Este documento trata sobre vibraciones libres amortiguadas y vibraciones forzadas. Explica los conceptos de oscilaciones amortiguadas, vibración libre viscosa amortiguada, análisis de la solución, gráfica del proceso, y resonancia. Incluye ejemplos y ecuaciones para describir el movimiento de sistemas masa-resorte con amortiguación.

1. Física II
VIBRACIONES
Vibraciones libres amortiguadas. Vibraciones forzadas y
resonancia

2. CASO: PUENTE TACOMA NARROW
11/09/2016 Yuri Milachay 2

3. http://www.wsdot.wa.gov/tnbhistory/

4. ARCOS DE ALCONETAR SOBRE EL RIO TAJO
https://www.youtube.com/watch?v=QTK7siHbAEk

5. EL DESASTRE POTENCIAL DEL CITY CORP
11/09/2016 Yuri Milachay 5

6. ¿POR QUÉ AMORTIGUADORES EN UN PUENTE?
6

7. Disminuye las oscilaciones del muelle
¿QUÉ FUNCIÓN CUMPLEN LOS AMORTIGUADORES?

8. OSCILACIONES AMORTIGUADAS
• La fricción es una fuerza disipadora que mengua las oscilaciones. La
disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el
movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada.
𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥

9. VIBRACIÓN LIBRE VISCOSA AMORTIGUADA
• La fuerza viscosa de amortiguación es proporcional a la
velocidad.
• 𝑐- coeficiente de amortiguación viscosa, 𝑁. 𝑠/𝑚 o 𝑙𝑏. 𝑠/𝑓𝑡.
• La ecuación de movimiento es
• Y la solución de la ecuación diferencial homogénea es
𝐹𝑥 = −𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥
𝑥 = 𝑒 𝜆𝑡

10. ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN
• Reemplazando en la ecuación original se llega a la expresión
de λ.
• Cuya expresión matemática es
• Con lo cual se abren tres posibilidades de movimiento.
• 1. Amortiguación crítica (cc)
−𝑘𝑒 𝜆𝑡 − 𝑐𝜆𝑒 𝜆𝑡 = 𝑚𝜆2 𝑒 𝜆𝑡
𝜆 = −
𝑐
2𝑚
±
𝑐2 − 4𝑚𝑘
4𝑚2
𝑐 𝑐
2
−𝑘
4𝑚2 =0 𝑐 𝑐 = 2𝑚
𝑘
𝑚
= 2𝑚𝜔 𝑜

11. • Lo que da como solución
• Sistema sobreamortiguado
𝜆1 = 𝜆2 = −𝜔 𝑜 𝑥 𝑡 = (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒−𝜔 𝑜 𝑡
𝜆1, 𝜆2; reales
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 𝜆1 𝑡
+ 𝐵𝑒 𝜆2 𝑡
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
> 0

12. • Sistema subamortiguado
• Las soluciones son imaginarias
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
< 0
𝑥 𝑡 = 𝐷𝑒−
𝑐
2𝑚 𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙
𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑜 1 −
𝑐
𝑐 𝑐
2
Factor de amortiguación

13. GRÁFICA DEL PROCESO

14. EJERCICIO
• Un bloque de 0,800 kg de masa se suspende de un
resorte cuya rigidez es de 120 N/m. Si un amortiguador
genera una fuerza de amortiguación de 2,5 N cuando la
velocidad del bloque es de 0,200 m/s, determine el
periodo de vibración libre.

15. • Dos amortiguadores
idénticos se disponen
paralelos entre sí, como se
muestra. Demuestre que si
el coeficiente de
amortiguación 𝑐 < 𝑚𝑘 ,
entonces el bloque de masa
𝑚 vibrará como un sistema
sobreamortiguado.
EJERCICIO

16. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA
• Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará de
moverse, pero podemos mantener una oscilación de amplitud
constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo
periódicamente, con un periodo definido.
• La solución de la ecuación es la expresión:
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𝐹 𝑡 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 𝐹 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 + 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙
𝜔0 = 𝑘
𝑚
𝐴 =
𝐹max
𝑚
𝜔 𝑑
2
− 𝜔0
2 2
+
𝑐𝜔 𝑑
𝑚
2

17. • La frecuencia angular para la que
la amplitud es máxima se llama
frecuencia de resonancia.
OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA
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18. Una fuerza impulsora senoidal se
aplica a un oscilador armónico
amortiguado con constante de
fuerza k y una masa m . Si la
constante de amortiguación vale
b1, la amplitud es A1 cuando la
frecuencia angular impulsora es
(k/m)1/2. En términos de A1,
¿cuánto vale la amplitud con la
misma frecuencia impulsora y la
misma amplitud de la fuerza
impulsora Fmáx si la constante de
amortiguación es 3b?
Solución.
EJERCICIOS
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1b
𝐴1 =
𝐹max
𝑚
𝜔d
2
− 𝜔0
2 2
+
𝑏1 𝜔 𝑑
𝑚
2
𝐴1 =
𝐹max
𝑏1 𝜔 𝑑
𝐴2 =
𝐴1
3
𝜔0
2
=
𝑘
𝑚
;

19. La estructura de soporte que se
colocó a bordo de la estación
espacial actúa como sistema
resorte-masa subamortiguado
con constante de fuerza 2,10 x
106 N/m y masa 108 kg. Un
requisito de la NASA es que no
haya resonancia para
oscilaciones forzadas en ninguna
frecuencia menor que 35,0 Hz,
¿satisface el paquete tal
requisito? Es decir, ¿tiene
frecuencias naturales
coincidentes?
• Solución
EJERCICIO
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20. • El motor eléctrico de
30 𝑘𝑔 está sostenido por 4
resortes, cada uno con una
constante de 200 𝑁/𝑚. Si el
rotor se desbalancea de modo
que su efecto equivalga a una
masa de 4 𝑘𝑔 situada a
60 𝑚𝑚 del eje de rotación,
determine la amplitud de la
vibración cuando el rotor gira
a 𝜔 𝑜 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. El factor de
amortiguación es 𝑐 = 0,15 𝑐 𝑐
EJERCICIO

21. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Hibbeler R. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. Ed.
Prentice Hall. 12 edición. Cap. 22.
2. Gray. Dinámica. Ed. Mc Graw Hill. 3 edición. Cap.9