Esercitazione sul calcolo di semplici derivate

1. ESERCITAZIONE: IL CALCOLO DELLE DERIVATE Data:10/12/2014
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) y 2e 2x x   ; 2) y  x lnx x 3 ;
3) y x e lnx x    ; 4) y 2x x 3x 1 4 3     ;
5) y  x  33 x  44 x ; 6) y x 2x x lnx 3 2     ;
7)
2
x  x 
3
y 4
 ; 8)
x 
3
2
x
x
2e x lnx
y
 
 .
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) 3 2 y  x 2x 3 2)
x 2
lnx
y
2 

3) xlnx y  e 4)
 
ln2 x
ln 2x 1
y



Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è
derivabile.
fx  lnx 2
Determina i punti stazionari della seguente funzione.
2 2 y  4lnx  x
Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.
y e x lnx 1 2x 2     y 2x lnx 2 
Risolvi il seguente problema:
Date le funzioni  

2
x 3x se 0 x 2
   
f x 
2



x x altrimenti
e  
2

 
g x 
2

x  x se 0  x 
2

x 3x altrimenti
a) calcola le derivate f  x e g x e le relative condizioni di esistenza;
b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili
precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;
c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.

2. SOLUZIONI
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) y 2e 2x x   ;
y 2e 2 x   
2) y  x lnx x 3 ;
   

      

  

      
lnx
1
3
x
2x 2
x lnx
3
x
x 3 1
x 3 x lnx 1
x
y 1
   
3) y x e lnx x e  lnx x x       ;
   
 
e 1 x lnx 1
         
x x
e 1 x lnx e
1
x
y 1 e x e lnx x e
     
x
x x x
    
4) y 2x x 3x 1 4 3     ;
y 8x 3x 3 3 2    
1
1
y  x  33 x  44 x  x  3x 3
 4x ;
1
5) 2
4
2
1
  
      
1
1
1
3 2 4 3
3
4
3
2
x
x
1
1
2 x
1
x
4
x 4
3
x 3
2
y
  
6) y x 2x x lnx 3 2     ;
   
3x 4x 1 lnx x 2x 1
1
         
x
2 3 2
y 3x 4x 1 lnx x 2x x
2 2
      
7)
2
x  x 
3
y 4
 ;
x 
3
     
4 2 3
2x  1  x  3  x  x  3 
4x
 
 
4 2
x 3
5 4 5 4 3
2x  6x  x  3  4x  4x 
12x
4 2
x 3
5 4 3
2x 3x 12x 6x 3
    

 4 2
x 3
y






 
8)
2e x lnx
2
x
x
y
 
 .
 
1

x 2 x
x 2e x lnx 2x

2 x 2 x 2
2x e x x 4xe 2x 2xlnx
2 x x 2
2x e 4xe x x 2xlnx
4
4
4
x
x
x
x
2e 1
y
   


    


     

 
 

3. Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1
1) y  3 x 2 2x  3   x 2 2x  3
3
2
1
   
 
3  2 2
      
x 2x 3 3
2x 2
3
2
2  x 
1
3 x 2x 3
y
  


2)
1
2
2 2
 

x 2

y  
lnx
x 2
lnx

 



 
 
x 2
1
2 2

2x lnx x 2
2 2
2x lnx x 2
x ln x
x 2
lnx
x 2
1
2
x ln x
lnx
2
1
ln x
1
x
2x lnx x 2
lnx
1
2
y
2
2
2
2
2
2
2
2

 





 




   
  

 

 

3) xlnx y  e
y e lnx 1 xlnx    
4)
 
ln2 x
ln 2x 1
y



1
   
2 x
 
ln 2 x
ln 2 x
ln 2x 1
2x 1
       
2  2  x  ln 2  x  2x  1  ln 2x 
1
2x 1 2 x ln 2 x
2
y
2
2
    



 

  
  

4. Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è
derivabile.
fx  lnx 2
DOMINIO
 
ln x 2 0
  
 
x  2 
0
→
x 2 e0

 
x 2


 
→
x 3

x 2
  

→ x  3 D =  3; 
ZERI
lnx 2 0 lnx 2 0 x 2 e x 3 0           La funzione ha uno zero in x = 3
SEGNO
Essendo una irrazionale di indice 2 è positiva x3; 
COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO
lim lnx  2   ln3  2 
0
x 
3
;        
lim ln x 2 ln 2
x

La funzione è continua in tutto il dominio.
DERIVATA PRIMA
1
      2
f x  ln x 2  ln x 2
 
1
1
1
  x 2
2 x 2 lnx 2
2 ln x 2
f x
   




 
DOMINIO DELLA DERIVATA PRIMA
x  2 
0
 



ln x  2 
0
Nel dominio di f(x)
D’= 3; 
ZERI DERIVATA PRIMA
Non esistono.

5. SEGNO
Sempre positiva in D’.
COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI

1
1
       

  

 



   

1
 2  x  2  ln x  2
2 3 2 ln 3 2
0
lim
x 3
;
1
1

     
0
1
2 ln
2 x 2 ln x 2
lim
x

 




 

 

    
Il punto x = 3 è un punto a tangente verticale.
GRAFICO

6. Determina i punti stazionari della seguente funzione.
2 2 y  4lnx  x
I punti stazionari sono i punti a tangente orizzontale cioè i punti in cui la derivata prima è 0.
DERIVATA PRIMA
 
x
2 x 4
8 2x
x
2x
8
x
2x 2x
1
x
y 4
2 2
2


 
          .
I punti in cui si annulla sono:
 2

2 x 4 2 2
0 x 4 0 x 4 x 2
x
        

A =
x 2
 
y 4ln 2 2 4ln4 4 1,55
      
2 2
         
B =
x 2
 
y 4ln 2 2 4ln4 4 1,55
      
2 2
         

7. Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.
y e x lnx 1 2x 2    
1
x 1
y 2e 2x 2x

   
1
 2
2x
x 1
y 4e 2

   
2
 3
2x
x 1
y 8e

  
y 2x lnx 2 
y  4x lnx 2x
y  4lnx  4 2  4lnx 6
4
x
y 

8. Risolvi il seguente problema:
Date le funzioni  

2
x 3x se 0 x 2
   
f x 
2



x x altrimenti
e  
2

 
g x 
2

x  x se 0  x 
2

x 3x altrimenti
a) calcola le derivate fx e gx e le relative condizioni di esistenza;
f  x 
 
2x 3 se 0 x 2
   
  
   
 
2x 1 se x 0 x 2
  
2x  1 se 0  x 
2
    

2x 3 se x 0 x 2
g x
 
 
 
lim 2x 1 1
x 0
  


lim 2x 3 3
x 0
   


lim 2x 3 1
x 2
   


lim2x 1 3
x 2
  


 
 
 
lim 2x 3 3
x 0
   


lim 2x 1 1
x 0
  


lim 2x 1 3
x 2
  


lim 2x 3 1
x 2
   


Le due funzioni non sono derivabili in x = 0 e in x = 2 che risultano punti angolosi.
b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili
precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;
In x = 0 e x = 2 le funzioni sono continue.
c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.
I valori per i quali le tangenti sono parallele sono quelli in cui le derivate sono uguali (le tangenti
hanno la stessa inclinazione!) o si annullano (punti stazionari a tangente orizzontale)
f’(x) = g’(x)  –2x + 3 = 2x – 1  x = 1
f’(x) = 0  –2x + 3 = 0  x =
3
2
g’(x) = 0  2x – 1 = 0  x =
1
2
Le funzioni hanno tangenti parallele nei punti stazionari x =
1
, x =
2
3
e in x = 1.
2