เอกสารความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันปี

1. 1
ใบความรู้ ที่ 3.1
ความรู้พื้นฐานการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
วิธีที่ 1 กาจัดตัวแปร x
วิธีที่ 2 กาจัดตัวแปร y
กรณีที่ 1 ถ้าตัวสัมประสิทธิ์ (ตัวเลข) ของตัวแปร x หรือตัวแปร y เท่ากัน
1.1 ถ้าเครื่องหมายเหมือนกันให้นาสมการทั้งสองมาลบกัน
1.2 ถ้าเครื่องหมายต่างกันให้นาสมการทั้งสองมาบวกกัน
กรณีที่ 2 ถ้าตัวสัมประสิทธิ์ (ตัวเลข) ของ ตัวแปร x หรือตัวแปร y ไม่เท่ากัน โดยต้องทาให้เท่ากัน
โดยทาให้เท่ากับค.ร.น.
1.1 ถ้าเครื่องหมายเหมือนกันให้นาสมการทั้งสองมาลบกัน
1.2 ถ้าเครื่องหมายต่างกันให้นาสมการทั้งสองมาบวกกัน
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการหาคาตอบโดยใช้กระบวนการของโพลยา
2x + 3y = 12 ……………(1)
2x - y = 4 ……………(2)
วิธีทา
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด สมการเส้นตรง 2 สมการ
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร หาคาตอบของระบบสมการ
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
วิธีที 1 กาจัดตัวแปร x
วิธีที 2 กาจัดตัวแปร y
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ
วิธีที่ 2.1 กาจัดตัวแปร x
2x + 3y = 12 ……………(1)
2x - y = 4 ……………(2)
(สมการที่ 1 , 2 มีเครื่องหมายเหมือนกัน )
(1) – (2) ; 3y - (- y) = 12 - 4
3y + y = 8
4y = 8
y = 2
แทนค่า y = 2 ในสมการที่ 2
2x - 2 = 4
2x = 6
จะได้ x =
2
6
= 3
จุดตัดกันของกราฟ คือ ( 3 , 2 )
วิธีที่ 2.2 กาจัดตัวแปร y
2x + 3y = 12 ……………(1)*
2x - y = 4 ……………(2)
ต้องทาตัวเลขหน้า y ให้เท่ากัน
(2)  3 ; 3(2x - y) = 4  3
6x - 3y = 12 ……………(3)*
(สมการที่ 1 , 3 มีเครื่องหมายต่างกัน )
(1)*
+ (3)*
; 2x + 6x = 12+12
8x = 24
x = 3
แทนค่า x = 3 ในสมการที่ 2
2(3) - y = 4
6 - y = 4
- y = - 2
จะได้ y = 2
จุดตัดกันของกราฟ คือ ( 3 , 2 )

2. 2
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวน ตรวจสอบผลที่ได้
4.1 ตรวจสอบผลที่ได้โดยวิธีแทนค่าตัวแปร
แทนค่า x = 3 , y = 2
2x + 3y = 12 ……………(1)
2x - y = 4 ……………(2)
2(3) + 3(2) = 12 ……………(1)
ดังนั้น 6 + 6 = 12 เป็นจริง
2(3) - 2 = 4 ……………(2)
ดังนั้น 6 - 2 = 4 เป็นจริง
4.2 โดยวิธีเขียนกราฟ(ใช้โปรแกรมGSP)
สมการ จัดรูป จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y
2x + 3y = 12
3
212 x
y

 (6 , 0) (0 , 4)
2x - y = 4 42  xy (2 , 0) (0 , -4)
1.1 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 )
2x + 3y = 12
2x + 3(0) = 12
2x = 12
จะได้ x = 6
ดังนั้นจุดตัดแกน X คือ (6, 0)
1.2 จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 )
2(0)+ 3y = 12
3y = 12
y = 4
ดังนั้นจุดตัดแกน Y คือ (0, 4)
2.1 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 )
2x - y = 4
2x - 0 = 4
2x = 4
จะได้ x = 2
ดังนั้นจุดตัดแกน X คือ (2, 0)
2.2 จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 )
2(0) - y = 4
- y = 4
y = -4
ดังนั้นจุดตัดแกน X คือ (0 , -4)
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
(3,2)
g x  =2x-4
f x  =
12-2x
3

3. 3
ใบความรู้ที่ 3.2
ความรู้พื้นฐานการแก้ระบบสมการ 3 ตัวแปร
ขั้นตอนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด สมการเส้นตรง 3 สมการ
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร หาคาตอบของระบบสมการ
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
วิธีที่ 1 กาจัด x หรือ กาจัด y หรือ กาจัด z
วิธีที่ 2 แทนค่า x , y , z
วิธีที่ 3 ใช้เมตริกซ์(กฏของคราเมอร์)
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ
วิธีที่ 1 กาจัด x หรือ กาจัด y หรือ กาจัด z
3.1 เลือกสมการสามตัวแปรมา 2 สมการ เช่น สมการ 1 กับ 2 และ สมการ 1 กับ 3
3.2 ทาสัมประสิทธิ์ของ x , y , zให้เท่ากัน(ตัวเลขหน้าตัวแปร)ให้เท่ากัน
ถ้าเครื่องหมายเหมือนกันให้นาสมการทั้งสองมาลบกัน
ถ้าเครื่องหมายต่างกันให้นาสมการทั้งสองมาบวกกัน
3.3 ถ้า กาจัด y สมการสองตัวแปร 2 สมการในรูป x , z
3.4 ถ้ากาจัด z แก้สมการจะได้ ค่า x = …..
3.5 แทนค่า ค่า x = ….. ในสมการสองตัวแปร แก้สมการ จะได้ค่า z = …..
3.6 แทนค่า ค่า x = ….. ค่า z = ….. ในสมการที่ 1 , 2 , 3 จะได้ค่า y = …..
ดังนั้นคาตอบของระบบสมการคือ x = ….. , y = ….. , z = …..
วิธีที่ 2 แทนค่า x , y , z (แทนค่า x ในรูปของ y , z )
1. เลือกสมการ x + y + z = 0 และจัดรูป x = ….. เช่น x = - y – z
2. แทนค่า x = ….. ในสมการที่เหลืออีก 2 สมการ
3. แทนค่าหาคาตอบไปเรื่อยๆ y = ….. , z = …..
วิธีที่ 3 ใช้เมตริกซ์(กฏของคราเมอร์)
x =
)det(
)det(
A
X
, y =
)det(
)det(
A
Y
, z =
)det(
)det(
A
Z
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวน ตรวจสอบผลที่ได้
ตัวอย่างที่ 1.2 จงแก้ระบบสมการ
x + y + z = 0
2x – y – 4z = 15
x – 2y – z = 7
วิธีที่ 1 กาจัด y
x + y + z = 0 ……………(1)
2x – y – 4z = 15 ……………(2)
x – 2y – z = 7 ……………(3)*
(1) + (2) 3x - 3z = 15 ……………(4)**
(1) 2 2x + 2 y + 2z = 0 ……………(5)*

4. 4
(3)*+ (5)* 3x + z = 7 ……………(6)**
(4)**- (6) ** - 4z = 8
z =
4
8

= - 2
แทนค่า z = - 2 ในสมการที่ (6) **
3x + (-2) = 7
3x = 9
x = 3
แทนค่า x = 3 , z = - 2 ในสมการที่ (1)
(3) + y + (- 2) = 0
y + 1 = 0
y = - 1
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ ( 3 , - 1 , -2 )
วิธีที่ 2 แทนค่า x , y , z (แทนค่า x )
x + y + z = 0 ……………(1)
2x - y - 4z = 15 ……………(2)
x - 2y - z = 7 ……………(3)
จากสมการที่ (1) แทนค่า x
x = - y - z ……………(4)
แทนค่า x = - y - z ในสมการที่ (2)
2(- y - z) - y - 4z= 15
- 2y - 2z - y - 4z = 15
- 3y - 6z = 15
นา - 3 หาร ทั้งสองข้างของสมการ
- y + 2z = - 5
y = - 2z - 5 ……………(5)
แทนค่า x = - y - z ในสมการที่ (3)
(- y - z ) - 2y - z = 7
- 3y - 2z = 7 ……………(6)
จากสมการที่ (5) แทนค่า y = - 2z - 5 ในสมการที่ (6)
- 3(- 2z - 5 )- 2z = 7
6z + 15 – 2z = 7
4z = - 8
z =
4
8
= - 2
แทนค่า z = - 2 ในสมการที่ (5)
y = - 2(-2) – 5
y = 4 – 5 = - 1
แทนค่า y = - 1 , z = - 2 ในสมการที่ (1)
x +(- 1) + (- 2) = 0
x - 3 = 0 จะได้ x= 3

5. 5
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ ( 3 , - 1 , -2 )
วิธีที่ 3 ใช้เมตริกซ์(กฏของคราเมอร์)
หาดีเทอร์มินันท์ det(A) นาสัมประสิทธิ์ของสมการมาเขียนเป็นเมตริกซ์ดังนี้












121
412
111










z
y
x
=










7
15
0
A =












121
412
111
การหาดีเทอร์มินันท์ ต่อแถวและหลัก คูณขึ้นเป็นลบ คูณลงเป็นบวก(ตามแนวทแยงมุม)
A =












121
412
111
2
1
1
1
2
1


det(A) = - (-1 + 8 - 2) + (1 – 4 - 4) = - 5 – 7 = - 12
X =












127
4115
110
, det(X) = - 36
x =
)det(
)det(
A
X
=
12
36


= 3
Y =












171
4152
101
, det(Y) = 12
y =
)det(
)det(
A
Y
=
12
12

= - 1
Z =












721
1512
011
, det(Z) = 24
z =
)det(
)det(
A
Z
=
12
24

= - 2
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ ( 3 , - 1 , -2 )

6. 6
โจทย์ใบกิจกรรมที่ 3.1
คาสั่ง ให้นักเรียน ทาโจทย์คนละ 1 ข้อ เรียง ตามเลขที่ โดยเลขที่ 1 – 20 ทาข้อ 1 – 20
คนที่ 21 – 40 ทาข้อ 1 – 20 เรียงตามลาดับ แสดงวิธีทาในใบกิจกรรมที่ 1.1
จงหาจุดตัดกันของสมการเส้นตรง (จงแก้ระบบสมการ)
จงแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปรต่อไปนี้
1. x - y = 7
2x + y = 8
2. 3x + y = 12
x - y = 4
3. x + 3y = 9
2x - y = 4
4. 3x - 4y = 8
x + y = - 2
5. 3x + 4y = 16
9x + 7y = 13
6. x + 3 y = 10
x + 9y = 22
7. 3x - 4y = 0
3x + 4y = -24
1. 3x - y = 7
4x - 3y = 11
2. x + 7y = 8
3x + 2y = 5
10. 3x + 5y = - 2
2x + 15y = 22
11. x - 7y = 11
3x + 5y = 7
12. 4x + y = 5
2x - 3y = 13
13. 2x - y = 2
x + y = 4
14. 5x - 2y = 6
3x - y = 5
15. x - 2y = 6
2x + y = 7
16. x + 5y = 19
2x - y = 5
17. 2x + 3y = 12
3x - y = - 3
18. 3x - 4y = 18
2x + y = 1
19. 2x - y = 4
x + y = 5
20. 3x - y = 3
x + 2y = 8
2. จงแก้ระบบสมการ 3 ตัวแปรต่อไปนี้
1. 2x - y + z = 2
x + 2y - 3z = 11
3x + 4y - 2z = 4
2. 2x + 2y + z = 1
x - y + 6 z = 21
3x + 2y - z = 4

7. 7
ใบกิจกรรม 3.2 จุดตัดกันของสมการเส้นตรง
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 รหัสวิชา ค33201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ชื่อ………………………………..ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ……….เลขที่………………
จงหาจุดตัดกันของสมการ เส้นตรง L1 : ………………………………………….
เส้นตรง L2 : ………………………………………….
สมการ จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y
วิธีที่ 1 เขียนกราฟ
วิธีที่ 2 แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ( กาจัดตัวแปร X หรือกาจัดตัวแปร Y )
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………….……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………

8. 8
บทที่ 3
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
1. การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเพื่อศึกษาข้อมูลที่มีตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป เช่น รายได้และ
รายจ่าย ส่วนสูงและน้าหนัก ใช้ข้อมูลที่รวบรวมมาได้หาความสัมพันธ์ของตัวแปรในรูปสมการเชิงเส้นตรง เพื่อ
ทานายค่าของตัวแปรได้
1. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรงหรือความสัมพันธ์เชิงเส้น
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม (dependent variable) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (independent variable)
a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น Y = aX + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
ix
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
ix
1
2
+ b
n
i
ix
1
………………(2)
2. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟไม่เป็นเส้นตรง
2.1 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันอยู่ในรูปพาราโบลา
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ a , b และ c เป็นค่าคงที่
มีสมการเป็น Y = aX2
+ bX + c
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a
2
1

n
i
ix + b 
n
i
ix
1
+ cn ………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
ix
1
3
+ b
2
1

n
i
ix + c 
n
i
ix
1
………(2)

n
i
ii yx
1
2
= a 
n
i
ix
1
4
+ b
3
1

n
i
ix + c
2
1

n
i
ix ………(3)
2.2 ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันอยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล
มีสมการเป็น Y = abt
หรือ log Y = loga + t log b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
log = nloga + (logb) 
n
i
it
1
………………(1)

n
i
it
1
(log y) = (loga) 
n
i
it
1
+ (logb )
n
i
it
1
2
………………(2)
2. แผนภาพการกระจาย (Scatterplots)
ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลเชิงปริมาณที่ประกอบด้วยตัวแปรสองตัวจากข้อมูลที่มีอยู่
ทั้งหมด หรือจากตัวอย่างข้อมูลที่เลือกมาเป็นตัวแทนของข้อมูลที่มีอยู่ มีความจาเป็นที่จะต้องตรวจดูรูปแบบของ
ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นระหว่างตัวแปรทั้งสอง เพื่อที่จะนามาใช้ในการกาหนดความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่จะสร้างขึ้น
รูปแบบของความสัมพันธ์นี้พิจารณาได้จากกราฟที่สร้างจากข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดหรือข้อมูลที่เลือกมาเป็นตัวแทนของ
ข้อมูลที่มีอยู่ ซึ่งเรียกว่าแผนภาพการกระจาย เนื่องจากลักษณะการกระจายของข้อมูลไม่สามารถจัดเข้าในรูป
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันใดๆได้หรืออาจจะมีลักษณะของความสัมพันธ์ที่ใกล้เคียงกับรูปของความสัมพันธ์สองรูป
เช่น อาจจะอนุโลมให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเส้นตรง หรือเป็นเอกซ์โพเนนเชียลก็ได้ในกรณีนี้
ถ้าผู้สร้างความสัมพันธ์มีความชานาญเกี่ยวกับข้อมูลชนิดนั้นๆ อาจจะบอกได้ว่าควรสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
ในรูปแบบใด จึงจะเหมาะสมกับสิ่งที่ควรจะเป็นมากที่สุด สรุปได้ว่าการกาหนดรูปแบบของความสัมพันธ์ระหว่างตัว

9. 9
แปรเชิงปริมาณทั้งสองโดยพิจารณาจากแผนภาพการกระจาย (รูปที่ 1) จะขึ้นอยู่กับความรู้ความชานาญเกี่ยวกับเรื่อง
ที่นามาสร้างความสัมพันธ์ของผู้สร้างความสัมพันธ์นั้นและความละเอียดถูกต้องของค่าพยากรณ์ที่ต้องการเป็นสาคัญ
X
6543210
Y
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
.5
X
6543210
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
รูปที่ 1
3. การประมาณค่าของค่าคงตัวโดยใช้ระเบียบวิธีกาลังสองที่น้อยที่สุด
ในการหาค่าคงตัวที่ปรากฏอยู่ในสมการทั่วไปนั้นหาได้โดยอาศัยหลักที่ว่า ถ้าจะให้สมการของความสัมพันธ์
ที่เกิดขึ้นจริงได้ดีแล้ว ผลรวมของความแตกต่างระหว่างค่าที่ได้จากความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่สร้างขึ้นกับค่าที่เกิดขึ้น
จริงๆทุกค่าควรจะน้อยที่สุดเพื่อไม่ให้ผลรวมของความแตกต่างที่เกิดขึ้นเป็นศูนย์ จึงต้องยกกาลังสองของความ
แตกต่างที่เกิดขึ้นเสียก่อน แล้วจึงหาผลรวมของความแตกต่างที่เกิดขึ้น ถ้าผลรวมนี้น้อยที่สุดถือว่าความสัมพันธ์เชิง
ฟังก์ชันนั้นเหมาะสมจะใช้การประมาณค่าตัวแปรตามมากที่สุด วิธีดังกล่าวเรียกว่า
วิธีกาลังสองที่น้อยที่สุด กล่าวคือ
ถ้าให้ Yi เป็นค่าของตัวแปรหรือค่าจากการสังเกตที่เกิดขึ้นจริงตัวที่ i , i { 1, 2 , 3 , …,n}
Yˆ เป็นค่าของตัวแปรตาม Y ที่ได้จากความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรตาม Y กับ
ตัวแปรอิสระ X ที่ได้จากการแทนค่าตัวแปร X ด้วย Xi
ต้องการทาให้มี
2
1
)ˆ(

n
i
i YY ค่าน้อยที่สุด
(เมื่อ n เป็นจานวนตัวอย่างที่ใช้หรือจานวนข้อมูลทั้งหมดที่นามาสร้างความสัมพันธ์)
4. ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา คือ ข้อมูลที่แสดงความเปลี่ยนแปลงตามลาดับเวลาที่เกิดขึ้น ซึ่งความสัมพันธ์อยู่ใน
รูป y = f(t) โดยที่ t แทนเวลา เช่น วัน เดือน ปี พ.ศ. เป็นต้น
ซึ่ง t เป็นตัวแปรอิสระ แทนค่าของข้อมูล Y เป็นตัวแปรตาม
การกาหนดระยะเวลา (t)
ก. ถ้าจานวนระยะเวลา (t) ที่กาหนดให้เป็นจานวนคี่ *** ให้ระยะเวลาที่อยู่ตรงกลางเป็น 0 โดยเรียง
ตามลาดับก่อนหลังดังนี้ … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …
ข. ถ้าจานวนระยะเวลา (t) ที่กาหนดให้เป็นจานวนคู่ *** ให้ระยะเวลาที่อยู่คู่กลางเป็น
- 1 และ 1 โดยเรียงตามลาดับก่อนหลังดังนี้ … , - 5 , - 3 , - 1 , 1 , 3 , 5 , …

10. 10
ลักษณะของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในรูปอนุกรมเวลามี 2 แบบ
4.1 ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเส้นตรงหรือความสัมพันธ์เชิงเส้น
มีสมการเป็น Y = at + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
it
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yt
1
= a 
n
i
it
1
2
+ b 
n
i
it
1
………………(2)
4.2 ถ้าความสัมพันธ์อยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล
มีสมการเป็น Y = abt
หรือ log Y = loga + t log b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
log = nloga + (logb) 
n
i
it
1
………………(1)

n
i
it
1
(log y) = (loga) 
n
i
it
1
+ (logb )
n
i
it
1
2
………………(2)
5. การวิเคราะห์การถดถอย (ประกายรัตน์ สุวรรณ. 2548 : 278-279) กล่าวว่า
การวิเคราะห์การถดถอย (Regression Analysis) เป็นวิธีทางสถิติอย่างหนึ่งที่ใช้ตรวจสอบและสร้างรูปแบบ
ความสัมพันธ์ระหว่าง 2 ตัวแปร หรือมากกว่า โดยที่ตัวแปรหนึ่งเรียกว่า ตัวแปรตาม(Dependent variable) และ
ตัวแปรอื่นๆหรือมากกว่าหนึ่งตัว เรียกว่า ตัวแปรอิสระหรือตัวพยากรณ์ (Independent variable หรือ Predictor)
วัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์การถดถอย เพื่อที่จะอธิบายตัวแปรตามในรูปฟังก์ชันของตัวแปรอิสระกล่าวคือ
วิธีการหาสมการที่สามารถประมาณหรือพยากรณ์ตัวแปรตามจากตัวแปรอิสระ
ในการวิเคราะห์การถดถอย จะต้องทราบว่าตัวแปรใดเป็นตัวแปรตามและตัวแปรใดเป็นตัวแปรอิสระ
นอกจากนี้จะต้องกาหนดรูปแบบแบบความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตามและตัวแปรอิสระให้เหมาะสมกับ
ความสัมพันธ์ที่แท้จริง ในการพิจารณาความสัมพันธ์ของตัวแปรนั้นสามารถพิจารณาได้จากแผนภาพการกระจาย
(Scatterplots)
แผนภาพการกระจายเป็นการพิจารณาอย่างคร่าวๆ ว่าตัวแปรที่สนใจศึกษามีความสัมพันธ์กันหรือไม่ และมี
ความสัมพันธ์กันแบบใด เป็นเส้นตรง หรือเส้นโค้ง ซึ่งวิธีพิจารณา ก็คือนาข้อมูลมาเขียนแผนภาพการกระจาย หรือจุด
ของการกระจาย โดยให้แกนตั้งแทนตัวแปรตามและแกนนอนแทนด้วยตัวแปรอิสระ
LOGY
X
6420-2-4-6
1.2
1.1
1.0
.9
.8
Observed
Exponential
6. ตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรม สาเร็จรูป
ข้อตกลงในการใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
6.1 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรงหรือความสัมพันธ์เชิงเส้น
ถ้า ให้ b0 หรือ b1 = b แทน b ระยะตัดแกน Y และ
Constant หรือ b0 = a แทน ความชันของเส้นตรง
สมการเส้นตรงแทนสมการถดถอย
คือ สมการเส้นตรง Y = aX + b

11. 11
สมการถดถอย yˆ = b1X + b0
สมการปกติ คือ

n
i
iy
1
= b1 
n
i
ix
1
+ b0n ………………(1)

n
i
ii yx
1
= b1 
n
i
ix
1
2
+ b0 
n
i
ix
1
………………(2)
6.2 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันอยู่ในรูปพาราโบลา
ถ้า ให้ b0 , b1 และb2 เป็นค่าคงตัว
สมการพาราโบลาแทนสมการถดถอย คือ
สมการพาราโบลา Y = aX2
+ bX + c
สมการถดถอย yˆ = b2 X2
+ b1 X + b0
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= b2
2
1

n
i
ix + b1 
n
i
ix
1
+ b0 n ………(1)

n
i
ii yx
1
= b2 
n
i
ix
1
3
+ b1
2
1

n
i
ix + b0 
n
i
ix
1
………(2)

n
i
ii yx
1
2
= b2 
n
i
ix
1
4
+ b1
3
1

n
i
ix + b0
2
1

n
i
ix ………(3)
6.3 ถ้าความสัมพันธ์อยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล
ให้ log a และlog b เป็นค่าคงตัว
มีสมการเป็น Y = abt
หรือ log Y = loga + t log b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
log = nloga + (logb) 
n
i
it
1
………………(1)

n
i
it
1
(log y) = (loga) 
n
i
it
1
+ (logb )
n
i
it
1
2
………………(2)
ขั้นตอนการใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) x และ y หรือ (log y)

12. 12
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x และ y
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
5. จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimate

13. 13
เลือกให้ y เป็น dependent และ x เป็น independent
5.1 ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเส้นตรงเลือก Linear
6. คลิก OK มี Output ดังนี้
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
Y LIN 1.000 3 . . -2.0000 2.0000
สมการประมาณค่า คือ Yˆ = 2 Xˆ - 2
5.2 ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟพาราโบลา และเลือก Models เป็น Quadratic
คลิก OK มี Output ดังนี้
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1 b2
Y QUA .960 1 12.00 .200 -1.5000 5.4000 -1.0000
สมการประมาณค่า คือ Yˆ = - 2ˆX + 5.4 Xˆ - 1.5

14. 14
5.3 ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเอกซ์โพเนนเชียล
ให้ log y เป็น dependent และ x เป็น independent และเลือก Models เป็น Exponential
คลิก OK มี Output ดังนี้
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
LOGY EXP .947 3 53.81 .005 1.0083 .1507
สมการประมาณค่า คือ log Y = 0.1507X + 1.0083
ใบความรู้ที่ 2.2
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นกราฟเส้นตรงหรือความสัมพันธ์เชิงเส้น
ก. เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น Y = aX + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
ix
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
ix
1
2
+ b 
n
i
ix
1
………………(2)
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณปุ๋ ย (กิโลกรัมต่อไร่)
กับผลผลิต (กิโลกรัมต่อไร่)
ปริมาณปุ๋ ย(กิโลกรัมต่อไร่): X 1 2 3 4 5
ผลผลิต (กิโลกรัมต่อไร่) : Y 8 9 10 12 15
จงใช้กระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้กลวิธีSTARประมาณค่า
1. จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณปุ๋ ยและผลผลิตและประมาณค่า
2. ถ้าปริมาณปุ๋ ยเท่ากับ 4.5 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วจะได้ผลผลิตเป็นเท่าไร
3. ถ้าผลผลิตเท่ากับ 100 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วจะต้องใช้ปริมาณปุ๋ ยเป็นเท่าไร

15. 15
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนดปริมาณปุ๋ ย ความสัมพันธ์ระหว่าง (กิโลกรัมต่อไร่) กับ
ผลผลิต (กิโลกรัมต่อไร่) ถ้าปริมาณปุ๋ ยเท่ากับ 4.5 กิโลกรัมต่อไร่( บอกค่า x )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จะได้ผลผลิตเป็นเท่าไร (หาค่า y )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ a และ b
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจายและกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
X
6543210
Y
16
14
12
10
8
6
Y
X
6543210
16
14
12
10
8
6
Observed
Linear
ตารางที่ 2.2 ก
xi yi xi
2
yi
2
xi yi
1 8 1 64 8
2 9 4 81 18
3 10 9 100 30
4 12 16 144 48
5 15 25 225 75

5
1i
ix = 15 
5
1i
iy = 54 
5
1
2
i
ix = 55 
5
1
2
i
iy = 614 
5
1i
ii yx = 179
1. จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณปุ๋ ยและผลผลิตและประมาณค่า
จากแผนภาพการกระจาย เป็นความสัมพันธ์ชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม (dependent variables) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (independent variables)
a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น Y = aX + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
ix
1
+ bn

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
ix
1
2
+ b
n
i
ix
1
แทนค่าในสมการปกติ 54 = 15a + 5b ………………(1)
179 = 55a + 15b ………………(2)

16. 16
(1) 3 ; 162 = 45a + 15b ………………(3)
(2) – (3) ; 17 = 10a
1.7 = a
แทนค่า a = 1.7 ในสมการที่ (1)
54 = 15(1.7) + 5b
54 = 25.5 + 5b
28.5 = 5b
5.7 = b
ดังนั้นสมการประมาณค่าคือ Yˆ = 1.7 Xˆ + 5.7 *
2. ถ้าปริมาณปุ๋ ยเท่ากับ 4.5 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วจะได้ผลผลิตเป็นเท่าไร
ค่า x = 4.5
Yˆ = 1.7 (4.5) + 5.7
= 13.35
ดังนั้น ถ้าปริมาณปุ๋ ยเท่ากับ 4.5 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วจะได้ผลผลิตเท่ากับ 13.35 กิโลกรัมต่อไร่
* ชุดกิจกรรมเล่มนี้จะใช้ Xˆ และ Yˆ ในสมการที่ใช้พยากรณ์หรือประมาณค่า
(อ้างถึงใน หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้ เพิ่มเติมคณิตศาสตร์เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษา
ปีที่ 6 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 หน้า 124 )
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
ขั้นตอนการใช้โปรแกรม
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) x และ y
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x และ y
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimate
เลือกให้ y เป็น dependent และ x เป็น independent
และเลือก Linear

17. 17
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้
Independent: X
Dependent Ath Rsq d.f. F Sigf b0 b1
Y LIN .938 3 45.63 .007 5.7000 1.7000
จากตารางการวิเคราะห์ข้อมูลด้วยโปรแกรมสาเร็จรูป
จะได้ค่า a = b1 = 1.7000
b = b0 = 5.7000
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบตรงกัน
ใบความรู้ที่ 2.3
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเส้นตรง
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเส้นตรงหรือความสัมพันธ์เชิงเส้น
2.3 เมื่อ x เป็นตัวแปรตาม และ y เป็นตัวแปรอิสระ a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น X = aY + b
สมการปกติคือ 
n
i
ix
1
= a 
n
i
iy
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
iy
1
2
+ b 
n
i
iy
1
………………(2)
ตัวอย่างที่ 2.3 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณปุ๋ ย (กิโลกรัมต่อไร่) กับ ผลผลิต (กิโลกรัมต่อไร่)
ปริมาณปุ๋ ย(กิโลกรัมต่อไร่): X 1 2 3 4 5
ผลผลิต (กิโลกรัมต่อไร่) : Y 8 9 10 12 15
จงใช้กระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้กลวิธีSTARประมาณค่า
ถ้าผลผลิตเท่ากับ 100 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วจะต้องใช้ปริมาณปุ๋ ยเป็นเท่าไร
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด ความสัมพันธ์ระหว่าง ปริมาณปุ๋ ย(กิโลกรัมต่อไร่) กับ
ผลผลิต (กิโลกรัมต่อไร่) ถ้าผลผลิตเท่ากับ 100 กิโลกรัมต่อไร่ ( บอกค่า y )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จะต้องใช้ปริมาณปุ๋ ยเป็นเท่าไร (ถามค่า x )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ a และ b

18. 18
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจาย และกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
Y
1614121086
X
6
5
4
3
2
1
0
X
Y
1614121086
6
5
4
3
2
1
0
Observed
Linear
ตารางที่ 2.3 ก
xi yi xi
2
yi
2
xi yi
1 8 1 64 8
2 9 4 81 18
3 10 9 100 30
4 12 16 144 48
5 15 25 225 75

5
1i
ix = 15 
5
1i
iy = 54 
5
1
2
i
ix = 55 
5
1
2
i
iy = 614 
5
1i
ii yx = 179
1. ถ้าผลผลิตเท่ากับ 100 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วจะต้องใช้ปริมาณปุ๋ ยเป็นเท่าไร
จากแผนภาพการกระจาย เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง
เมื่อ x เป็นตัวแปรตาม และ y เป็นตัวแปรอิสระ a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น X = aY + b
สมการปกติคือ 
n
i
ix
1
= a 
n
i
iy
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
iy
1
2
+ b 
n
i
iy
1
………………(2)
แทนค่าในสมการปกติ 15 = 54a + 5b ………………(1)
179 = 614a + 54b ………………(2)
(1) 10.8 ; 162 = 583.2a + 54b ………………(3)
(2) – (3) ; 17 = 30.8a
0.55 = a
แทนค่า a = 0.55 ในสมการที่ (1)

19. 19
15 = 54(0.55) + 5b
15 = 29.7 + 5b
- 14.7 = 5b
- 2.94 = b
ดังนั้นสมการประมาณค่าคือ Xˆ = 0.55Yˆ - 2.94
ถ้าผลผลิตเท่ากับ 100 กิโลกรัมต่อไร่ ค่า y = 100
Xˆ = 0.55(100) - 2.94
= 55 – 2.94 = 52.06
ดังนั้น ถ้าผลผลิตเท่ากับ 100 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วจะต้องใช้ปริมาณปุ๋ ยเท่ากับ 52.06 กิโลกรัมต่อไร่
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
ขั้นตอนการใช้โปรแกรม
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) x และ y
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x และ y
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimate
เลือกให้ x เป็น dependent และ y เป็น independent และเลือก Linear
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้
Independent: Y
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
X LIN .938 3 45.63 .007 -2.9610 .5519
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบตรงกัน

20. 20
2.4 การประมาณค่าของค่าคงตัวโดยใช้ระเบียบวิธีกาลังสองที่น้อยที่สุด
ในการหาค่าคงตัวที่ปรากฏอยู่ในสมการทั่วไปนั้นหาได้โดยอาศัยหลักที่ว่า ถ้าจะให้สมการของความสัมพันธ์
ที่เกิดขึ้นจริงได้ดีแล้ว ผลรวมของความแตกต่างระหว่างค่าที่ได้จากความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่สร้างขึ้นกับค่าที่เกิดขึ้น
จริงๆทุกค่าควรจะน้อยที่สุดเพื่อไม่ให้ผลรวมของความแตกต่างที่เกิดขึ้นเป็นศูนย์ จึงต้องยกกาลังสองของความ
แตกต่างที่เกิดขึ้นเสียก่อน แล้วจึงหาผลรวมของความแตกต่างที่เกิดขึ้น ถ้าผลรวมนี้น้อยที่สุดถือว่าความสัมพันธ์เชิง
ฟังก์ชันนั้นเหมาะสมจะใช้การประมาณค่าตัวแปรตามมากที่สุด วิธีดังกล่าวเรียกว่า วิธีกาลังสองที่น้อยที่สุด กล่าวคือ
ถ้าให้ Yi เป็นค่าของตัวแปรหรือค่าจากการสังเกตที่เกิดขึ้นจริงตัวที่ i , i { 1, 2 , 3 , …,n}
Yˆ เป็นค่าของตัวแปรตาม Y ที่ได้จากความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรตาม Y กับ
ตัวแปรอิสระ X ที่ได้จากการแทนค่าตัวแปร X ด้วย Xi
ต้องการทาให้มี
2
1
)ˆ(

n
i
i YY ค่าน้อยที่สุด
(เมื่อ n เป็นจานวนตัวอย่างที่ใช้หรือจานวนข้อมูลทั้งหมดที่นามาสร้างความสัมพันธ์)
จากตัวอย่างในใบความรู้ที่ 2.2 พิจารณาค่าของ Y และ Yˆ
ตาราง 2.4 ก
X Y Yˆ = 1.7x + 5.7 Y - Yˆ (Y - Yˆ )2
1 8 1.7(1) + 5.7 = 7.4 8 – 7.4 = 0.6 0.36
2 9 1.7(2) + 5.7 = 9.1 9 – 9.1 = - 0.1 0.01
3 10 1.7(3) + 5.7 = 10.8 10 – 10.8 = - 0.8 0.64
4 12 1.7(4) + 5.7 = 12.5 12 – 12.5 = - 0.5 0.25
5 15 1.7(5) + 5.7 = 14.2 15 – 14.2 = 0.8 0.64

5
1i
ix = 15 
5
1i
iy = 54 - 

5
1
)ˆ(
i
i YY = 0
25
1
)ˆ(

i
i YY = 1.9
ลักษณะของเส้นตรงดังกล่าวต้องเป็นไปตามเงื่อนไข 3 ประการ ดังนี้
1. 

n
i
i YY
1
)ˆ( = 0
2.
2n
1i
i
)YˆY( 

มีค่าน้อยที่สุด
3. (x , y ) ต้องเป็นจุดอยู่บนเส้นตรง Y = aX + b ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงที่สร้างขึ้นมาเป็นตัวแทนของ
ข้อมูลนั้นคือ y = ax + b จะได้
x =
5
15
= 3 , y =
5
54
= 10.8 , a = 1.7 , b = 5.7
ดังนั้น y = a x + b
10.8 = 1.7(3) + 5.7
= 5.1 + 5.7
10.8 = 10.8 เป็นจริง

21. 21
แบบฝึกทักษะเพิ่มเติม
ตารางต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y
X 2 3 5 7 9 10
Y 1 3 7 11 15 17
1. จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
2. จงประมาณค่า Y เมื่อ X = 5
วิธีทา
1. จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
Y
X
121086420
20
10
0
Observed
Linear
จากแผนภาพการกระจาย เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม (dependent variables) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (independent variables)
a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น Y = aX + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
ix
1
+ bn

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
ix
1
2
+ b
n
i
ix
1
54 = 36a + 6b ……………(1)
428 = 268a + 36b ……………(2)
(1) 6 324 = 216a + 36b ……………(3)

22. 22
(2) - (3) 104 = 52a
a = 2
แทนค่า a = 2 ในสมการที่ 1
54 = 36(2) + 6b
54 = 72 + 6b
-18 = 6b
- 3 = b
สมการประมาณค่าคือ
2. จงประมาณค่า Y เมื่อ X = 5
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
Y LIN 1.000 4 . . -3.0000 2.0000
3.1 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นพาราโบลา
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นพาราโบลา
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ a , b และ c เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น Y = aX2
+ bX + c
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
ix
1
2
+ b 
n
i
ix
1
+ cn ………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
ix
1
3
+ b 
n
i
ix
1
2
+ c 
n
i
ix
1
………(2)

n
i
ii yx
1
2
= a 
n
i
ix
1
4
+ b 
n
i
ix
1
3
+ c
n
i
ix
1
2
………(3)
ตัวอย่างที่ 3.1 จากการศึกษาถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกัน
ในการรักษาโรค
อายุ(เดือน) : X 1 2 3 4
ปริมาณยา(มิลลิกรัม) : Y 4 3 2 3
จงใช้กระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้กลวิธีSTARประมาณค่า
1) จงหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกันในการรักษาโรค
2) จงทานายปริมาณยาที่ใช้สาหรับทารกที่มีอายุ 5.5 เดือน
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกันในการ
รักษาโรค และทารกที่มีอายุ 5.5 เดือน ( บอกค่า x = 5.5 เดือน )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงทานายปริมาณยา (หาค่า y )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย

23. 23
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ a , b และ c
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจายและกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
X
4.54.03.53.02.52.01.51.0.5
Y
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
Y
X
4.54.03.53.02.52.01.51.0.5
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
Observed
Quadratic
ตารางที่ 3.1 ก
xi yi xi
2
xi
3
xi
4
xi yi xi
2
yi
1 4 1 1 1 4 4
2 3 4 8 16 6 12
3 2 9 27 81 8 18
4 3 16 64 256 12 18

5
1i
ix = 10 
5
1i
iy =12 
5
1
2
i
ix = 30 
5
1
3
i
ix = 100 
5
1
4
i
ix = 354 
5
1i
ii yx =28 
5
1
2
i
ii yx =82
จงทานายปริมาณยาที่ใช้สาหรับทารกที่มีอายุ 5.5 เดือน
จากแผนภาพการกระจาย เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟที่เป็นรูปพาราโบลา
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ a , b และ c เป็นค่าคงตัวที่ตองการหา
มีสมการเป็น Y = aX2
+ bX + c
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
ix
1
2
+ b 
n
i
ix
1
+ cn ………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
ix
1
3
+ b 
n
i
ix
1
2
+ c 
n
i
ix
1
………(2)

n
i
ii yx
1
2
= a 
n
i
ix
1
4
+ b 
n
i
ix
1
3
+ c
n
i
ix
1
2
………(3)
แทนค่าในสมการปกติ
12 = 30a + 10b + 4c ………………(1)
28 = 100a + 30b + 10c ………………(2)
82 = 354a + 100b + 30c ………………(3)
แก้สมการหาค่าของ a = 0.5 , b = - 2.9 , c = 6.5
ดังนั้นสมการประมาณค่าคือ Yˆ = 0.5 2ˆX – 2.9 Xˆ + 6.5
จงทานายปริมาณยาที่ใช้สาหรับทารกที่มีอายุ 5.5 เดือน (x = 5.5 )
Yˆ = 0.5(5.5)2
– 2.9(5.5) + 6.5

24. 24
= 0.5(30.25) – 15.95 + 6.5
= 5.675
ดังนั้น ทารกที่มีอายุ 5.5 เดือน ต้องใช้ปริมาณยา 5.675 มิลลิกรัม
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
ขั้นตอนการใช้โปรแกรม
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) x และ y
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x และ y
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimate
เลือกให้ y เป็น dependent และ x เป็น independent
และเลือก Quadratic
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้
Independent: X
Dependent Ath Rsq d.f. F Sigf b0 b1 b2
Y QUA .900 1 4.50 .316 6.5000 -2.9000 .5000
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบตรงกัน
3.2 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในรูปพาราโบลา (ต่อ)
เมื่อ x เป็นตัวแปรตาม และ y เป็นตัวแปรอิสระ a , b และ c เป็นค่าคงที่
มีสมการเป็น X = aY2
+ bY + c
สมการปกติคือ 
n
i
ix
1
= a 
n
i
iy
1
2
+ b 
n
i
iy
1
+ cn ………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
iy
1
3
+ b 
n
i
iy
1
2
+ c 
n
i
iy
1
………(2)

n
i
ii yx
1
2
= a 
n
i
y
1
4
+ b
n
i
iy
1
3
+ c
n
i
iy
1
2
………(3)

25. 25
ตัวอย่างที่ 3.2 จากการศึกษาถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกัน
ในการรักษาโรค
อายุ(เดือน) : X 1 2 3 4
ปริมาณยา(มิลลิกรัม) : Y 4 3 2 3
จงใช้กระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้กลวิธีSTARประมาณค่า
1) จงหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกันในการรักษาโรค
2) จงทานายปริมาณยา 2.5 มิลลิกรัมใช้สาหรับทารกที่มีอายุกี่เดือน
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสาหรับทารกที่มีอายุ
ต่างๆกันในการรักษาโรค
1.2 จงทานายปริมาณยา 2.5 มิลลิกรัม ( บอกค่า y = 2.5 มิลลิกรัม )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงทานายปริมาณยา 2.5 มิลลิกรัม ใช้สาหรับอายุทารกที่มี
อายุกี่เดือน (หาค่า x )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ a , b และ c
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจายและกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
Y
4.54.03.53.02.52.01.5
X
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
.5
X
Y
4.54.03.53.02.52.01.5
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
.5
Observed
Quadratic
ตารางที่ 3.2 ก
xi yi yi
2
yi
3
yi
4
xi yi xi yi
2
1 4 16 64 256 4 16
2 3 9 27 81 6 18
3 2 4 8 16 8 12
4 3 9 27 81 12 36

5
1i
ix = 10 
5
1i
iy =12 
5
1
2
i
ix = 38 
5
1
3
i
ix = 126 
5
1
4
i
ix = 434 
5
1i
ii yx =28 
5
1
2
i
ii yx =82
1) ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกันในการรักษาโรค
จากแผนภาพการกระจาย เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นรูปพาราโบลา

26. 26
เมื่อ x เป็นตัวแปรตาม และ y เป็นตัวแปรอิสระ a , b และ c เป็นค่าคงที่
มีสมการเป็น X = aY2
+ bY + c
สมการปกติคือ 
n
i
ix
1
= a 
n
i
iy
1
2
+ b 
n
i
iy
1
+ cn ………(1)

n
i
ii yx
1
= a 
n
i
iy
1
3
+ b 
n
i
iy
1
2
+ c 
n
i
iy
1
………(2)

n
i
ii yx
1
2
= a 
n
i
y
1
4
+ b
n
i
iy
1
3
+ c
n
i
iy
1
2
………(3)
แทนค่าในสมการปกติ
10 = 38a + 12b + 4c ………………(1)
28 = 126a + 38b + 12c ………………(2)
82 = 434a + 126b + 38c ………………(3)
แก้สมการหาค่าของ a = - 1 , b = 5 , c = - 3
ดังนั้นสมการประมาณค่าคือ Xˆ = - Yˆ 2
+ 5Yˆ - 3
จงทานายปริมาณยา 2.5 มิลลิกรัม (y = 2.5 ) ที่ใช้สาหรับทารกที่มีอายุกี่เดือน
Xˆ = - Yˆ 2
+ 5Yˆ - 3
= - (2.5)2
+ 5(2.5) - 3
= - 6.25 + 12.5 – 3
= 3.25
ดังนั้น ปริมาณยา 2.5 มิลลิกรัม ใช้สาหรับทารกที่มีอายุ 3.25 เดือน
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
ขั้นตอนการใช้โปรแกรม
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) x และ y
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x และ y
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimate
เลือกให้ x เป็น dependent และ y เป็น independent
และเลือก Quadratic
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้

27. 27
Independent: Y
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1 b2
X QUA .600 1 .75 .632 -3.0000 5.0000 -1.0000
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบตรงกัน
4.1 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
4.1 ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา (time series) คือ ข้อมูลที่แสดงความเปลี่ยนแปลงตามลาดับเวลาที่เกิดขึ้น
ก่อนหลังของช่วงเวลาที่ข้อมูลชุดนั้นเกิดขึ้น ซึ่งปกติแล้วข้อมูลนั้นๆมักจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาเท่าๆกัน เช่น ปริมาณ
ข้าวที่ประเทศไทยผลิตได้ในแต่ละปี จานวนเงินที่ร้านค่าแห่งหนึ่งขายได้ในแต่ละเดือน หรืออุณหภูมิเฉลี่ยในแต่ละ
วันของจังหวัดกาญจนบุรี แล้วข้อมูลนั้นๆจะปกติความสัมพันธ์อยู่ในรูป Y = f(t)
โดยที่ t แทนเวลา เช่น วัน เดือน ปี พ.ศ. เป็นต้น
เมื่อ t เป็นตัวแปรอิสระ และ Y เป็นตัวแปรตาม
การกาหนดระยะเวลา (t)
ก. ถ้าจานวนระยะเวลา (t) ที่กาหนดให้เป็นจานวนคี่ *** ให้ระยะเวลาที่อยู่ตรงกลางเป็น 0 โดยเรียง
ตามลาดับก่อนหลังดังนี้ … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …
การสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลกราฟเป็นรูปเส้นตรง
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ t เป็นตัวแปรอิสระ a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น Y = at + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
it
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yt
1
= a 
n
i
it
1
2
+ b 
n
i
it
1
………………(2)
ข้อสังเกต 
n
i
it
1
= 0
จาก สมการ(1) จะได้ b =
n
y
n
i
i1
จาก สมการ(2) จะได้ a =




n
i
i
n
i
ii
t
yt
1
2
1

28. 28
ตัวอย่างที่ 4.1 มูลค่าอุตสาหกรรมสิ่งทอการส่งออกที่ประเทศไทยส่งออกไปขายยังต่างประเทศ
มีความสัมพันธ์กับเวลาในรูปเส้นตรง ระหว่าง ปี 2550 – 2554 ดังนี้
ปี พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554
มูลค่า (ล้านบาท) 6 8 12 15 19
จงใช้ประบวนการแก้ปัญหาของโพลยาประมาณค่า
1. จงหาสมการเพื่อใช้ประมาณมูลค่าการส่งออกในเวลาต่างๆ
2. จงประมาณมูลค่าการส่งออกในปี พ.ศ. 2562
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด มูลค่าอุตสาหกรรมสิ่งทอการส่งออกที่ประเทศไทยส่งออกไปขายยังต่างประเทศมี
ความสัมพันธ์กับเวลา( บอกค่า t )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงประมาณมูลค่าการส่งออกในปี พ.ศ. 2558 (หาค่า y )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ a และ b
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจายและกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
T
3210-1-2-3
Y
20
18
16
14
12
10
8
6
4
Y
T
3210-1-2-3
20
18
16
14
12
10
8
6
4
Observed
Linear
ตาราง 4.1 ก
ปี พ.ศ. มูลค่า (y ) t t2
ty
2550 6 - 2 4 - 12
2551 8 - 1 1 - 8
2552 12 0 0 0
2553 15 1 1 15
2554 19 2 4 38
รวม y = 60 t = 0  2
t = 10 ty = 33
ความสัมพันธ์อยู่ในรูปเส้นตรง
สมการ Y = at + b

29. 29
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
it
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yt
1
= a 
n
i
it
1
2
+ b 
n
i
it
1
………………(2)
แทนค่า 60 = 0 + 5 b ………………..(1)
33 = 10 a + 0 …………………(2)
จาก (1) b =
5
60
= 12
จาก (2) a =
10
33
= 3.3
ดังนั้นสมการที่ใช้ประมาณคือ Y = 3.3 t + 12
2. จงประมาณมูลค่าการส่งออกในปี พ.ศ. 2562 ( t = 10 )
แทนค่า t = 10 ในสมการประมาณค่า
Y = 3.3 (10 ) + 12
= 33 + 12 = 45
ดังนั้น มูลค่าการส่งออกในปี พ.ศ. 2562 เท่ากับ 45 ล้านบาท
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
ขั้นตอนการใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimate
เลือกให้ y เป็น dependent และ t เป็น independent
Models และเลือก Linear
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้
Independent: T
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
Y LIN .990 3 297.00 .000 12.0000 3.3000
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบตรงกัน

30. 30
4.2 ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเส้นตรง
การกาหนดระยะเวลา (t)
ถ้าจานวนระยะเวลา (t) ที่กาหนดให้เป็นจานวนคู่ *** ให้ระยะเวลาที่อยู่คู่กลางเป็น
- 1 และ 1 โดยเรียงตามลาดับก่อนหลังดังนี้ … , - 5 , - 3 , - 1 , 1 , 3 , 5 , …
การสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลกราฟเป็นรูปเส้นตรง
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ t เป็นตัวแปรอิสระ a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
มีสมการเป็น Y = at + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
it
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yt
1
= a 
n
i
it
1
2
+ b 
n
i
it
1
………………(2)
ข้อสังเกต 
n
i
it
1
= 0
จาก สมการ(1) จะได้ b =
n
y
n
i
i1
จาก สมการ(2) จะได้ a =




n
i
i
n
i
ii
t
yt
1
2
1
ตัวอย่างที่ 4.2 จานวนสินค้าที่โรงงานแห่งหนึ่งผลิตได้ความสัมพันธ์กับเวลาในรูปเส้นตรง
ระหว่าง ปี พ.ศ. 2552 – 2557
ปี พ.ศ. 2552 2553 2554 2555 2556 2557
จานวนสินค้า(ร้อยชิ้น) 170 184 200 210 216 220
จงใช้ประบวนการแก้ปัญหาของโพลยาประมาณค่า
1. จงหาสมการเพื่อใช้ประมาณจานวนสินค้าที่โรงงานอุตสาหกรรมแห่งนี้ผลิตได้ในเวลาต่างๆ
2. จงประมาณจานวนสินค้าที่โรงงานอุตสาหกรรมแห่งนี้ผลิตได้ในปี พ.ศ. 2559
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด จานวนสินค้าที่โรงงานแห่งหนึ่งผลิตได้ความสัมพันธ์กับเวลา
( บอกค่า t )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงประมาณจานวนสินค้าที่โรงงานอุตสาหกรรมแห่งนี้ผลิตได้ในปี
พ.ศ. 2559 (หาค่า y )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ a และ b

31. 31
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจายและกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
T
6420-2-4-6
Y
230
220
210
200
190
180
170
160
Y
T
6420-2-4-6
230
220
210
200
190
180
170
160
Observed
Linear
ตาราง 4.2 ก
ปี พ.ศ. จานวนสินค้า (Y) t t2
tY
2552 170 - 5 25 - 850
2553 184 - 3 9 - 552
2554 200 - 1 1 - 200
2555 210 1 1 210
2556 216 3 9 648
2557 220 5 25 1100
รวม Y = 1200 t = 0  2
t = 70 tY = 356
จากแผนภาพการกระจายความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลอยู่ในรูปเส้นตรง
เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ t เป็นตัวแปรอิสระ a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา
สมการคือ Y = at + b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
= a 
n
i
it
1
+ bn ………………(1)

n
i
ii yt
1
= a 
n
i
it
1
2
+ b 
n
i
it
1
………………(2)
แทนค่า 1200 = 0 + 6 b ………………..(1)
356 = 70 a + 0 …………………(2)
จาก (1) b =
6
1200
= 200
จาก (2) a =
70
356
= 5.09
ดังนั้นสมการที่ใช้ประมาณคือ Y = 5.09 t + 200
2. จงประมาณจานวนสินค้าที่ผลิตได้ในปี พ.ศ. 2559 ( t = 9 )
แทนค่า t = 9 ในสมการทานาย
Y = 5.09 (9 ) + 200
= 45.81 + 200 = 245.81 ร้อยชิ้น
ดังนั้น จานวนสินค้าที่ผลิตได้ในปี พ.ศ. 2559 เท่ากับ 24,581 ชิ้น

32. 32
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้
Independent: T
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
Y LIN .947 4 71.36 .001 200.000 5.0857
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบตรงกัน
5.1 ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นรูปเอกซ์โพเนนเชียล
ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา คือ ข้อมูลที่แสดงความเปลี่ยนแปลงตามลาดับเวลาที่เกิดขึ้น ซึ่งความสัมพันธ์อยู่ในรูป
y = f(t) โดยที่ t แทนเวลา เช่น วัน เดือน ปี พ.ศ. เป็นต้น
เมื่อ t เป็นตัวแปรอิสระ แทนค่าของข้อมูล Y เป็นตัวแปรตาม
การกาหนดระยะเวลา (t)
ก. ถ้าจานวนระยะเวลา (t) ที่กาหนดให้เป็นจานวนคี่ *** ให้ระยะเวลาที่อยู่ตรงกลางเป็น 0
โดยเรียงตามลาดับก่อนหลังดังนี้ … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …
ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นรูปเอกซ์โพเนนเชียล
ให้ log a และlog b เป็นค่าคงตัว
มีสมการเป็น Y = abt
หรือ log Y = loga + t log b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
log = nloga + (logb) 
n
i
it
1
………………(1)

n
i
it
1
(log y) = (loga) 
n
i
it
1
+ (logb )
n
i
it
1
2
………………(2)
ข้อสังเกต 
n
i
it
1
= 0

33. 33
จาก สมการ(1) จะได้ log a =
n
y
n
i
i1
log
จาก สมการ(2) จะได้ log b =




n
i
i
n
i
ii
t
yt
1
2
1
)(log
ตัวอย่างที่ 5.1 จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของจานวนประชากรโดยประมาณของประเทศไทย
จากข้อมูลระหว่าง ปี พ.ศ. 2551 – 2555 ดังนี้
ปี พ.ศ. 2551 2552 2553 2554 2555
จานวนประชากร (ล้านคน) 63.3 63.5 63.8 64 64.4
ที่มา http://www.th.wikipedia.org/. ข้อมูลจาก กรมการปกครอง กระทรวงมหาดไทย.
จงใช้กระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้กลวิธีSTARประมาณค่า
1. จงหาสมการเพื่อใช้ประมาณประชากรในเวลาต่างๆ
2. จงประมาณประชากรของประเทศไทยในปี พ.ศ. 2565
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด จานวนประชากรโดยประมาณของประเทศไทย จากข้อมูลระหว่าง
ปี พ.ศ. 2551 – 2555 ( บอกค่า t )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงประมาณประชากรของประเทศไทยในปี พ.ศ. 2565
(หาค่า y )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ log a และ log b
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจายและกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
T
3210-1-2-3
LOGY
1.800
1.798
1.796
1.794
1.792
1.790
1.788
LOGY
T
3210-1-2-3
1.800
1.798
1.796
1.794
1.792
1.790
1.788
1.786
Observed
Linear

34. 34
ตารางที่ 5.1 ก
ปี พ.ศ. จานวนประชากร (y ) log yi t t^2 t logyi
2551 63.8 1.8014 -2 4 -3.6028
2552 63.5 1.8028 -1 1 -1.8028
2553 63.8 1.8048 0 0 0
2554 64 1.8062 1 1 1.8062
2555 64.4 1.8089 2 4 3.6178
รวม - 9.0241 0 10 0.0184
1. จงหาสมการเพื่อใช้ประมาณประชากรในเวลาต่างๆ
ความสัมพันธ์อยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล
มีสมการเป็น Y = abt
หรือ log Y = loga + t log b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
log = nloga + (logb) 
n
i
it
1
………………(1)

n
i
it
1
(log y) = (loga) 
n
i
it
1
+ (logb )
n
i
it
1
2
………………(2)
แทนค่า 9.0241 = 5log a ………………..(1)
-1.9816 = 10 log b …………………(2)
จาก (1) log a =
5
02149.
= 1.8048
จาก (2) log b =
10
01840.
= 0.0018
ดังนั้นสมการที่ใช้ประมาณคือ log Y = loga + t log b = 1.8048 + = 0.0018 t
2. จงประมาณจานวนประชากรในปี พ.ศ. 2565 ( t = 12 )
ดังนั้นสมการที่ใช้ประมาณคือ log Y = loga + t log b
= 1.8048 + 0.0018 (12)
= 1.8048 + 0.0216 = 1.8264
log Y = 1 + 0.8264
( การประมาณค่าของแอนตี้ลอกฯ log 6.705  0.8264 )
log Y = log 10 + log 6.705
antilog Y = 6.705 10 = 67.05
ดังนั้น จานวนประชากรในปี พ.ศ. 2565 เท่ากับ 67.05 ล้านคน
การประมาณค่าของลอก (log M )
log 6.7 = 0.8261
log M = 0.8264
log 6.71 = 0.8267
ใช้อัตราส่วน
76716
76
..
.M


=
8261082670
8261082640
..
..



35. 35
010
76
.
.M
=
00060
00030
.
.
M - 6.7 =
00060
00030
.
.
010.  0.005
M  6.7 + 0.005  6.705
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
ขั้นตอนการใช้โปรแกรม
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) t และ log y
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง t และ log y
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimation
เลือกให้ log y เป็น dependent และ t เป็น independent และเลือก Exponential ดังรูป
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้
Independent: T
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
LOGY EXP .986 3 217.19 .001 1.8048 .0010
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบใกล้เคียงกัน เพราะเป็นค่าประมาณของลอกการิทึม
5.2 ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นรูปเอกซ์โพเนนเชียล
ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา คือ ข้อมูลที่แสดงความเปลี่ยนแปลงตามลาดับเวลาที่เกิดขึ้น ซึ่งความสัมพันธ์อยู่ในรูป
y = f(t) โดยที่ t แทนเวลา เช่น วัน เดือน ปี พ.ศ. เป็นต้น
ซึ่ง t เป็นตัวแปรอิสระ แทนค่าของข้อมูล Y เป็นตัวแปรตาม
การกาหนดระยะเวลา (t)
ข. ถ้าจานวนระยะเวลา (t) ที่กาหนดให้เป็นจานวนคู่ *** ให้ระยะเวลาที่อยู่คู่กลางเป็น - 1 และ 1 โดยเรียง
ตามลาดับก่อนหลังดังนี้ … , - 5 , - 3 , - 1 , 1 , 3 , 5 , …
ถ้าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นรูปเอกซ์โพเนนเชียล
ให้ log a และlog b เป็นค่าคงตัว
มีสมการเป็น Y = abt
หรือ log Y = loga + t log b

36. 36
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
log = nloga + (logb) 
n
i
it
1
………………(1)

n
i
it
1
(log y) = (loga) 
n
i
it
1
+ (logb )
n
i
it
1
2
………………(2)
ข้อสังเกต 
n
i
it
1
= 0
จาก สมการ(1) จะได้ log a =
n
y
n
i
i1
log
จาก สมการ(2) จะได้ log b =




n
i
i
n
i
ii
t
yt
1
2
1
)(log
ตัวอย่างที่ 5.2 จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของจานวนประชากรโดยประมาณของจังหวัดอุตรดิตถ์
จากข้อมูลระหว่าง ปี พ.ศ. 2545 – 2554 ดังนี้
ปี พ.ศ. 2545 2546 2547 2548 2549 2550 2551 2552 2553 2554
จานวนประชากร (แสนคน) 4.85 4.82 4.7 4.69 4.67 4.65 4.64 4.63 4.62 4.61
ที่มา http://www.th.wikipedia.org/. ข้อมูลจาก กรมการปกครอง กระทรวงมหาดไทย.
1. จงหาสมการเพื่อใช้ประมาณประชากรในเวลาต่างๆ
2. จงประมาณประมาณประชากรของจังหวัดอุตรดิตถ์ในปี พ.ศ. 2560
ขั้นที่ 1 S(Search) ศึกษาโจทย์ปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด จานวนประชากรโดยประมาณของจังหวัดอุตรดิตถ์
จากข้อมูลระหว่าง ปี พ.ศ. 2545 – 2554 ( บอกค่า t )
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร ในปี พ.ศ. 2560 (หาค่า y )
ขั้นที่ 2 T(Translate) แปลงข้อมูลโจทย์ปัญหาไปสู่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์
2.1 เขียนแผนภาพการกระจาย
2.2 สร้างตาราง
2.3 สร้างสมการปกติ
2.4 แก้สมการ หาค่าคงตัว คือ log a และ log b
ขั้นที่ 3 A(Answer) หาคาตอบ เขียนแผนภาพการกระจายและกราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์
T
100-10
LOGY
.69
.68
.67
.66
LOGY
T
100-10
.69
.68
.67
.66
Observed
Exponential

37. 37
ตารางที่ 5.2 ก
1. จงหาสมการเพื่อใช้ประมาณประชากรในเวลาต่างๆ
ความสัมพันธ์อยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล
ให้ log a และlog b เป็นค่าคงตัว
มีสมการเป็น Y = abt
หรือ log Y = loga + t log b
สมการปกติคือ 
n
i
iy
1
log = nloga + (logb) 
n
i
it
1
………………(1)

n
i
it
1
(log y) = (loga) 
n
i
it
1
+ (logb )
n
i
it
1
2
………………(2)
แทนค่า 6.7092 = 10log a ………………..(1)
-0.3752 = 330 log b …………………(2)
จาก (1) log a =
10
70296.
= 0.6709
จาก (2) log b =
330
3752.
= - 0.0011
ดังนั้นสมการที่ใช้ประมาณคือ log Y = loga + t log b
= 0.6709 – 0.0011t
2. จงประมาณจานวนประชากรในปี พ.ศ. 2565 ( t = 21 )
แทนค่า t = 21 ในสมการทานาย
log Y = 0.6709 – 0.0011t = 0.6709 – 0.0231= 0.6478
log Y = 0.6478
(การประมาณค่าของแอนตี้ลอกฯ log 4.467  0.6478)
log Y = log 4.467
Y = 4.4467
ดังนั้น จานวนประชากรของจังหวัดอุตรดิตถ์ในปี พ.ศ. 2565 เท่ากับ 4.467 แสนคน หรือ 444,670 คน
การประมาณค่าของลอก (log M )
log 4.44 = 0.6474
log M = 0.6478
log 4.45 = 0.6484

38. 38
ใช้อัตราส่วน
444454
444
..
.M


=
6478064840
6474064780
..
..


010
444
.
.M
=
00060
00040
.
.
444.M =
00060
00040
.
.
0.01 = 0.0067
M = 4.44 + 0.0067  4.4467
M  4.4467
ขั้นที่ 4 R(Review) ทบทวนตรวจสอบผลที่ได้โดยใช้โปรแกรมสาเร็จรูป
ขั้นตอนการใช้โปรแกรม
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) t และ log y
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง t และ log y
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก Regresion และ Curve Estimate
จะปรากฏหน้าต่าง Curve Estimation
เลือกให้ log y เป็น dependent และ t เป็น independent และเลือก Exponential
5. คลิก OK จะได้ Output ดังนี้
Independent: T
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
LOGY EXP .823 8 37.25 .000 .6709 -.0017
ผลการตรวจคาตอบ ได้คาตอบใกล้เคียงกัน เพราะเป็นค่าประมาณของลอกการิทึม

39. 39
ใบกิจกรรมที่ 2.1
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ผลการเรียนรู้ สร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่ประกอบด้วยสองตัวแปร
คาสั่ง จงเลือกคาตอบที่ถูกที่สุดเพียงข้อเดียว
1. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลดังนี้
x 1 2 3 4 5
y 1 3 5 7 9
ถ้าให้ X เป็นตัวแปรอิสระและ Y เป็นตัวแปรตาม
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลมีลักษณะเป็นแบบใด
ก. เส้นตรง ข. พาราโบลา
ค. ไฮเปอร์โบลา ง. เอกซ์โพเนนเชียล
2. ถ้าให้ X เป็นตัวแปรอิสระและ Y เป็นตัวแปรตาม
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเป็นเส้นตรง
สมการประมาณค่าคือข้อใด
ก. Y = aX + b
ข. X = aY + b
ค. Y = aX2
+ bX + c
ง. X = aY2
+ bY + c
3. ถ้าให้ Y เป็นตัวแปรอิสระและ X เป็นตัวแปรตาม
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเป็นพาราโบลา
สมการประมาณค่าคือข้อใด
ก. Y = aX + b
ข. X = aY + b
ค. Y = aX2
+ bX + c
ง. X = aY2
+ bY + c
ผลการวิเคราะห์( Output) ตอบคาถามข้อ 4 - 5
ถ้าให้ X เป็นตัวแปรอิสระและ Y เป็นตัวแปรตาม
การวิเคราะห์การถดถอยด้วยโปรแกรมสาเร็จรูป
ได้ผลการวิเคราะห์( Output) ดังตาราง
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f F Sigf b0 b1
Y LIN .996 3 729.00 .000 -.5000 2.7000
4. จากตารางผลการวิเคราะห์ข้อมูล ใช้การประมาณค่าโดยใช้
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในข้อใด
ก. เส้นตรง ข. พาราโบลา
ค. ไฮเปอร์โบลา ง. เอกซ์โพเนนเชียล
5. จากตารางผลการวิเคราะห์ข้อมูล
จงหาสมการประมาณค่า
ก. Y = 5X – 2.7 ข. Y = - 5X + 2.7
ค. Y = 2.7X – 5 ง. Y = 2.7X + 5
6. จากตารางผลการวิเคราะห์ข้อมูล
ถ้าให้ X เป็นตัวแปรอิสระและ Y เป็นตัวแปรตาม
ใช้การประมาณค่าโดยใช้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในข้อใด
ก. เส้นตรง ข. พาราโบลา
ค. ไฮเปอร์โบลา ง. เอกซ์โพเนนเชียล
7. จงหาสมการประมาณค่า
ก. Y = - 2X2
+ 7.3X – 1.5
ข. Y = - 2X2
+ 1.5X - 7.3
ค. Y = - 1.5 X2
+ 7.3X + 2
ง. Y = - 1.5 X2
+ 7.3X - 2
กาหนดข้อมูลต่อไปนี้ตอบคาถามข้อ 8 – 10
ข้อมูลต่อไปนี้แสดงเงินเดือนของชายคนหนึ่ง
ตั้งแต่พ.ศ. 2548 – 2552 เป็นดังนี้
พ.ศ. 2548 2549 2550 2551 2552
เงินเดือน(พันบาท) 18 19.8 20.2 21.4 22.5
8. การกาหนดอนุกรมเวลา (X) แทนข้อมูลข้อใดถูก
ก. 1 , 2 , 3 , 4 , 5
ข. – 2 , - 1 , 0 , 1 , 2
ค. – 3 , - 1 , 0 , 1 , 3
ง. – 4 , - 2 , 0 , 2 , 4
ผลการวิเคราะห์( Output) ตอบคาถาม ข้อ 9 - 10
การวิเคราะห์การถดถอยด้วยโปรแกรมสาเร็จรูป
ได้ผลการวิเคราะห์( Output) ดังตาราง
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
LOGY EXP .961 3 74.66 .003 1.3076 .0174
9. จากตารางผลการวิเคราะห์ข้อมูล
ใช้การประมาณค่าโดยใช้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในข้อใด
ก. เส้นตรง ข. พาราโบลา
ค. ไฮเปอร์โบลา ง. เอกซ์โพเนนเชียล
10. ถ้าให้ X เป็นตัวแปรอิสระและ Y เป็นตัวแปรตาม
สมการประมาณค่าคือข้อใด
ก. log Y = 0.0174X + 1.3076
ข. log Y = 1.3076X + 0.0174
ค. log Y = 0.0751X + 0.3062
ง. log Y = 0.3062X + 0.0751