Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
N cap13 matrices
1. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
317
13
13.1 DEFINICIÓN
13.2 DIMENSIÓN
13.3 CLASES DE MATRICES
13.4 IGUALDAD DE MATRICES
13.5 OPERACIONES
13.6 DETERMINANTE
13.7 MATRIZ INVERSA
Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su
importancia de estudio en este capítulo.
2. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
318
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
Defina arreglo matricial.
Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices
simétricas.
Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.
Halle determinantes de matrices.
Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales.
Justifique la existencia de la inversa de una matriz
Determine, de existir, la inversa de una matriz.
13.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de
números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en
mayúscula.
nglón
R
R
R
R
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
CCCC
Columna
mmnmmm
n
n
n
n
Re
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
321
→
=
↓
A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el
primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el
elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en
que se encuentra el elemento, es decir:
13.2 DIMENSIÓN
La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la
cantidad de columnas que posea. Al decir nmA × , se indica que A es una
matriz que tiene m filas y n columnas.
4. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
320
Ejemplos
32
201
312
×
−
−
=A A→ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas.
33
321
210
321
×
−
−−
=B B→ es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas.
Ejercicio Propuesto 13.1
1. Determine la matriz ( )ijaA =×34 para la cual 2−+= jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con
objeto de calcular 21a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 121221 =−+=a ].
13.3 CLASES DE MATRICES
13.3.1 MATRIZ CUADRADA
Una matriz nmA × es cuadrada si y sólo
sí nm = .
Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de
columnas y se lo denota como nnA × .
Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal
Principal para los elementos ija donde ji = .
Así como también aparecen las siguientes clases de matrices:
13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los
elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.
=×
nnnnn
n
n
n
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
Diagonal
Principal
=×
nn
n
n
n
nn
a
aa
aaa
aaaa
A
000
00
0
333
22322
1131211
5. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
321
13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los
elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros.
13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que
están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.
13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la
diagonal principal.
13.3.1.5 MATRIZ CERO
Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser
cuadrada como puede no serlo.
=×
nnnnn
nn
aaaa
aaa
aa
a
A
321
333231
2221
11
0
00
000
=×
nn
nn
a
a
a
a
A
000
000
000
000
33
22
11
== ××
1000
0100
0010
0001
nnnn IA
6. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
322
13.4 IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices nmA ×
y nmB × son iguales si y
sólo si:
ijij ba =
Es decir, sus elementos respectivos son iguales.
Ejercicios propuestos 13.2
1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen:
a)
=
43
21
3
2
y
x
b)
−
−
+
=
−
+
−
−
150
325
172
2
43
11
31
12
43
w
v
yu
x
t
z
y
x
2. Dadas las matrices:
+
+−+
=
243
012
4232
3
2321
k
kkkk
A y
=
043
012
232
B entonces el valor de
321 kkk ++ , tal que BA = , es:
a)
4
5
− b)
3
2
− c) 3 d)
2
1
e)
2
3
13.5 OPERACIONES
13.5.1 SUMA
Sean BA ∧ dos matrices de nm × , entonces:
nmnmnm CBA ××× =+ , donde ijijij bac +=
Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando
algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos
elementos de la matriz B .
Ejemplo
Sean las matrices
32
321
112
×
−
=A y
32
312
101
×
−−
−
=B
hallar BAC += .
SOLUCIÓN:
7. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
323
32
3232
031
211
)3(312)2(1
1101)1(2
312
101
321
112
×
××
−
−
=
−++−+
++−−+
=
−−
−
+
−
=+=
C
BAC
13.5.1.1 PROPIEDADES
Sean nmA × , nmB × y nmC × , matrices.
Entonces:
1. ABBA +=+
2. ( ) ( )CBACBA ++=++
3. AA =+ 0 , donde ≡×nm0 Matriz
Cero
4. ( ) 0=−+ AA
13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sea IR∈α y la matriz nmA × , entonces:
nmnm CA ×× =α , donde
ijij ac α=
Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la
constante α a los elementos de la matriz A .
Ejemplo
Si tenemos la matriz
−
=
321
012
A , entonces:
−
=
−
=
−
==
642
024
)2(3)2(2)2(1
)2(0)2(1)2(2
321
012
22AC
13.5.2.1 PROPIEDADES
Sean nmA × y nmB × matrices; y
IR∈βα, , entonces:
1. ( ) BABA α+α=+α
2. ( ) ( ) ( )AAA αβ=βα=αβ
8. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
324
13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES
Sea A una matriz de nm × y sea B una
matriz de qn× ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la
matriz B ) entonces:
qmqnnm CBA ××× =
donde njinjijijiij babababac ++++= 332211
Es decir, el elemento ijc se lo obtiene sumando algebraicamente
los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la
matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B .
Ejemplo
Para las matrices
32
321
112
×
−
=A y
33
111
320
111
×
−−
−
=B
Obtengamos la matriz ABC =
Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3
columnas y la matriz B tiene 3 filas.
Entonces:
32232221
131211
323332
×
×××
==
ccc
ccc
CBA
6)1)(1()3)(1()1)(2(
5)1)(1()2)(1()1)(2(
1)1)(1()0)(1()1)(2(
13
12
11
=+−−+=
=+−−+=
−=+−+−=
c
c
c
2)1)(3()3)(2()1)(1(
0)1)(3()2)(2()1)(1(
2)1)(3()0)(2()1)(1(
23
22
21
−=+−+=
=+−+=
=++−=
c
c
c
Por lo tanto:
−
−
=×
202
651
32C
13.5.3.1 PROPIEDADES
Sea IR∈α y CBA ,, matrices.
Entonces:
1. ( ) ACABCBA +=+
2. AAI =
3. ( ) ( )BABAAB α=α=α
9. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
325
4. ( ) ( )BCACAB =
Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser
tales que se puedan realizar las operaciones
indicadas.
Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ?
Ejercicio Resuelto
Si se tienen las matrices
−−−
−
−−
=
23
2
3
201
2
k
kkA y
−−
−−
−−
=
321
3
1102
5
3
k
k
k
kB , entonces el valor
de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es
a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1
SOLUCIÓN:
Al multiplicar la matriz 33×A con la matriz 33×B resulta una matriz 33×C . El asunto es que
33×C sea triangular superior, entonces 000 323121 =∧=∧= ccc . Es decir:
3333
2322
131211
333333
00
0
×
×××
==
c
cc
ccc
CBA
032)1)(3())(()2)(( 2
21 =−−=−+−−+−= kkkkkc
045)2)(2())(3()10(
023)1)(2())(3()2(
32
3232
2
231
32
2
=++=−−+−−+−
−=
=++=−−+−−+−
−=
kkkkc
kkkc
kk
k
Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones
1. ( )( )
13
013
0322
−=∨=
=+−
=−−
kk
kk
kk
2. ( )( )
12
012
0232
−=∨−=
=++
=++
kk
kk
kk
3.
( )( )
140
014
0)45(
045
2
23
−=∨−=∨=
=++
=++
=++
kkk
kkk
kkk
kkk
Observe que sólo 1−=k satisface las tres condiciones, por tanto
RESPUESTA: Opción "a"
Ejercicios Propuestos 13.3
1. Efectuar las operaciones:
a)
−
−
+
− 821
210
741
312
b)
−
−
−
+
−
301
423
210
3
654
012
321
2
c)
−−
3
2
1
654
321
132
d)
−
−
−
12
13
30
42
01
654
321
10. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
326
2. Calcule IAA 322
−+ para
=
32
21
A
3. Al multiplicar la matriz
=
dc
ba
A por la matriz
−
=
04
33
B se obtiene la matriz
−−
−−
=
62
31
C , entonces la SUMA de dcba +++ es:
a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3
4. Considerando las siguientes matrices:
( )304;
3
1
2
;
3
3
21
04
;
4
2
30
11
=
−=
−
−−
=
−
= DCBA . Determine
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)
−
−
−
=+
7
1
11
15
BA b)
−−=
9012
304
608
CD
c) CA + no está definida d)
=
9
9
AD
e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.
5. Dadas las matrices:
=
43
21
A y
−−
−
=
23
12
B encuentre:
a) ( )2
BA + b) 22
2 BABA ++
6. Sean las matrices:
−
=
1
1
q
p
A y
−
−
=
12
11
B encuentre " p " y " q " para que
( ) 222
BABA +=+ .
13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA
Sea ( )ijaA = una matriz de nm × . Entonces su
matriz transpuesta, denotada como ( )ji
t
aA = ,
es de mn× y se obtiene tomando las filas de la
matriz A como columnas para la matriz t
A y
por ende las columnas de la matriz A serán
las filas de la matriz t
A .
Ejemplo
La matriz transpuesta para la matriz
32
321
112
×
−
=A es
23
31
21
12
×
−=t
A
11. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
327
13.5.4.1 PROPIEDADES
Sean nmA × y nmB × matrices,
entonces:
1. ( ) AA
tt
=
2. ( ) ttt
BABA +=+
3. ( ) ttt
ABAB =
MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz nnA × es simétrica si y sólo si
AAt
=
Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiij aa =
Ejemplo
La matriz
−−
−
=
213
102
321
A es simétrica porque AAt
=
−−
−
=
213
102
321
Ejercicio Propuesto 13.4
1. Sea la matriz
=
410
538
642
A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz
( )t
AA −24 es:
a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9
13.6 DETERMINANTE
12. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
328
Sea A una matriz de nn× . El DETERMINANTE de
A, denotado por A o también Adet , se define de la
siguiente manera:
1. Si [ ] 111111 aAaA =→=×
2. Si 21122211
2221
1211
22 aaaaA
aa
aa
A −=→
=×
3. Si 13
13
12
12
11
11
333231
232221
131211
33 AaAaAaA
aaa
aaa
aaa
A ++=→
=×
Donde ij
A se llama cofactor y se define como:
Entonces
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA +−=
NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna.
¿Cómo sería el determinante?
La forma mencionada para hallar el determinante se llama
MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían
emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden,
44×
Ejemplo
Hallar el determinante de la matriz
−=
001
153
412
A
SOLUCIÓN:
Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
13. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
329
53
12
0
13
42
0
15
41
1
001
153
412
+
−
−
−
=−=A
[ ] 21)5)(4()1)(1(1
00
15
41
1
−=−−=
++
−
=
A
A
13.6.1. PROPIEDADES
Sean nnA × y nnB × matrices, entonces:
1. BAAB =
2. AAt
=
Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta.
13.6.2 OTRAS PROPIEDADES
1. Si una matriz es triangular superior,
triangular inferior o diagonal entonces su
determinante es igual a la multiplicación de
los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo
Para la matriz triangular superior
−
−
=
300
410
5102
A calculando su determinante
por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos:
[ ] 6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(200
30
41
2 −=−=−−=+−
−
=A .
¡Generalícelo!
2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas
iguales o múltiplos entonces su
determinante es igual a "0".
Ejemplo
14. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
330
Al hallar el determinante de la matriz
−−
=
62
31
A cuya segunda fila es 2−
veces la primera, encontramos que:
0
)2)(3()6)(1(
=
−−−=
A
A
Lo mismo ocurre con esta matriz
−−
−−
−−
−
−
=
19031
06121
13212
20101
56321
A , note que la
cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A
¡Generalícelo!
3. Si se intercambian 2 filas o columnas en
una matriz entonces su determinante cambia
de signo.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
−
−
=
54
31
A entonces 7125 −=−=A
Si formamos la matriz
−
−
=
31
54
B (intercambiamos las filas de la matriz A )
entonces 7512 =−=B .
¡Generalícelo!
4. Si a todos los elementos de una fila o
columna de una matriz A los multiplicamos
por una constante 0≠k , entonces el
determinante de la nueva matriz es k veces el
determinante de la matriz A.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
=
2221
1211
aa
aa
A entonces
22122211 aaaaA −=
15. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
331
Si formamos la matriz
=
2221
1211
aa
kaka
B (multiplicamos por k a todos los elementos de
la primera fila de la matriz A ) entonces
AkaaaakakaakaB =−=−= )( 2112221121122211 .
En cambio el AkkA n
= ¿POR QUÉ?
5. Si a todos los elementos de una fila o
columna de una matriz A les sumamos
respectivamente k veces otra fila o columna,
entonces el determinante no varía.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
=
2221
1211
aa
aa
A entonces
22122211 aaaaA −=
Si formamos la matriz
++
=
12221121
1211
kaakaa
aa
B (a los elementos de la segunda
fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila) entonces
Aaaaa
akaaaakaaa
kaaakaaaB
=−=
−−+=
+−+=
21122211
1112211212112211
112112122211 )()(
Ejercicios Propuestos 13.5
1. Dadas las matrices:
−
=
320
121
A y
−
=
111
021
B entonces el valor de:
( )t
ABdet es:
a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25
2. Calcule los siguientes determinantes:
a)
001
153
412
−
b)
1021
1120
3012
0101
−
−
−
3. Sean las matrices:
−
=
=
=
−
−
=
32
23
;
111
111
;
1
1
0
0
0
1
;
501
410
123
DCBA
, entonces el
valor del ( )[ ]DCBA TT
−..det es:
a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44
4. Los valores de IRx ∈ que satisfacen la ecuación: 60
100
990
23
=
−x
x
xx
son:
16. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
332
a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1
5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3
1
32
001
2
=
+
−
xxx
xx , son:
a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0
6. Al calcular 0
34
201
122
>
−
x
x
, se obtiene:
a) 0=x b) 5>x c) 0>x d) 3>x e) 2<x
7. El valor del determinante de la matriz
−
−
−
=
01
2
1
23log2
1log18log
3
10
1ln
2
x
xx
e
A es:
a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4
13.7 MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz de nn× . Si existe una
matriz 1−
×nnA tal que IAAAA == −− 11
, se dice
que A es inversible
En este caso a la matriz
1−
×nnA se la llama la matriz inversa de A .
Si 1−
A existe se dice que A es una matriz no singular. Caso
contrario, es decir que 1−
A no exista, se dice que A es una matriz
singular.
Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí
solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula:
( )t
A
A
A ˆ11
=−
, donde ≡A
Matriz de Cofactores.
Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la
existencia de la matriz inversa)
Teorema.
1−
A existe si y sólo si 0≠A
Ejercicio resuelto 1
17. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
333
De existir, hallar la inversa de la matriz
−
−
=
54
31
A
SOLUCIÓN:
Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la
matriz inversa.
A continuación hallamos la matriz de cofactores
−−
−−
=
−+−
−−+
=
=
13
45
)1()3(
)4()5(
2221
1211
AA
AA
A
Entonces:
( )
=
−−
−−
−=
−−
−−
−
==
−
−
7
1
7
4
7
3
7
5
1
1
14
35
7
1
13
45
7
11
A
A
A
A
t
t
Comprobando
=
=
−
−
=−
10
01
70
07
7
1
14
35
7
1
54
311
AA
Ejercicio resuelto 2
De existir, hallar la inversa de la matriz
−
=
012
130
201
A
El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 −=−+−=A
Y su matriz de cofactores:
+−−+
−−−+−
−+−−+
=
)3()1()6(
)1()4()2(
)6()2()1(
A
=
−−
−−
−
316
142
621
Entonces su matriz inversa es:
−−
−
−
=
−
−−
−−
−
=
−−
−−
−
−
=−
316
142
621
11
1
316
142
621
11
1
316
142
621
11
11
t
A
Comprobando
=
=
−−
−
−
−
=−
100
010
001
1100
0110
0011
11
1
316
142
621
11
1
012
130
201
1
AA
13.7.1. Propiedades
Sean nnA × y nnB × matrices inversibles,
entonces:
1. ( ) AA =
−− 11
18. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
334
2.
A
A
11
=−
3. ( ) ( ) 11 −−
= tt
AA
4. ( ) 111 −−−
= ABAB
Ejercicio resuelto 3
Sea X una matriz tal que:
−
=
040
321
84
32
X . Entonces X es igual a:
a)
− 040
672
b)
− 04
67
02
c)
−−− 341
672
d)
−
−
36
47
12
e)
−
−
341
672
SOLUCIÓN:
Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros
−
=
−−
040
321
84
32 11
AXA
A
−
=
−
=
−
−
040
321
040
321
1
1
Ax
AIx
Hallemos la inversa de
=
84
32
A , para lo cual
41216 =−=A y
+−
−+
=
23
48
ˆA entonces
−
−
=
−
−
=−
2
1
4
3
1
1
2
23
48
4
1
t
A
Por lo tanto
−−−
=
−−−
=
−
−
−
=
341
672
12164
24288
040
321
24
38
4
1
4
1x
Respuesta: Opción "c"
Ejercicio resuelto 4
Dada la matriz
−−
−
=
kk
k
kA
31
43
101
los valores de "k" que hacen que la matriz A
no tenga inversa, son:
a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2± y 6± d) 2 y -6 e) -2 y -6
Solución:
Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero