Este documento resume conceptos clave sobre planos y rectas en el espacio tridimensional. Explica cómo calcular los cosenos directores y el módulo de un vector, y cómo determinar el ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores directores o pendientes. También presenta la fórmula general para hallar la ecuación de un plano, y cómo identificar si varios puntos son coplanarios. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. El Plano y la Recta en el
Espacio
Bachiller:
Antonio Anés
C.I: 25081271
Profesor:
Domingo
Méndez
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Ingeniera Electrónica IV Semestre – Diurno
18/01/2016

2. • Se llaman cosenos directores de un vector, respecto
de un sistema o de coordenadas ortogonales con
origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los ángulos a
que el mismo forma con el sentido positivo de los ejes
coordenados.
• Sus formulas son:

3. • Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la
siguiente fórmula:
• Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ
en la formula correspondiente a su eje.
• Posteriormente se sustituye en la fórmula de suma de
cosenos.

4. • Ejemplo: Mediante los cosenos directores determinar los
ángulos de α, β, γ del vector (4, 5, 3).

5. • Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos
que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
• Sus vectores:
• Sus pendientes:

6. • Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s,
sabiendo que sus vectores directores son:= (-2, 1) y =(2, -3).
• Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un
triángulo obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese
triángulo.

7. • Ecuación general del plano:
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:
El sistema tiene que ser compatible determinado en las
incógnitas λ y µ. Por ende, el determinante de la
matriz ampliada del sistema con la columna de los
términos independientes tiene que ser igual a cero.
Se desarrolla el determinante:

8. Se le dan valores:
Se sustituye:
Se le da el valor a D y realizan las operaciones:
Obteniendo como resultado la ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:

9. • Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
A(2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación:
De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector .

10. Puntos Coplanarios
• Dos o más vectores son coplanarios si:
* Son linealmente dependientes, y por lo tanto sus componentes son
proporcionales y su rango es 2.
* Los vectores determinados por ellos también son coplanarios.
Ejemplo:
Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7,
2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que
los contiene.