1. Programimi Linear
Probleme praktike siç janë:
a) Problemi i dietës,
b) Problemi i prodhimit,
c) Problemi i investimeve,
d) Problemi i caktimit të punëve, dhe
e) Problemi i transportit
mund të shtrohen si probleme të programimit linear të cilat pastaj zgjidhen duke zbatuar metodat ose
algoritmet përkatëse në mënyrë që të gjejmë zgjidhjen optimale (minimunim apo maksimumin).
Veqoritë e përbashkëta të problemeve të programimit linear janë:
1. Kërkohet të minimizohet ose maksimizohet funksioni i qëllimit që është funksion linear i të
panjohurave,
2. Të panjohurat plotësojnë një sistem kushtesh që përbëhet nga ekuacione ose inekuacione lineare
ose nga të dyja së bashku,
3. Të panjohurit kërkohet të jenë jo-negativ .
a) Problemi i dietës
Një dietë ditore i përmban 3 lloje ushqimesh (Ui) dhe secila nga këto ushqime përmban 3 lloje vitaminash
(A,B,C) të domosdoshme në sasi të caktuara për tu marrë nga pacientët (ose punëtorët e fabrikës).
Ky shembull jepet në tabelë
Ushqimet Kërkesat minimale
U1 U2 U3 për vitamina
Vitaminat
A a11 a12 a13 b1
B a21 a22 a23 b2
C a31 a32 a33 b3
Çmimi c1 c2 c3
a11 - sasia e vitaminës A që përmban një njësi e ushqimit U1,
b2 - sasia minimale e vitaminës B, e caktuar nga mjeku që duhet ta përmbajë dieta ditore,
c3 – çmimi i kushtimit të një njësie ushqimi U3 (psh. 1kg).
Problemi i dhënë pra nënkupton se në çfarë sasie duhet përfshirë në dietën ditore secilin nga
ushqimet Ui që të plotësohen kërkesat minimale me vitamina, të personave që ushqehen dhe kostoja e
kësaj diete të jetë sa më e ultë.

2. e) Problemi i transportit
Në K1 K2
nga
P1 7$ 10 90
P2 12 9 50
P3 7 3 80
Shpenzimet e
120 $ 100 $
transportit
Si problem i programimit linear do të dukej kështu:
Zgjidhja në mënyrë grafike e problemeve të programimit linear
Le të jetë dhënë një problem i programimit linear me dy të panjohura i cili kërkohet të minimizohet
ose maksimizohet dhe që përmban inekuacione.
Bashkësia e zgjidhjeve të këtij sistemi të kushteve quhet zona e zgjidhjeve të lejuara e cila në paraqitje grafike
është një shumëkëndësh i kufizuar ndërsa zgjidhje optimale do të jetë njëra nga kulmet e tij.

3. Shembulli 1:

4. Shembulli 2

5. Zgjidhja e problemit të programimit linear me Algoritmin Simpleks
Trajta standarde e problemit të programimit linear
Para se të fillohet me zgjidhjen e problemit ai duhet të sillet në trajtën standarde si më poshtë:
Çdo problem i programimit linear kthehet në trajtë standarde. Kjo trajtë përbëhet nga sistem ekuacionesh dhe
për funksion të qëllimit kërkohet vlera më e vogël. Në qoftë se në funksion të qëllimit f kërkohet vlera më e
madhe atëherë në vend të tij vendoset si funksion qëllimi f’= - f dhe për të kërkohet vlera më e vogël. Në
qoftë se sistemi përmban inekuacione ato mund të kthehen në ekuacione duke i shtuar të panjohurat shtesë.
Shembulli 3
f X1 5 X 2 (m in )
X1 X2 4
2X1 X2 1
X1 X2 2
X 1, X 2 0
Kthehet në trajtë standarde si më poshtë:
f X1 5 X 2 (m in )
X1 X2 X3 4
2X1 X2 X4 1
X1 X2 X5 2
X 1 ,.., X 5 0
Trajta Kanonike
– quhen të panjohurat e lira
- quhen terma të lira

6. d0 - termi i lirë i funksionit
në rast se të panjohurat e lira marrin vlerën zero dmth. x4=0 dhe x5=0 gjejmë zgjidhjen e lejuar të sistemit
XB= {b1, b2, b3, 0, 0}
Vlera e funksionit të qëllimit për zgjidhjen bazë XB është f(xB)=d0
A. Në qoftë se problemi i i dhënë në trajtë kanonike ka të gjithë koeficientët pran të panjohurve të lirë
tek funksioni i qëllimit negativ ose zero, pra: , atëherë fmin= d0
B. Ndër koeficientët d4 dhe d5 ka pozitiv (nëse janë të dy pozitivë fiksojmë njërin nga ata) prandaj kemi
2 nënraste:
B1. ndërsa , , zgjidhja optimale nuk ekziston.
B2. ndërsa , , atëherë zgjedhim raportin më të vogël dhe
koeficienti quhet element çelës .
Shembulli 4
Faktorët te Llojet e produkteve Rezervat (në orë pune)
prodhimit
I II III IV
Shërbime 1 1 1 1 100
Punë 10 4 5 4 600
Administratë 2 2 6 6 300
Fitimi për njësi $ 10 6 6 8
Nga tabela e mësipërme mund të përkufizojmë detyrën si problem të programimit linear:
me kushtet
dhe si hap i radhës për të zgjidhur këtë problem është kthimi i tij në trajtë standarde:
me kushtet
Meqë trajta standarde kërkon që funksioni i qëllimit të minimizohet prandaj është dashur të shkruajmë f’=-f
dhe prapëseprapë funksioni i qëllimit (f’ min) është i njëvlershëm me atë (f max) që e kërkon detyra e dhënë
pasi që po për të njëjtat zgjidhje ( ) për të cilat funksioni f do kishte max , funksioni f’ do të ketë
minimum.

7. Gjithashtu problemi në trajtë standarde përbëhet vetëm nga barazimet prandaj i shtuam të
panjohurat e reja x5, x6 dhe x7 që janë jonegative në mënyrë që të barazohen 2 anët e jobarazimit
(inekuacionit) dhe i njëjti të bëhet barazim ose ekuacion.
Para se të fillojmë metodën simpleks duhet problemi të jetë në trajtën kanonike që jepet në vijim:
me kushtet
dhe ndërtojmë tabelën simpleks me koeficientët para variablave. Fillimisht duhet cekur se x5, x6 dhe
x7 janë të panjohurat bazë (PB) ndërsa 100, 600 dhe 300 janë termat e lirë (TL).
Tabela 1 simpleks
PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x5 100 1 1 1 1 1 0 0
x6 600 10 4 5 4 0 1 0
x7 300 2 2 6 6 0 0 1
f’ 0 10 6 6 8 0 0 0
Meqë 10 është qelës, në vend të x6 në të panjohurën bazë futet x1në tabelën vijuese. Njëherit ky
reshtë (me ngjyrë të kuqe) pasi në të është qelësi (10) pjesëtohet më 10 dhe shkruhet në tabelën
vijuese por në vend të x6 tash kemi x1 (reshti i gjelber). Reshtin e gjelbërt në tabelën 2 e shumzojmë
me -1 dhe e mbledhim me reshtin e parë të tabelës 1, poashtu e shumzojmë me -2 dhe ia shtojmë
reshtit të tretë të tabelës 1 dhe rezultatin e shkruajmë në tab. 2 në reshin e tretë.
Në mënyrë të njejtë reshin e gjelbër të shumzuar me -10 e mbledhim me reshtin e f’ në tab.1 dhe
rezultatin e vendosim ne tab 2.
Tab.2.
PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x5 40 0 0.6 0.5 0.6 1 -0.1 0
x1 60 1 0.4 0.5 0.4 0 0.1 0
x7 180 0 1.2 5 5.2 0 0.2 1
f’ -600 0 6 6 8 0 0 0
Pasi që 5.2 është qelësi i tab.2. atëherë x4 në tabelën e ardhshme do të jetë në vend të x7. Pse 5.2
është qelës? Sepse raporti 180/5.2 është më i vogli nga të tjerët si psh 60/0.4 dhe 40/0.6. Edhe ky
resht ku gjendet 5.2 do të pjesëtohet me 5.2 dhe pastaj do të vendoset në tab vijuese numër 3. Po ky
resht i vendosur në tab.3. do të shumzohet me -0.4 dhe do të mblidhet me reshtin e 2t të
tab2.(reshtin x1) e pastaj rezultati shkruhet ne tabelën 3 po në të njëjtin resht më të cilin u mbledh,
dhe do të shumzohet me -0.6 dhe i shtohet reshtit të 1 të tab.2 e rezultati shkruhet në reshtin e parë
të tab.3. e njëjta vlen dhe për reshtin e f’ në tab 2 por ai shumzohet me -8.

8. Tab.3.
PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Ky resht është pjesëtuar 0.46 dhe pastaj
x5 19.23 0 0.46 0.07 0 1 -0.077 -0.115 është vendosur në reshtin e 1 të tab 4. I
x1 46.15 1 0.31 0.115 0 0 -0.115 -0.077
njëjti resht është shumzuar (ai i x2 në
x4 34.62 0 0.23 0.96 1 0 -0.038 0.19
f’ 0 0 1.08 -2.84 0 0 -0.84 -0.77 tab.4) me -0.31, -0.23 dhe -1.08 dhe
është mbledhur me reshtat përkatës (të
dytin, t’tretin dhe t’katërtin f’).
Tab.4. Zgjidhja optimale e problemit primar
Meqë në reshtin e katërt ska pozitiv
PB TL x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
asnjë numër atëher problemi është
x2 41.67 0 1 -0.167 0 2.16 -0.16 -0.25
x1 33.33 1 0 0.167 0 -0.67 0.167 0 zgjidhur dhe atë meqë -783.33 është min
x4 25 0 0 1 1 -0.5 0 0.25 i f’ rjedh se 783.33 është max i kërkuar në
f’ -783.33 0 0 -2.67 0 -2.33 -0.667 -0.5 f në fillim: x1=33.33, x2=41.67, x3=0,
x4=25 .