Algebraic DP: 動的計画法を書きやすく

Algebraic DP:
動的計画法を書きやすく
石井大海

自己紹介
• 石井大海 (id:mr_konn / @mr_konn)

• 早稲田大学数学科三年

• 集合論やモデル理論、圏論、代数学に興味

• 函数型言語、定理証明系など形式手法にも興味

• 2010 Summer Intern から PFI でバイト中

• Haskell で Twitter やWebのクローラを書いている

今日のおはなし
• 朗報：Haskell の話じゃありません！

• が、Haskell を使います。

• Algebraic Dynamic Programming (ADP)
• 連続データに対する動的計画法の新しい
設計・実装法

• バイオインフォマティクスの分野から

Table of Contents
• 動的計画法の復習

• 動的計画法とは？

• 動的計画法の例

• ADP の紹介

• 動的計画法の問題点

• ADP とは？──原理と例

• ADP の改良版

• まとめ

動的計画法とは？
動的計画法（どうてきけいかくほう、英: Dynamic
Programming, DP）は、コンピュータ科学の分野におい
て、ある最適化問題を複数の部分問題に分割して解く際
に、そこまでに求められている以上の最適解が求められ
ないような部分問題を切り捨てながら解いていく手法で
ある。分割統治法がトップダウン的な手法であるのに対
し、動的計画法はボトムアップ的な手法といえる。

── 動的計画法 - Wikipedia

結局どういうこと？
• 小さい範囲の最適解を組み合わせて解ける最適
化問題を

• 小さい部分での結果をメモ化しながら解く方法

• 指数時間かかりそうなものがだいたい多項式
時間で解けるようになる

• 部分問題と全体の漸化式で表わされ、アルゴリズ
ムはメモ化行列への反復作業として記述される

動的計画法の例

• 編集距離
• 最長一致部分列
• 括弧の位置最適化
• 最長増加部分列

編集距離
• 入力：二つの文字列

• 出力：一方の文字列に文字を挿入・削除す
ることで他方の文字列にするのに必要な最
短手数

• 例：(darling, airline)

• 4（darling→arling→airling→airlin→airline）

編集距離の考え方
• 入力：(a1a2...an, b1b2...bm)
• d[i, j] = a1...ai と b1...bj の編集距離
• d[i+1, j+1] の候補：
• ai+1 までを bj に編集して、bj+1を足す

• ai までを bj+1 に編集して、ai+1 を削る

• ai までを bj に編集して、ai+1を削ってbj+1を足す

• これらの中で最も手数が少ないもの

編集距離の漸化式

• これをメモ化して、i, j を 1 から埋めて
再帰していく

実装例（Ruby）
def edit_distance(as, bs)
n = as.length
m = bs.length
d = Hash.new {|h, k| h[k] = Hash.new(0)}
for i in 0..n
d[i][0] = i
end
for j in 0..m
d[0][j] = j
end
for i in 1..n
for j in 1..m
delta = as[i] == bs[j] ? 0 : 2
d[i][j] = [d[i-1][j] + 1, d[i][j-1] + 1, d[i-1][j-1] + delta].min
end
end
return d[n][m]
end

• 境界での初期化が必要になる

問題

• 挿入、削除に加えて置換を 1 score とカ
ウントするように修正してみよ。

• 実際に書き換える方法を示せ
• 最小手が複数ある場合は列挙せよ
一般に評価関数を書き換えたり出力を拡張するのは難しい

最長一致部分列（LCS）
• 入力：二つの文字列
• 出力：一致する部分列の最大長
• 例：LCS(darling, airline) = 5 (“arlin”)
• 漸化式：d[i, j] = a , b までの LCS の長さ
i j

• 境界値：d[0, j] = d[i, 0] = 0

問題

• 実際に一致部分列を挙げよ
• 複数ある場合は全て列挙してみよ

計算順序最適化
• 入力：括弧のついていない数式 A
• 出力：適切に括弧を付けて、答えを最大 /
最小化せよ
• 例： 1 + 2 × 3
• 最大：(1+2) × 3 = 9 最小：1+(2×3)=7
• 数式のパーズ・ill-formed な部分列は排除し
なくてはいけない
• 面倒なので、数字は一桁だけにする

漸化式
• a + b,a, b が最適値のとき。そこで
ぞれ
a × b が最適値を取るのは、それ

• d[i, j] = (i +1)文字∼ j 文字までの最適解

• 後はメモ化して書けばよいが、構文エ
ラーなどの NULL の処理が入る
• 上の添字で合っているかぶっちゃけ不安

最長増加部分列（LIS）

• 与えられた数列の中で最も長い増加部
分列の長さを求める。
• 入力：{3, 1, 4, 2, 5}
• 出力：3（{3, 4, 5} と {1, 2, 5} が最長）

最長増加部分列
• d[i] = i 番目の要素が最後にくる増加列
の長さ
• 候補：以下の内の長い方
• a のみから成る列
i

• a 以前の a 未満の元の列に追加
i i

まとめ
• DP = メモ化 + 部分最適化
• 部分最適解から全体最適解が得られる時
に使う
• 指数空間の問題をほぼ多項式時間で解け
る
• 添字の処理が面倒（バグの温床）
• デバッグ・検証が難しい
• 細かな拡張性がわるい

動的計画法の問題点
• 行列に対する反復操作

• 意味がわかりづらい

• 添字がバグの温床

• 最適化・評価が渾然一体

• 変更がしづらい

• 効率や正当性の検証がしづらい

ADP とは？
• 発想：解の生成と評価フェーズを分離

• 最適化関数を再帰的に適用することで計
算量を減らす

• コンパイラによる最適化等も活用

• 対象となる入力は「データ列」

• 文字列に限らず、行列列、数列でもよい

解生成と評価の分離
• DP を文法と代数に分割

• うわっ難しそう……；；

• 名前がゴツいだけ！

• 列をパーズして解の候補を生成、最適化
しつつ評価、というのを形式的に書いた

ADP 作業の流れ

1. データ列の要素を決める

2. 扱う演算を決める

3. 評価関数を考える

4. 文法を書く

例：編集距離
• 文字の削除・挿入・置換の回数が最小に
なるように文字列を書き換えたい

• データ列の要素：文字

• 扱う演算の決定

• 削除・挿入・置換を行った場所と、文字
列の終端がわかればよい

評価代数の決定
• 評価代数とは：

• 前で決めた演算に対応する評価関数

• 解の候補から最適解を絞り込む最適化関数 h

標準的な「編集距離」
のスコア関数

評価代数の例2
• 解の列挙や数え上げにも使える
• 文法の定義の正当性を確認出来る！

列挙用代数。Nil などはコンストラクタ数え上げ用代数

文法の定義（木）
• 入力：(“darling”, “airline”)

• 一本にしたいので “darling$enilria” のように纏める

文法
• 木構造のパーズに使う文法：木文法

• 能力的には CFG と同等

• 導出規則に操作名のラベルを付けただけ

実際のコード：文法
alignmentGrammar :: AlignmentAlg Char ans -> String -> String -> [ans]
alignmentGrammar AlignmentAlg{..} inp1 inp2 =
let inp = inp1 ++ '$': reverse inp2
edit = tabulated $ -- 計算結果がメモ化可能であるということ
nil <<< char '$' -- 終端；区切りは '$'
||| del <<< anychar -~~ edit -- 削除
||| ins <<< edit ~~- anychar -- 挿入
||| match <<< anychar -~~ edit ~~- anychar -- 置換
... h -- 最適化函数がこれらの枝全てに適用可能
z = mk inp
(_, n) = bounds z
char = char' z
anychar = acharSep' z '$'
tabulated = table n
in axiom' n a

• ほぼ文法を ASCII に置き換えただけ

• 評価関数・メモ化の有無を注釈できる

最適化関数 h と文法
• 解全体に h を適用すると指数時間
• パーズしながら h が適用出来れば枝が
刈れて、多項式時間で解ける！

• 「h を適用可能」を文法に注釈

コード：評価代数
-- | 編集距離の評価代数の型
data AlignmentAlg alph ans =
AlignmentAlg { nil :: alph -> ans -- ^ 終端
, del :: alph -> ans -> ans -- ^ 削除
, ins :: ans -> alph -> ans -- ^ 挿入
, match :: alph -> ans -> alph -> ans -- ^ 置換
, h :: [ans] -> [ans] -- ^ 最適化函数
}
-- | 列挙用のデータ型
data Edit = Nil
| Del Char Edit
| Ins Edit Char
| Match Char Edit Char
deriving (Eq, Ord, Show)

-- | 列挙用評価代数
enum :: AlignmentAlg Char Edit
enum = AlignmentAlg (const Nil) Del Ins Match id

-- | 数え上げ用評価代数
count :: AlignmentAlg Char Int
count = AlignmentAlg nil' del' ins' match' h'
where
nil' _ = 1; del' _ s = s; ins' s _ = s; match' _ s _ = s
h' [] = []
h' x = [sum x]

編集距離の代数
-- | 編集距離計算用の評価代数
unit :: AlignmentAlg Char Int
unit = AlignmentAlg nil' del' ins' match' h'
where
nil' _ = 0 -- 終端のスコアはゼロ
del' _ s = s + 1 -- 削除したら距離 + 1
ins' s _ = s + 1 -- 挿入したら距離 + 1
match' a s b
| a == b = s -- 文字が一致したらそのまま
| otherwise = s + 2 -- 一致しなければ + 2
h' [] = []
h' xs = [minimum xs] -- 編集距離最小のものを選ぶ

• 列挙も評価も統一的に記述出来る！

試してみる
• 二つの代数の積 ⨂ を使うと、複数の条
件を組み合わせることが出来る
ghci> alignmentGrammar count "darling" "airline"
[48639]

ghci> alignmentGrammar unit "darling" "airline"
[4]

ghci> alignmentGrammar (unit ⨂ pretty) "darling" "airline"
[(4,("da-rling-","-airlin-e")),(4,("da-rlin-g","-airline-")),
(4,("da-rling","-airline"))]

例：最長一致部分列
• 実は、先程の文法を使って書ける
• 文字が一致した時だけスコ
アを +1

• 最大値を持つものが欲しい

• 重複ケースが出るので、枝
刈りするには文法を改善

例：計算順序最適化
• 今度は複数桁に対応してみる

• 必要な演算は加算、乗算、数値、数値の拡張

data Bill = Add Bill Char Bill -- ^ 加算
| Mul Bill Char Bill -- ^ 乗算
| Ext Bill Char -- ^ 数字の桁の続き "123" の 3 の部分
| Val Char -- ^ 数字
deriving (Show, Eq, Ord)

data BillAlg alph ans =
BillAlg { add :: ans -> alph -> ans -> ans
, mul :: ans -> alph -> ans -> ans
, ext :: ans -> alph -> ans
, val :: alph -> ans
, h :: [ans] -> [ans]
}

代数
-- | 数式を pretty print する代数
pretty :: BillAlg Char String
pretty = BillAlg add' mul' ext' val' h'
where
add' x _ y = "(" ++ x ++ " + " ++ y ++ ")"
mul' x _ y = "(" ++ x ++ " * " ++ y ++ ")"
val' c = [c]
ext' i c = i ++ [c]
h' = id

-- | 最小化代数
billMin :: BillAlg Char Int
billMin = BillAlg add' mul' ext' val' h'
where
add' x _ y = x + y
mul' x _ y = x * y
val' c = digitToInt c
ext' i c = i * 10 + digitToInt c
h' [] = []
h' xs = [minimum xs]

• 列挙・数え上げ・最大化も同様

文法
billGrammar :: BillAlg Char ans -> String -> [ans]
billGrammar BillAlg{..} inp = axiom' n bill
where
bill = tabulated $ -- 結果をメモ化する
number
||| (add <<< bill ~~- char '+') ~~~ bill
-- 右側のパーズ結果が一定の文字数を越えないとき ~~- を使う
-- 結合的でないので括弧がついている
||| (mul <<< bill ~~- char '*') ~~~ bill
... h -- 数式それ自体には最適化函数を逐次適用
number = val <<< digit
||| ext <<< number ~~- digit
-- 数値のパーズに h をつけてもしょうがない
-- メモ化する意味も余りない

• メモ化・最適化関数の適用を陽に指定できる強み

• 文法を定義するのでパーズと解生成を一気にできる

例：最長増加部分列
• 解の生成で増加列を直に生成出来ればいいが…

• 木文法は CFG とほぼ同等。「増加列」の概念
は木のラベル込みだと文脈依存になる（ハズ）

• 全ての部分文字列を生成して、評価関数でフィ
ルターするより他にない

• ADP には向かない例（省略）

まとめ：ADP
• データ列に対する DP の抽象化
• 解の生成と評価・最適化を分離
• モジュラリティが高い
• 似た問題をほぼ同じ枠組で解ける
• 添字が出て来ない（バグ温床の解消）
• 文法のデザインが一番難しい
• CFG で表現出来ない物は余り向かない

時間計算量？
• 書き易さや検証可能性はよい。計算量は？
• 仮定：最適化関数 h の返す値の数は有界（1
個とか n 個以下とか）
• count 代数や最適化関数は一つなので良い
• n-best 解も n で抑えられるのでよい
• 列挙代数は爆発するので駄目
• 文法から計算量の見積りが出来る

計算量の見積り

• weight(G) : 文法に現れる木の中でサイズが抑えられない非
終端記号（非有界ノードと呼ぶ）の数の最大値 - 1

• このとき、時間計算量 O(n2+width(G)) となる

• 計算量の見積りも簡単

• 計算量を減らすには文法の非終端記号を分割して工夫する

見積りの例
• 編集距離：非有界ノードは edit のみ。
どの木にも一つずつしか出現しないの
で width(G) = 0。計算量はO(n2)

• 計算順序：非有界ノードは bill と
number。bill は add や mul に二回登場。
width(G) = 1。計算量はO(n3)

発展
• ADP は生のチューンされた DP よりは速くな
かったりする

• Stream Fusion の技術と組み合わせて C のと
定数倍くらいの差まで迫れる

• 複数入力を一つに纏める必要がある

• MCFG（Multiple CFG）を使って複数入力に対
応したバージョンもある

MCFGの例：編集距離
rewriteDel [c, a1, a2] = ([c, a1], [a2])
rewriteIns [c, a1, a2] = ([a1], [c, a2])
rewriteMatch [c1,c2,a1,a2] = ([c1, a1], [c2, a2])
edit = tabulated2 $
nil <<< (EPS, EPS) >>>|| id2
||| del <<< anychar ~~~|| edit >>>|| rewriteDel
||| ins <<< anychar ~~~|| edit >>>|| rewriteIns
||| match <<< anychar ~~~ anychar ~~~|| edit >>>|| rewriteMatch
... h

• 複数入力をどう変形するかルールを書く
• 細かい解説は省略。

参考文献
• “The Algebraic Dynamic Programming Homepage”, ADP project
team, 2009
• “adp-multi”, Maik Riechert, 2012
• “A Discipline of Dynamic Programming over Sequence Data”, Robert
Giegerich, Carsten Meyer and Peter Steffen, 2004
• “Sneaking Around concatMap - Efﬁcient Combinators for Dynamic
Programming”, Christian Honer zu Siederdissen, 2012
• “Algebraic Dynamic Programming”, R. Giegerich and C. Meyer, 2002
• “プログラミングコンテストチャレンジブック”, 秋葉拓哉, 岩田
陽一 and 北側宜稔, 毎日コミュニケーションズ, 2010

• “動的計画法 - Wikipedia”, Wikipedia, 2012

御清聴
ありがとうございました

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