1. 確率の乗法定理 P（A∩B） ＝ P（A）P（B/A）・・① A Ｂ A∩B A⇒Bを入れ替えると P（A∩B） ＝ P（B）P（A/B） P（A∩B） ＝ P（A/B） P（B）・・② ①と②の左辺Ｐ（A∩B）共通なので P（A）P（B/A） ＝ P（A/B） P（B）・・③ ③について、P（B）≠０を仮定し、P（A/B）について解くと P（B/A） P（A） P（A/B） ＝ P（B）

2. ベイズ統計の基本（覚書） その１ 「Excelでスッキリわかるベイズ統計入門」（日本実業出版社） からのMEMO

3. ベイズの定理 H（仮定：原因） D（結果：データ） P（D/H）：尤度＝原因Hのもとで 現象の起こる尤もらしい確率 P（H/D）：結果から原因をさぐる 原因の確立=事後確率 H D D H H（仮定：原因） D（結果：現象；データ） D（結果：現象：データ） H（仮定：原因） P（H/D） ：事後確率 P（H）： 事前確率 P（D）： 結果・現象＝データ の起こる確率 ＜尤度＞ ＜事前確率＞ P（D/H） P（H） ＜事後確率＞ P（H/D） ＝ P（D）

4. ベイズの展開公式 H１、H2、H3はそれぞれ独立 H１ H2 H3 原因H１ 原因H2 原因H3 D∩H１ D∩H2 D∩H3 データD Ｄ HをH１に置き換えると P（D/H） P（H） P（D/H1） P（H1） P（H/D） ＝ P（H1/D） ＝ ・・① P（D） P（D） H１、H2、H3はそれぞれ独立とすると P（D）＝ P（D∩H1） ＋ P（D∩H2） ＋ P（D∩H3） P（D）＝ P（D/H1）P（H1） ＋ P（D/H2）P（H2） ＋ P（D/H3）P（H3） ・・② ①に②を代入 P（D/H1） P（H1） P（H1/D） ＝ P（D/H1）P（H1） ＋ P（D/H2）P（H2） ＋ P（D/H3）P（H3） ベイズの展開公式 P（D/Hi） P（Hi） P（Hi/D） ＝ P（D/H1）P（H1） ＋ P（D/H2）P（H2） ＋・・＋ P（D/Hi）P（Hi）

5. ベイズ統計の基本公式 母数が連続変数の場合のベイズの定理： 母数がθである確率公式として捉えなおす。 ＜尤度＞ ＜事前確率＞ P（D/θ） P（θ） P（D/H） P（H） ＜事後確率＞ P（θ/D） ＝ P（H/D） ＝ P（D） P（D） Θが連続的な値をとるとき、P（D）、P（D/θ）、P（θ/D）の解釈を「確率」⇒「確率密度」に変える。 （事前確率） P（θ） ⇒ （事前分布） π（θ） (尤度） P（D/θ） ⇒ （尤度） f（D/θ） （事後確率） P（θ/D） ⇒ （事後分布） π（θ/D） ＜尤度＞ ＜事前分布＞ f（D/θ） π（θ） ＜事後分布＞ π（θ/D） ＝ P（D） ・・データDを得る確率 ⇒データが与えられた後は一定な数値になる 事後分布は、尤度と事前分布の積に比例する。 事後分布π（θ/D） ∝ 尤度f（D/θ）×事前分布π（θ）

6. ベイズ統計の基本公式の活用例 ＜具体例：薬の効果θの事後分布＞

7. ベイズ推定 ■統計的推定： 確率的な乗法から未知な値を決定すること ■ベイズ推定： 事後確率や事後分布を用いて、不明の値を最適に決定 ⇒分布の代表値の推定を行う。「期待損失最小化」原理を活用 ■期待損失最小化： 平方損失 θ α 2 絶対損失 θ α 一様損失 θ α α- α+ ●損失関数として平方損失を選んだ場合： 平均値を母数の推定値として利用。 ベイズ推定では、平均値算出に事後分布を使う ●損失関数として一様損失を選んだ場合： 最頻値を推定値として利用。 ⇒最大事後確率推定法（Maximum a posteriori estimation method) =MAP推定法（推定値をMAP推定値） 事後分布 事後分布 平均値 MAP推定値