1,624,푒2)

4. 휋
2
0
d). 풇(풙) = 풕풂풏
풙
ퟐ
풆풍 풆풋풆 풙, 풙 = ퟎ, 풙 =
ퟏ
ퟐ
흅
Puntos de intersección de las gráficas.
퐴 = ∫ tan (
푥
2
휋
2
0 ) 푑푥
Realizamos cambio de variable 푢 =
푥
2
, 푑푢 =
1
2
푑푥 = 2푑푢 = 푑푥
Primero realizamos la integrar indefinida.
∫ tan (푥
2
) 푑푥 = ∫ tan(푢) 2 푑푢 = 2 ∫ tan (푢) 푑푢; 푎푝푎푟푡푒 (푖푑푒푛푡푖푑푎푑 푡푟푖푔표푛표푚푒푡푟푖푐푎) tan (푢) =
푠푒푛(푢)
cos (푢)
= 2 ∫
푠푒푛(푢)
cos (푢)
푑푢 ; 푅푒푎푙푖푧푎푚표푠 푐푎푚푏푖표 푑푒 푣푎푟푖푎푏푙푒:
Ahora
2 ∫
푠푒푛(푢)
cos(푢)
푑푢 = −2 ∫
푑푧
푧
= −2 ln(푧) + 푐 = −2 ln(푐표푠푢) + 푐 = −2 ln (cos (푥
2
)) + 푐
Ahora el área nos queda:
∫ tan (푥
2
) 푑푥 = −2 ln (cos (푥
2
)
휋
2
0 = −2 ln (푐표푠 (휋
2
)) + 2 ln(cos(0)) 퐴 = 0,69
Para 푥 = 0 푒푛 퐹(푥) = tan (푥
2
)
푦 = 0 푃1 (0,0)
Para 푥 =
휋
2
푒푛 퐹(푥) = tan (푥
2
)
푦 = 1 푃2 (휋
2
, 1)
푧 = cos(푢)
푑푧 = −푠푒푛(푢)푑푢
−푑푧 = 푠푒푛(푢)푑푢

5. 1
-1
Parte Nº2: volúmenes de solido
a). 풚 = 풄풐풔 ퟐ풙
푣 =
∫ 푐표푠2 2푥
1
−1 푑푥 Realizamos cambio de variable.
Realizamos la integral indefinida
∫ 푐표푠2 2푥 푑푥 = ∫ 푐표푠2 푢
푑푢
2
=
1
2
∫ 푐표푠2 푢푑푢; 푐표푠2푥 =
1+푐표푠2푥
2
=
1
2
∫(
1+푐표푠2푢
2
) 푑푢 =
1
4
∫(1 + 푐표푠2푢)푑푢 =
1
4
푢 +
푐 +
1
4
∫ 푐표푠2푢푑푢 → 푐푎푚푏푖표 푑푒 푣푎푟푖푎푏푙푒.
=
1
4
푢 + 푐
1
4
∫ cos 푦
푑푦
2
=
1
4
푢 + 푐 +
1
8
∫ 푐표푠푦 푑푦
=
1
4
푢 +
1
8
푠푒푛푦 + 푐 =
1
4
2푥 +
1
8
푠푒푛2푢+=
2
4
푥 +
1
8
푠푒푛 (2(2푥)) + 푐
=
1
2
푥 +
1
8
푠푒푛4푥 + 푐
Ahora el volumen es:
푉 = ∫ 푐표푠2 2푥 푑푥 =
1
−1
1
2
푥 + 1
8
푠푒푛4푥 =[1
2
(1) + 1
8
푠푒푛(4(1))] − [1
2
(−1) + 1
8
푠푒푛(4(−1))] 푉 = 0,810
푢 = 2푥
푑푢 = 2푑푥
푑푢
2
= 푑푥
푦 = 2푢
푑푦 = 2푑푢
푑푦
2
= 푑푢

6. 0,4
0
0,4
0
b). 풙 = ퟒ풚, 풙 = √풚 ퟑ 풂풍 풓풆풅풆풅풐풓 풅풆 풍풂 풓풆풄풕풂 풙 = ퟖ
Puntos de intercesión
푥 = 4푦, 푥 = √푦 3
Igualamos
푥 = 4푦, 푥 = √푦 3
4푦 − 푦
1
⁄3 = 0
풚
ퟏ
⁄ퟑ(4 푦
2
⁄3 − 1) = 0
푦
1
⁄3 = 0 4 푦
2
⁄3 − 1
푦 = 0 푦 = 1
⁄4
푦 = √(1
⁄4)2 3
= 푦 = 0,4
Método de la Arandela
푉 = 휋 ∫ [(8 − 4푦)2 − (8 − √푦 3 )2] 푑푥 퐴푝푙푖푐푎푚표푠 푝푟표푑푢푐푡표 푛표푡푎푏푙푒.
0,4
0
푉 = 휋 ∫ [64 − 64푦 + 16푦2 − 64 + 16 √푦 2 − ( √푦 3 )2]
0,4
0 푑푦
= 휋 ∫ ( −64푦 + 16푦2 + 16푦
1
⁄2 − 푦
2
⁄3) 푑푦 푠푖푚푝푙푖푓푖푐푎푚표푠 푒 푖푛푡푒푔푟푎푚표푠.
0,4
0
= 휋 [− 64
푦2
2
+ 16
푦3
3
+ 16
푦
3
⁄2
3
⁄2
−
푦
5
⁄3
5
⁄3
] = 휋 [−32푦2 +
16
3
푦3 +
32
3
푦
3
⁄2 −
3
5
푦
5
⁄3]
Evaluamos= −4,31 → 푉 = −4,31
Si y =0 en x = 4y
x= 0 푃1(0, 0)
Si y= 0,4 en x= 4y
X=4 0,4= x=
8
5
푃2 (1,6 ; 0,4)
Si y= 0,4 en x = √푦 3
x= 0,7 푃3(0,7 ; 0,4)

7. a
0
c). Elipse
풙ퟐ
풂ퟐ +
풚ퟐ
풃ퟐ = ퟏ 풂풍 풓풆풅풆풅풐풓 풅풆풍 풆풋풆 풙
Tenemos la gráfica de la Elipse.
La mitad de la elipse nos daría la siguiente función
푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1 → 푦2 = (1 −
푥2
푎2) 푏2 = 푦 = √(1 −
푥2
푎2) 푏2 푠표푙표 푙푎푠 푝표푠푖푡푖푣푎푠 푦푎 푞푢푒 푡푟푎푏푎푗푎푚표푠 푒푛 푒푙 푒푗푒 푥
→ 푦 = √(푏2 −
푥2푏푒
푎2 ) = √푎2푏2−푥2푏2
푎2 = √푏2
푎2 (푎2 − 푥2 ) =
푏
푎
√푎2 − 푥2
Entonces el volumen nos queda Aplicando el método del disco.
푉 = 2휋 ∫ (
푏
푎
√푎2 − 푥2 )2 푑푥 = 2 휋 ∫
푏2
푎2 (√푎2 − 푥2 )2푑푥 = 2 휋 ∫
푏2
푎2
푎
0
푎
0
푎
0 (푎2 − 푥2 ) 푑푥
푉 = 2
휋푏2
푎2 ∫ (푎2 − 푥2 )푑푥 = 2
휋푏2
푎2 [푎2푥 −
푥3
3
]
푎
0 = 2
휋푏2
푎2 [푎2푎 −
푎3
3
− (푎2(0) −
(0)3
3
) ]
푉 = 2
휋푏2
푎2 [푎3 −
푎3
3
] = 푉 = 2휋푏2푎 − 2
휋푏2푎
3
= 푉 =
4
3
휋푏2푎
d). 풚 = ퟒ − 풙ퟐ, 풆풋풆 풙, 풂풍 풓풆ퟒ풅풆풅풐풓 풅풆 풙 = ퟑ
Graficamos:
푥 = √4 − 푦; 푥 = −√4 − 푦

8. a
0
휋 3⁄
0
Método de la arandela
푉=휋∫[(3−(−√4−푦))2−(3−√4−푦)2] 푑푦 40
푉= 휋∫[(3+√4−푦)2−(3−√4−푦)2] 푑푦 40
= 휋 ∫[9+6√4−푦+(√4−푦)2−(9−6 √4−푦+(√4−푦)2)] 40푑푦
= 휋 ∫[9+6√4−푦+4−푦−(9−6 √4−푦+4−푦)] 40푑푦
= 휋 ∫[9+6√4−푦+4−푦−9+6 √4−푦−4+푦] 40푑푦
= 휋∫12 √4−푦 푑푦=12 휋∫√4−푦 40 푑푦 40
Resolvemos la integral indefinida.
→12 휋∫√4−푦 푑푦=12 휋√푢 (−푑푢)= −12 휋∫푢 12⁄푑푢= −12 휋 푢 32⁄ 32⁄ +푐
= −8 휋푢 32⁄+푐= −8 휋 (4−푦) 32⁄+푐
Luego 푉= ∫√4−푦 푑푦= −8 휋√(4−푦)340 = −8 휋√4−4+8 휋 √(4−0)3= 8 휋√43 → 푉= 64휋
Parte Nº3 longitud de una curva
b). 풚=퐥퐧(풔풆풄풙) 풅풆풔풅풆 풙=ퟎ 풉풂풔풕풂 풙 흅 ퟑ⁄
Derivamos
푦`= 1 푠푒푐푥 .푠푒푐푥푡푎푛푥=푦`=푡푎푛푥
Luego 퐿= ∫√1+푡푎푛2푥 푑푥 ; 퐼푑푒푛푡푖푑푎푑 ( 1+푡푎푛2푥= 푠푒푐2푥 휋 3⁄ 0
퐿= ∫√푠푒푐2푥 휋 3⁄ 0푑푥=퐿=∫푠푒푐푥 푑푥 휋 3⁄ 0
퐿=∫푠푒푐푥 . ( 푠푒푐푥+푡푎푛푥 푠푒푐푥+푡푎푛푥 휋 3⁄ 0) 푑푥 = 퐿= 퐿=∫( 푠푒푐2푥+푠푒푐푥푡푎푛푥 푠푒푐+푡푎푛푥 휋 3⁄ 0) 푑푥
Realizamos la integral indefinida.
∫ 푠푒푐2푥+푠푒푐푥 푡푎푛푥 푠푒푐푥+푡푎푛푥 푑푥 퐶푎푚푏푖표 푑푒 푣푎푟푖푎푏푙푒.
→ ∫ 푠푒푐2푥+푠푒푐푥 푡푎푛푥 푠푒푐푥+푡푎푛푥 푑푥= ∫ 푑푢 푢 =ln푢+푐=ln( 푠푒푐푥+푡푎푛푥)+푐
Ahora
퐿=∫푠푒푐푥 푑푥=ln(푠푒푐푥 +푡푎푛푥) =ln(푠푒푐휋 3⁄+푡푎푛휋 3⁄) −ln (sec(0)+tan(0) 퐿=1,31
Cambio de variable. 푢=4−푦 푑푢=−푑푦 −푑푢=푑푦
푢=푠푒푐푥+푡푎푛푥 푑푢=(푠푒푐푥 푡푎푛푥+ 푠푒푐2푥)푑푥