El documento presenta una ficha de repaso para un examen final que incluye 35 problemas de álgebra, trigonometría, geometría y cálculo. Los problemas abarcan temas como expresiones algebraicas, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, funciones logarítmicas y exponenciales, límites de sucesiones, vectores y geometría plana.

1. 1. Representa en la recta real los siguientes números reales:
a)
𝟓
𝟑
b) √𝟐𝟔
2. Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas:
a) {𝒙 ∈ 𝑹 ∶ −𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟕}
b) ]−∞, 0]
c) Números mayores que -2
d)
3. Efectúa y simplifica:
a) √𝟏𝟐𝟓 − √𝟒𝟓 − √𝟐𝟒 + √𝟓𝟒 =
b)
√ 𝒙 𝟒𝟑
·√ 𝒙 𝟑
√ 𝒙
𝟔 =
4. Racionaliza y simplifica:
a)
𝟕
√𝟑−√𝟓
b)
𝒃
√ 𝒃 𝟑 𝒂 𝟒𝟓
5. Convierte las expresiones algebraicas en logarítmicas y las logarítmicas en algebraicas:
a) 𝒍𝒐𝒈(𝑨) = 𝟑𝒍𝒐𝒈𝒙 + 𝟐𝒍𝒐𝒈𝒚 −
𝟓
𝟒
𝒍𝒐𝒈𝒛
b) 𝑩 = (
𝒙 𝟐
𝟏𝟎
)
𝟑
FICHA REPASO PARA PREPARAR EL EXAMEN FINAL
CURSO
2015-2016

2. 6. Calcula el cociente y el resto de la siguiente división:
(𝒙 𝟒
− 𝟐𝒙 𝟑
+ 𝒙 − 𝟏) ∶ (𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟐)
7. Halla el valor numérico del polinomio 𝑷(𝒙) = −𝟐𝒙 𝟑
+ 𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟔 para 𝒙 = −𝟏. ¿Es divisible el
polinomio anterior, P(x) entre x+1? Razona tu respuesta.
8. Factoriza los siguientes polinomios aplicando las técnicas de descomposición factorial y obtén
sus raíces:
a) 𝑷(𝒙) = 𝒙 𝟒
+ 𝒙 𝟑
− 𝟗𝒙 𝟐
− 𝟗𝒙
b) 𝑸(𝒙) = 𝒙 𝟑
− 𝒙
c) 𝑹(𝒙) = 𝒙 𝟓
+ 𝒙 𝟒
− 𝟐𝒙 𝟑
9. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) √ 𝟔𝒙 + 𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟑
b)
𝒙
𝒙+𝟏
+
𝟐𝒙
𝒙−𝟏
=
𝟏𝟓
𝟒
c) 𝒍𝒏(𝟓𝒙 𝟒
) − 𝒍𝒏(𝒙 𝟐
) = 𝒍𝒏(𝟔𝒙 − 𝟏)
d) 𝒙 𝟒
− 𝟏𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟑𝟔 = 𝟎
e) 𝟐 𝒙−𝟐
+ 𝟐 𝒙−𝟏
+ 𝟐 𝒙
= 𝟐𝟏
10. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico y clasifícalo según el número de
soluciones:
{
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟔
−𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐
11. Resuelve los siguientes sistemas:
a) {
𝒍𝒐𝒈(𝒙) + 𝒍𝒐𝒈(𝒚) = 𝟒
𝒍𝒐𝒈 (
𝒙
𝒚
) = 𝟐
b) {
𝟒 · 𝟐 𝒙
+ 𝟓 𝒚
= 𝟐𝟕
𝟐 𝒙
+ 𝟓 𝒚
= 𝟏𝟓

3. 12. Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que tiene 𝟏𝟎𝟖 𝒄𝒎 𝟐
de área y que su diagonal
mide 𝟏𝟓 𝒄𝒎.
13. Resuelve las siguientes inecuaciones, escribiendo las soluciones en forma de intervalo:
a) −𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 ≤ 𝟐𝟒
b) 𝒙 𝟑
− 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟑 ≥ 𝟎
c)
𝟐𝒙+𝟕
𝒙 𝟐+𝟐𝒙+𝟏
≥ 𝟎
d) −𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐) 𝟐
< 𝟎
14. Resuelve este sistema de inecuaciones de forma gráfica:
{
−𝒙 + 𝒚 > 𝟑
−𝒚 ≤ 𝟑
15. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
{
𝟓 − 𝟒𝒙
𝟒
+
𝟗𝒙 − 𝟐𝟏
𝟐
≥ 𝟐 +
𝟏𝟎𝒙 − 𝟑𝟕
𝟒
𝒙 +
𝟑𝒙 − 𝟐
𝟓
−
𝒙 − 𝟏
𝟑
< 𝟑 +
𝟒𝒙 − 𝟏
𝟏𝟓
16. Resuelve gráficamente la inecuación: 𝒙 − 𝟐𝒚 > 𝟓
17. Los triángulos ABC y DBE son semejantes.
a. Obtén la razón de semejanza.
b. Halla la altura de la torre.

4. 18. Las dimensiones de un campo de fútbol son 100 m de ancho y 120 m de largo.
a. ¿Cuáles son las dimensiones de un futbolín hecho a escala 1:25?
b. ¿Cuál es el área del futbolín?
19. En el triángulo ABC se traza un segmento PQ paralelo a AB.
a. ¿Son semejantes los triángulos ABC y CPQ? Razona tu respuesta.
b. Obtén la medida del segmento BC.
20. Calcula la altura de un árbol que en un determinado momento del día proyecta una sombra de
2.5 m y una persona que mide 1.70 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 90 cm.
21.
a. Sean 𝑨𝑩𝑪 y 𝑨′𝑩′𝑪′ dos triángulos cuyos ángulos miden:
𝑪̂ = 𝟖𝟓º = 𝑪′̂ , 𝑩̂ = 𝟑𝟓º, 𝑨′̂ = 𝟔𝟎º. ¿Son semejantes los dos triángulos? Razona tu respuesta.
b. Sea 𝑪 = 𝟕 𝒄𝒎, 𝑫 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎, 𝑬 = 𝟗 𝒄𝒎 otro triángulo. Calcula las dimensiones de otro
triángulo semejante a éste (pero con sus lados más pequeños), sabiendo que la razón de
semejanza es 𝒓 =
𝟒
𝟑
.
22. Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en un punto
O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

5. 23. Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura sobre
la hipotenusa mide 15.3 m y que la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide 8.1
m. Calcula el perímetro del parterre. (Utiliza los teoremas del cateto y de la altura).
24. Expresa en grados los ángulos que estén en radianes y en radianes los ángulos que estén en
grados:
a) 𝟑𝟏𝟓º
b) 𝟏𝟏𝝅
𝟔⁄ 𝒓𝒂𝒅
25. Reduce las siguientes razones trigonométricas al primer cuadrante:
a. 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟐𝟓º) =
b. 𝒄𝒐𝒔(−𝟏𝟏𝟎º) =
c. 𝒕𝒈(𝟖𝟒𝟓º) =
26. Sabiendo que 𝒕𝒈(𝜶) =
√𝟑
𝟑
y que 𝟏𝟖𝟎º < 𝜶 < 𝟐𝟕𝟎º, calcula el resto de las razones trigonométricas.
27. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 240 cm y la altura sobre la hipotenusa 192 cm.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
28. Dados los puntos 𝑨(−𝟏, 𝟑) y 𝑩(𝟑, 𝟐), se pide:
a. Calcular la ecuación de la recta que pasa por 𝑨 y 𝑩 en todas sus formas.
b. Estudiar si el punto 𝑪(𝟎, 𝟓) pertenece a la recta.
29. A partir de la ecuación de la recta 𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟕 = 𝟎, halla el vector director, la pendiente y la
ordenada en el origen.
30. Dados los vectores 𝒖⃗⃗ = (𝟓, −𝟒), 𝒗⃗⃗ = (𝟕, 𝟔) y 𝒘⃗⃗⃗ = (𝟒, 𝟓), determina:
a. El producto escalar de los vectores 𝒖⃗⃗ y 𝒗⃗⃗ .
b. El ángulo que forman los vectores 𝒖⃗⃗ y 𝒗⃗⃗ .
c. El producto escalar de los vectores 𝒖⃗⃗ y 𝒘⃗⃗⃗ . ¿Qué puedes decir de estos vectores y del ángulo
que forman?
d. Dados los vectores 𝒖⃗⃗ = (𝒎, 𝟑) y 𝒗⃗⃗ = (𝟒, 𝒎 + 𝟐), calcula el valor de 𝒎 ∈ 𝑹 para que sean
perpendiculares.

6. 31. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas, calculando el punto de corte en
el caso de que las rectas sean secantes:
a. 𝒓:
𝒙−𝟏
𝟑
=
𝒚−𝟏
−𝟐
y 𝒔: 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
b. 𝒓: 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟏 y 𝒔: 𝒚 − 𝟑 = 𝟓(𝒙 + 𝟏)
c. 𝒓: 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎 y 𝒔: 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟖 = 𝟎
32. Determina si el vector 𝒘⃗⃗⃗ = (−𝟑, 𝟏) se puede escribir como combinación lineal de los vectores
𝒖⃗⃗ = (𝟐, −𝟐) y 𝒗⃗⃗ = (−𝟓, 𝟒) .
33. Halla el límite de las siguientes sucesiones calculando el valor de los términos 1, 10, 100 y 1000
y RAZONA si son convergentes o divergentes, crecientes o decrecientes y acotadas o no:
a. 𝒂 𝒏 =
𝟒𝒏+𝟐
𝟐𝒏
b. 𝒃 𝒏 =
𝟏
𝟐 𝒏
34. Dadas las sucesiones 𝒂 𝒏 =
−𝟓𝒏+𝟏
𝟑𝒏
y 𝒃 𝒏 =
𝟏+𝟕𝒏
𝟕𝒏+𝟑
, calcula el límite de las siguientes sucesiones:
a. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
( 𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏)
b. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(𝒂 𝒏 − 𝒃 𝒏)
c. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝒂 𝒏
𝒃 𝒏
)
d. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
( 𝒂 𝒏
𝒃 𝒏 )
35. Calcula los siguientes límites de sucesiones, indicando, en su caso, las indeterminaciones que
presenten:
a. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
−𝟖𝒏 𝟐+𝒏
𝒏 𝟑+𝟐
b. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(𝟐𝒏+𝟏) 𝟐
𝟖𝒏 𝟐

7. c. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
−𝒏 𝟑+𝟓𝒏−𝟏
(𝒏+𝟏)(𝒏−𝟏)
d. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(√ 𝒏 𝟐 + 𝟏 − √𝒏 𝟐 − 𝟐)
e. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
√ 𝒏 𝟐𝟑
√ 𝒏 𝟑
f. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(
𝒏 𝟐−𝟏
𝒏+𝟐
−
𝒏 𝟑
𝒏 𝟐+𝟏
)
g. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(
𝟐𝒏−𝟏
𝟓𝒏+𝟐
)
𝒏 𝟐
h. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(
𝟐𝒏−𝟐
𝟐𝒏+𝟑
)
𝒏+𝟏
i. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(𝟑 +
𝟏
𝒏
)
𝟐𝒏−𝟑
36. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a. 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙 + 𝟖
b. 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙 𝟑−𝟖𝒙+𝟓
𝒙 𝟐−𝟗
c. 𝒇(𝒙) = √
𝟑𝒙−𝟏
𝒙+𝟐
d. 𝒇(𝒙) = √ 𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙
37. Calcula la inversa de la siguiente función y comprueba el resultado 𝒇(𝒙) =
𝟑𝒙+𝟏
𝒙+𝟐
.
38. Razona si la siguiente función presenta simetría y si es creciente o decreciente en el intervalo
[−𝟏, 𝟐]:
a. 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟑
− 𝒙

8. 39. Representa la siguiente función definida a trozos y halla las siguientes imágenes:
𝒇(𝟎), 𝒇(𝟐) 𝒚 𝒇(𝟏):
𝒇(𝒙) = {
𝟐𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
𝒙 𝟐
− 𝟏 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟐
𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐
40. Observa la gráfica de la siguiente función y estudia los aspectos enumerados a continuación:
a. Dominio y recorrido
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c. Máximos y mínimos relativos y absolutos.
d. Simetría.
e. Acotación.
f. Periodicidad
41. Calcula los siguientes límites de funciones, indicando, si es el caso, las indeterminaciones que
presentan:
a. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝟖𝒙 𝟐−𝟑𝒙+𝟏
𝟒𝒙 𝟐−𝟓𝒙+𝟐
b. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝒙+𝟐
𝒙−𝟑
c. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
(
𝟑𝒙−𝟐
𝟓𝒙+𝟏
)
𝟕𝒙 𝟐+𝟏
d. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙 𝟑−𝟑𝒙 𝟐+𝟐𝒙
𝒙 𝟐−𝟒
e. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
−𝟓𝒙 𝟑−𝟑𝒙
𝒙 𝟐+𝒙+𝟑
f. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙 𝟐−𝟓𝒙+𝟕
𝒙+𝟑

9. g. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒙 𝟐−𝟕
𝒙 𝟑+𝟗
h. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
(
𝒙 𝟐+𝟏
𝒙+𝟑
−
𝒙 𝟐
𝒙−𝟏
)
i. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
(√ 𝒙 𝟐 + 𝟒 − 𝟐𝒙)
j. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
(
𝟐𝒙+𝟑
𝟐𝒙−𝟒
)
𝒙+𝟏
k. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
(
𝟒
𝒙+𝟓
−
𝒙 𝟐+𝟏
𝒙 𝟑+𝟑
)
42. Representa la siguiente función definida a trozos y estudia su continuidad (aplicando la
definición) e indica, si tiene, algún tipo de discontinuidad:
𝒇(𝒙) = {
𝒙 𝟐
− 𝟏, 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟏
𝟑, 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐
𝟑𝒙 − 𝟑, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐
43. Representa las siguientes funciones indicando de qué tipo son, así como sus características
principales:
a. 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏
b. 𝒚 = −𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟑
44. Representa las siguientes funciones indicando de qué tipo son, calcula el dominio y sus
asíntotas y representa también las asíntotas.
a. 𝒚 =
−𝟑
𝒙
b. 𝒚 =
𝒙+𝟒
𝒙+𝟑
45. Halla las asíntotas de las siguientes funciones:
a. 𝒚 =
𝟏
𝒙−𝟏
b. 𝒚 =
𝒙−𝟐
𝒙 𝟐−𝟗
c. 𝒚 =
𝒙 𝟒−𝒙 𝟐+𝟏
𝒙 𝟑+𝟐𝒙 𝟐+𝒙