Upn moo s09

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Cuerpo rígido
2F
o Es un sistema de partículas que
interactúan entre sí, pero cuyas
posiciones relativas permanecen
constantes en el tiempo.
o Todo cuerpo rígido posee un
centro de masas, el cual describe
un movimiento de traslación
debido a la acción de las fuerzas
externas que actúan sobre él.
o Dicho movimiento se rige por las
leyes de Newton.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay Vicente 2
CM
i
dmv
F
dt
1F
3F

Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angular
o El volante del un motor de automóvil sometido a
prueba recorre una posición angular que está
dada por:
o El diámetro del volante es de 0,36 m. a) Calcule
el ángulo , en radianes y grados, en t1=2,0 s y
t2 = 5,0 s. b) Calcule la distancia que una
partícula en el borde se mueve durante ese
intervalo. c) Calcule la velocidad angular
media, en rad/s y en rpm, entre t1=2,0 s y t2 =
5,0 s. d) Calcule la velocidad angular
instantánea a los t = t2 = 5,0 s.
3
( ) 2,0t t
0,18 250 16 42s r m m
29/05/2013 3Mg. Yuri Milachay Vicente
1
1
16 920
250 14 000
rad
rad
78 / 740 /minrad s rev
t
2
6,0
150 rad/s
d
t
dt
3
( ) 2,0t t

Dirección de la velocidad angular

Aceleración angular constante
d
dt
0(t) t
o La aceleración angular es la rapidez
de cambio de la velocidad angular.
o En el caso de que la aceleración
angular es
constante, antiderivando, se puede
hallar la expresión de la velocidad
angular.
o Antiderivando la expresión de la
velocidad angular se tiene la
expresión de la posición angular. 2
0 0
1
(t) t t
2

Rotación con aceleración angular constante
27,5 10,0 0,300 24,5 rad/s 27,5 10,0 0,300 24,5 rad/s
o El disco de una película de DVD
se está deteniendo. La velocidad
angular del disco en t = 0 es de
27,5 rad/s y su aceleración
angular constante es de -10,0
rad/s2. Una línea PQ en la
superficie del disco está a lo
largo del eje +x en t = 0. a) ¿Qué
velocidad angular tiene el disco
en t = 0,300 s? b) ¿Qué ángulo
forma la línea PQ con el eje +x
en ese instante?
21
0 27,5 0,300 10,0 0,300
2
7,80 rad 447 1,24 rev

Aceleraciones tangencial y centrípeta
v r
ta r
o Por otro lado, la aceleración
centrípeta o radial también se
puede expresar a través de la
velocidad angular.
o El módulo de la aceleración de
la partícula se calcula por:
o Como la velocidad tangencial se
relaciona con la velocidad
angular, la aceleración tangencial
también se relaciona con la
aceleración angular. 2
c
v
a
r
2
ca r
2 2
t ca a a

Ejemplo 9.4
2
t
2 2
c
a r 40,0 m/s
a r 80,0 m/s
o Un lanzador de disco gira el disco
un círculo de radio 80,0 cm. En
cierto instante, el lanzador gira
con una rapidez angular de 10,0
rad/s y la rapidez angular está
aumentando a razón de 50
rad/s2. Calcule las componentes
de la aceleración tangencial y
centrípeta del disco y la
magnitud de la aceleración.
2 2 2
t ca a a 89,4 m/s

Energía del movimiento rotacional
o Si suponemos que un cuerpo
rígido es un conjunto de
partículas, cada una girando con
velocidad angular alrededor
del eje fijo en z, entonces la
energía cinética de una de las
partículas será:
o La energía cinética total será la
suma de las energías cinéticas
de las partículas; y como todas
giran con la misma rapidez
angular, la expresión final será:
2
i i i
1
K K m v
2
2 2
i i
1
K mr
2
2
i i i
1
K m v
2

Momento de inercia
o La cantidad entre paréntesis se
conoce como momento de inercia
para un conjunto discreto de
partículas, I:
o El momento de inercia es una
medida de la resistencia que
presentan todos los cuerpos a
cambiar su estado de rotación.
Así pues, un cuerpo que tenga un
mayor momento de inercia
presentará una mayor resistencia
a cambiar su estado de rotación.
o I también se denomina inercia
rotacional.
o ¿En qué caso es mas fácil girar el
aparato?
o En función de I, la energía K
total de un cuerpo rígido será.
2
i iI mr
21
K I
2

Ejemplo 9.7
2 2 2 2
2
I 0,30 0,40 0,10 0 0,20 0 kg m
I 0,048 kg m
2 2 2 2
2
I 0,30 0 0,10 0,50 0,20 0,40 kg m
I 0,057 kg m
o Un ingeniero está diseñando una
pieza mecánica formada por tres
conectores gruesos unidos por
puntales ligeros moldeados. a)
¿Qué momento de inercia tiene
este cuerpo alrededor de un eje
que pasa por el punto A y es
perpendicular al plano del
diagrama? b) ¿Y alrededor de
un eje coincidente con la varilla
BC? c) Si el cuerpo gira sobre el
eje que pasa por A y es
perpendicular al plano del
diagrama, con rapidez angular
= 4,0 rad/s, ¿qué energía
cinética tiene? 21
K 0,057 4,0 J 0,46 J
2

Cálculo del momento d einercia
0m
2
i iI mr
o El momento de inercia de un sistema de
partículas está dado por:
o Si se trata de una distribución continua de
masa, una primera aproximación para el
cálculo del momento de inercia consiste en
considerar que la masa total es la suma de
masas infinitesimales.
o El valor del momento de inercia se obtendrá
cuando tienda a cero la porción de masa
considerada, lo que convertirá la suma en
una integral.
o El diferencial de masa puede ser descrito
como:
2
0
lim
m
I r m
2
I r dm
alambrespara
ssuperficiepara
volúmenespara
dxdm
dAdm
dVdm

Momentos de inercia de diversos cuerpos

Cálculo del momento de inercia de una varilla
2
I r dm
dm dx
/23 3
/2
3 12
L
L
x L
I
/2
2
/2
L
L
I x dx
2
12
L
I M
x
dx
dm

Cálculo del momento de inercia de una varilla (2)
2
I r dm
dm dx
3 3
0
3 3
L
x L
I
2
0
L
I x dx
2
3
L
I M
La única variación se da en la cota
de integración
x
dx
dm

Cálculo del momento de inercia de una placa
rectangular (3)
2
I r dm
dm bdx
3 3
0
3 3
a
x ba
I b
2
0
a
I x bdx
2
3
a
I M
x dx
dm

Cálculo del momento de inercia (4)
2
I r dm
dm dxdy
2 2 2
r x y
2
I r dxdy
2 21
( )
12
I M a b
x
dy
dm
dxr

Cálculo del momento de inercia de un cilindro hueco
(5)
2
I r dm
(2 )dm rL dr
4 4
2 1
2
( )
4
L
I R R
2
1
2
(2 )
R
R
I r rL dr
2 2
1 2
1
( )
2
I M R R

Teorema de ejes paralelos
o Supóngase que el I de un cuerpo
respecto a un eje que pasa por el CM es:
ICM. entonces el I respecto a otro eje
paralelo al primero y separado una
distancia d es:
o Ejercicio 9.52
o Calcule el momento de inercia de un aro
con masa M y radio R alrededor de un
eje perpendicular al plano del aro y que
pasa por un borde.
Eje
alrededor
del CM
Eje de
rotación d
2
CMI I Md
R
22
MRMRI

Ejercicio 9.41
o Una rueda de carreta tiene un radio de
0,300 m y la masa de su borde es de 1,40
kg. Cada rayo, que está sobre un
diámetro y tiene 0,300 m de longitud
tiene una masa de 0,280 kg. ¿Qué
momento de inercia tiene la rueda
alrededor de un eje que pasa por su
centro y es perpendicular a su plano?
o Observar que el sistema está formado
por 8 varillas de longitud 0,300m que
giran por su borde y por un aro de radio
0,300. Usando la tabla de momentos de
inercia se obtiene:
222
mkg300040130002800
3
1
8 ,,,,I

Torque y aceleración angular de un cuerpo rígido
o Supóngase una partícula girando en
una trayectoria circular bajo la acción
de la fuerza tangencial FT y una
fuerza centrípeta que asegura el
movimiento circular
o El torque es igual a su momento
de inercia por su aceleración
angular instantánea.
o Podemos extender esta propiedad
a todos los cuerpos rígidos que
giran alrededor de un
eje, siempre y cuando el eje de
rotación sea un eje de simetría
del sólido.
r
( )C Tr F r F F
    
Tr F
 
ω


ˆ
Tr F k

2ˆ ˆ( ) ( )r m r k mr k

2
( )mr

R I

CF
TF

Ejemplo 10.2 Pág. 367
2
2
FR 2F
a R R R
MRI M
2
a 0,36 m/s
o Se enrolla un cable varias veces
en un cilindro sólido uniforme de
50 kg con diámetro de 0,12
m, que puede girar sobre su eje.
Se tira del cable con una fuerza
de 9,0 N. Suponiendo que el
cable se desenrolla sin estirarse
ni resbalar, ¿qué aceleración
tiene? I = MR2/2.
o DCL

Ejercicio 10.7 Pág. 394
o Un casco esférico uniforme de 8,40 kg y 50,0
cm de diámetro tiene cuatro masas pequeñas
de 2,00 kg pegadas a su superficie exterior, a
distancias equidistantes. Esta combinación gira
respecto a un eje que pasa por el centro de la
esfera y dos de las masas pequeñas (observe
la figura) ¿Qué momento de torsión por
fricción se requiere para reducir la rapidez
angular del sistema, de 75,0 rpm a 50,0 rpm
en 30,0 s?
3
5,24 10 .N m
2
mkg600,0I
2 22
3 2I MR mR
0 75,0 rpm 7,854 rad s
50,0 rpm 5,236 rad s;
ω
ω
0
2
0,08726 rad s
,
0,0524 N mf
ω ω αt
α
τ Iα
τ

Ejercicio 10.13
o Una piedra de afilar en forma de
disco sólido de 0,520 m de diámetro
y masa de 50,0 kg gira a 850 rpm.
Usted presiona un hacha contra el
borde con una fuerza normal de 160
N y la piedra se detiene en 7,50 s .
Calcule el coeficiente de fricción
entre el hacha y la piedra.
o La magnitud de F = N
o La fuerza que produce torque es la
fuerza de fricción
I
Nf k
fR
/a R
0
k
MR tRf I
N N RN 2N
K 0,4822
I MR

o Si un cuerpo rígido gira y se
traslada, después de dibujar el
DCL del sólido, como se
mencionó ya, deberá aplicarse
las leyes de Newton en el caso
de la traslación del centro de
masas y la rotación respecto al
centro de masas.
o Para la traslación:
o Para la rotación:
Dinámica de la traslación y la rotación combinadas del CR
CMext aMF

zCMz I
aCM
F
En el caso del movimiento de
la moneda, se puede apreciar
que ésta tiene un CM que
acelera, pero que también
posee una aceleración angular
producto de la rotación de la
moneda respecto al CM.

Dinámica de la esfera rodante
2
5
f Ma
2
sin
5
Mg Ma Ma
o Una bola de bolos rueda sin
resbalar por la rampa de
retorno junto a la mesa. La
rampa forma un ángulo b con
la horizontal. ¿qué aceleración
tiene la bola?
sinMg f Ma
. CMf R I
22
5
CMI MR
22
.
5
f R MR
(1)
(2)
(1) y (2)
5
7
a g sen

Dinámica del yo-yo
o Se fabrica un yo-yo enrollando un
cordel varias veces alrededor de
un cilindro sólido de masa M y
radio R. Se sostiene el extremo
del cordel fijo mientras se suelta
el yoyo desde el reposo. El cordel
se desenrolla sin resbalar ni
estirarse al caer y girar.
Considerando al yoyo como un
cilindro calcule la aceleración
lineal y la tensión del cordel
T
Mg
ycmy MaTMgF )(
21
2
z cm z zTR I MR
ga ycm
3
2
MgT
3
1

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