80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
(เนื้อหาตอนที่ 7)
การกระจายสัมบูรณ์ 2

โดย

ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล
ิ
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา)
- ความหมายของสถิติ
- ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
- การสารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
- ค่ากลางของข้อมูล
- แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
- มัธยฐาน
- ฐานนิยม
- ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
- ค่ากลางฮาร์โมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล
- ตาแหน่งของข้อมุล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1
- การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์
- พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ความแปรปรวน

1


- พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์
- สัมประสิทธ์พิสัย
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธ์ของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
- คะแนนมาตรฐาน
- การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมคานวณทางสถิติ 1
- โปรแกรมคานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมคานวณทางสถิติ 2
- โปรแกรมคานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ
2


26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่
คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อ สื่อการสอนวิชา
คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

3


เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (การกระจายสัมบูรณ์ 2)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 7 (7/14)

หัวข้อย่อย 1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
2. ความแปรปรวน

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถวัดการกระจายสัมบูรณ์ โดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
2. สามารถหาความแปรปรวนของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายและระบุความสาคัญของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้
2. อธิบายความหมายและระบุความสาคัญของความแปรปรวนได้
3. อธิบายสมบัติและอธิบายความสัมพันธ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนได้
4. คานวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้

4


เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

5


1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี)
่

6


ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)

ในสื่อตอนนี้ เราจะศึกษาเรื่องการวัดการกระจายของข้อมูลต่อจากตอนที่แล้ว โดยการกระจายที่จะ
ศึกษาในตอนนี้คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในกรณีที่ข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่

ผูสอนควรแสดงวิธีพิสูจน์การเท่ากันของทั้งสองสูตรของส่วนเบี่ยงเบยมาตรฐานของตัวอย่าง หลังจาก
้
ที่นักเรียนได้ลองฝึกคิด

พิสูจน์   X i  X 
n n
  X i2  n X
2 2

i 1 i 1

7


 X    X 
n 2 n
2
i X i
2
 2X Xi  X
i 1 i 1
n n n

 X i2  2 X  X i   X
2

i 1 i 1 i 1
n
  X i 2  2n X  n X
2 2

i 1
n
  X i2  n X #
2

i 1

นักเรียนควรได้ฝึกคานวณการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสองประเภท โดยผู้สอนให้ตัวอย่าง
เพิ่มเติมต่อไปนี้

ตัวอย่าง
1. จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร 100, 110, 105, 103, 107,117
2. จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 100, 110, 105, 103, 107,117

วิธีทา
100  110  105  103  107  117
1.   107
6
100  107   110  107   105  107   103  107   107  107   117  107 
2 2 2 2 2 2


6
49  9  4  16  0  100

6
 5.45

8


100  110  105  103  107  117
2. X  107
6
100  107   110  107   105  107   103  107   107 107   117 107 
2 2 2 2 2 2

S .D. 
6 1
49  9  4  16  0  100

5
 5.97 #

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการฝึกฝนผู้เรียนแก้ปัญหาโจทย์ที่มีความผิดพลาดจากการบันทึกข้อมูล

ตัวอย่าง ในการสารวจราคาหุ้นของบริษัทใหม่แห่งหนึ่ง ที่เปิดให้ซื้อขายในตลาดหุ้นได้ 20 วัน พบว่า
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรราคาหุ้นคือ 50 และ 10 บาท ตามลาดับ ต่อมา
พบว่าบันทึกราคาในวันที่ 5 ผิดไป โดยบันทึกราคา 60 บาท เป็น 70 บาท จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องของราคาหุ้นบริษัทนี้

วิธีทา ให้ X1 , X 2 ,..., X 20 คือราคาหุ้นในวันที่ 1, 2,..., 20 ตามลาดับ โดยที่ X 5  70
20

X i
ดังนั้น  i 1
 50
20
20

X
i 1
i  1000
20

X i
2

และ 2  i 1
 502  100
20
20

X
i 1
i
2
 52000

9


แต่ถ้าเราแก้ไขค่า X5 จาก 70 เป็น 60 เราจะได้ว่า
20

X
i 1
i  1000  70  60  990
20
และ X
i 1
i
2
 52000  702  602  50700

ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องคือ
990
  49.5 บาท
20

และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องคือ
50700
  49.52
20
 84.75
 9.21 #

จากตัวอย่างข้างต้น เป็นการแก้ไขข้อมูลที่มีการอ่านผิด 1 ค่า เราอาจใช้แนวคิดเดียวกันนี้ แก้ไข
ปัญหาในกรณีที่เราอ่านข้อมูลผิดหลายค่าได้เช่นกัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง ในการสารวจราคาหุ้นของบริษัทใหม่แห่งหนึ่งที่เปิดให้ซื้อขายในตลาดหุ้นได้ 20 วัน พบว่าค่าเฉลี่ย
เลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรราคาหุ้นคือ 50 และ 10 บาท ตามลาดับ ต่อมาพบว่า
บันทึกราคาในวันที่ 5 ผิดไป โดยบันทึกราคา 60 บาท เป็น 70 บาท และ
บันทึกราคาในวันที่ 10 ผิดไป โดยบันทึกราคา 80 บาท เป็น 60 บาท
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากรที่ถูกต้องของราคาหุ้น

ตัวอย่าง ในการสารวจราคาหุ้นของบริษัทใหม่แห่งหนึ่งที่เปิดให้ซื้อขายในตลาดหุ้นได้ 20 วัน พบว่าค่าเฉลี่ย
เลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรราคาหุ้นคือ 50 และ 10 บาท ตามลาดับ ต่อมาพบว่า
บันทึกราคาในวันที่ 10 ผิดไป โดยบันทึกราคา 80 บาท เป็น 60 บาท และ

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่ถูกต้องของราคาหุ้น

10


ตัวอย่างการพิสูจน์สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ให้ X1 , X 2 ,..., X N เป็นประชากรที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  จง
พิสูจน์ว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ cX1 , cX 2 ,..., cX N เป็น c 

พิสูจน์ เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ cX1 , cX 2 ,..., cX N คือ c 
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ cX1 , cX 2 ,..., cX N คือ
N N

  cX i  c  c2   X i   
2 2

i 1
 i 1

N N
N

 X  
2
i
c i 1

N
 c #

11


ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพื่อให้นักเรียนเห็นถึงการใช้สมบัติของค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้มาก
ขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง บริษัทแห่งหนึ่งจ่ายโบนัสพนักงาน โดยกาหนดให้จ่าย 6 เท่าของเงินเดือน รวมกับเงินพิเศษอีก
10000 บาทต่อคน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือนมีค่าเท่ากับ 20000 บาท และ
5000 บาท ตามลาดับ ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง
1. นาย ก มีเงินเดือน 25000 บาท จะได้รับโบนัส 160000 บาท
2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของโบนัสคือ 130000 บาท
3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของโบนัสคือ 30000 บาท
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของโบนัสคือ 40000 บาท

เฉลย
1. ถูก 2. ถูก 3. ถูก 4. ผิด

12



13



ผู้สอนอาจเพิ่มทักษะการคานวณให้กับผู้เรียน ด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงหาความแปรปรวนของส่วนสูงของประชากร 10 คน ที่ประกอบด้วย 150, 160, 155, 156, 164,
170, 174, 186, 180, 175 เซนติเมตร

150  160  155  156  164  170  174  186  180  175
วิธีทา 
10
1670

10
 167 เซนติเมตร
10

 X  167 
2
i
2  i 1

10
 17    7    12    11   3   3   7   19   13  8
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


10
1264

10
 126.4 เซนติเมตร 2 #

14


15


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
1. จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของตัวอย่างต่อไปนี้
110, 100, 120, 138, 142

2. จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของประชากรต่อไปนี้
110, 100, 120, 138, 142
3. ในการสุ่มตัวอย่างจังหวัดในภาคอีสานเพื่อสารวจปริมาณน้าฝน เราได้ข้อมูลดังต่อไปนี้

จังหวัด ปริมาณน้าฝน (มิลลิเมตร)
ขอนแก่น 1200
นครราชสีมา 800
ชัยภูมิ 1500
ร้อยเอ็ด 1100
หนองคาย 1000
อุดรธานี 1000

จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างของปริมาณน้าฝน
4. ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน อายุ 15, 18, 21 ปี ตามลาดับ จงหาความแปรปรวนของอายุบุตรของ
ครอบครัวนี้ ในอีก 5 ปีข้างหน้า
5. บริษัทแห่งหนึ่งมีสูตรในการจ่ายโบนัสพนักงาน คือ 2 เท่าของเงินเดือนบวกด้วย 2000 บาท ถ้า
เงินเดือนของพนักงานในบริษัทแห่งนี้มีความแปรปรวน 500 บาท 2 จงหาความแปรปรวนของโบนัส
6. ในการสารวจรายได้ของประชากร 10 คน พบว่ามีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเท่ากับ 2000
บาท และ 400 บาท 2 ตามลาดับ ต่อมาภายหลังทราบว่าได้บันทึกรายได้ของนาย ก ผิดไป โดยนาย ก
มีรายได้ 1800 บาท แต่บันทึกเป็น 2000 บาท จงหาความแปรปรวนที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้
7. ในการสารวจรายได้ของตัวอย่าง 10 คน พบว่ามีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเท่ากับ 2000
มีรายได้ 1800 บาท แต่บันทึกเป็น 2000 บาท จงหาความแปรปรวนที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้
8. ในการสารวจรายได้ของประชากร 10 คน พบว่ามีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเท่ากับ 2000
มีรายได้ 1800 บาท แต่บันทึกเป็น 2000 บาท และ บันทึกรายได้ของนาย ข ผิดไป โดยนาย ข มีรายได้
1900 บาท แต่บันทึกเป็น 1800 บาท จงหาความแปรปรวนที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้

16


9. ข้อมูลชุดหนึ่ง (ประชากร) ประกอบด้วย 3,5,10, a,15 และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 10 จงหาความ
แปรปรวนของข้อมูลชุดนี้
10. จงหาค่า a ของข้อมูลในข้อ 9 โดยที่เราทราบเพียงแต่ว่าข้อมูลดังกล่าวมีความแปรปรวนเท่ากับ
17.84 และ a เป็นจานวนเต็ม

17


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

18


สรุปสาระสาคัญประจาตอน
สาระหลักของสื่อตอนนี้ คือ การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของข้อมูลไม่แจก
แจงความถี่

ผู้สอนควรสรุปสาระสาคัญที่ได้ศึกษามาในหัวข้อการกระจายสัมบูรณ์ทั้งหมด ด้วยการยกตัวอย่าง
ต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงหาพิสัย ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
ต่อไปนี้ 5, 8, 9, 7, 6, 4, 3

วิธีทา เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก จะได้ดังนี้
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

19


1. พิสัย  X max  X min  9  3  6
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
Q3  Q1
Q.D. 
2
84

2
2
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
3  4  5  6  7  8  9 42
  6
7 7
36  46  56  6 6  7  6  86  96
M .D. 
7
 1.71
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
 3  6    4  6    5  6    6  6    7  6   8  6    9  6 
2 2 2 2 2 2 2


7
9  4 1 0 1 4  9

7
2 #

20


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

21


แบบฝึกหัดระคน

1. ในการสารวจอุณหภูมิในเมืองหลวงต่าง ๆ พบว่ามีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 30 องศาเซลเซียส และมีความ
แปรปรวน 5 องศาเซลเซียส 2 จากการพยากรณ์พบว่าอีก 10 ปีข้างหน้า อุณหภูมิของแต่ละเมืองจะ
สูงขึ้นอีก 1 องศาเซลเซียส จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของอุณหภูมิของเมืองหลวงใน
อีก 10 ปีข้างหน้า
1. 30,5 2. 40,5 3. 31,5 4. 40,15
2. ให้ X1 , X 2 ,..., X N เป็นข้อมูลที่มี ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ 50 และ 10
ตามลาดับ ถ้ากาหนดให้ Yi  1  3 X i , i  1, 2,..., N แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของ Y1 , Y2 ,...., YN มีค่าเท่ากับเท่าไร
1. -149, 10 2. 50, 30 3. -149, 30 4. -149, -30
3. ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับความแปรปรวนเสมอ
2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเป็น 0 ก็ต่อเมื่อ ข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากัน
N
3. ถ้า X1 , X 2 ,..., X N มีสมบัติว่า  X i2  N  2 แล้ว X 1  X 2  ...  X N  0
i 1

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของ ไก่ แก้ว และขวัญ ในอีก 5 ปีข้างหน้าจะมากกว่าในปัจจุบัน
เสมอ
4. สุ่มตัวอย่างข้อมูล 2 ชุด ประกอบด้วย X1 , X 2 ,..., X 20 และ Y1 , Y2 ,..., Y10 ตามลาดับ สมมติให้
 X  และ  Yi  Y 
20 10
ถ้า แล้วความแปรปรวนของ
2 2
i X  20  40 X Y
i 1 i 1

X1 , X 2 ,..., X 20 , Y1 , Y2 ,..., Y10 มีค่าเท่ากับข้อใด
60 60
1. 1 2. 2 3. 4.
29 28
5. ประชากรชุดหนึ่งประกอบด้วย X1 , X 2 ,..., X 20 โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 4 และ
20

 X  5   600 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ 2 X1 , 2 X 2 ,..., 2 X 20
2
i
i 1

1. 29 2. 2 29 3. 4 29 4. 29
6. ส่วนสูงของนักเรียน 4 คนแรก คือ 150,160,170,180 เซนติเมตร และพิสัยของนักเรียน 4 คนแรก
รวมกับ นาย ก มีค่าเท่ากับ 40 ความแปรปรวนประชากรของนักเรียน 5 คนนี้ มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 50 2. 100 3. 150 4. 200

22


7. ข้อมูลอายุของตัวอย่างนักศึกษา 5 คน คือ X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5 โดยที่ X  20 และ
5

X
i 1
i
2
 2500 ต่อมามีการเพิ่มตัวอย่างนักศึกษาที่มีอายุ 20 ปี อีก 1 คน แล้วความแปรปรวนของ
อายุของนักศึกษาทั้ง 6 คน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
250 250
1. 10 ปี 2. ปี 3. 100 ปี 2 4. 3
ปี 2
3
8. คะแนนสอบของนักเรียน 10 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเท่ากับ 20 และ 4
ตามลาดับ ถ้าในการบันทึกคะแนนมีความผิดพลาด โดยกรอกคะแนนของนักเรียนคนหนึ่งที่ได้ 35
คะแนน เป็น 15 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนที่ถูกต้อง
1. 20, 10 2. 22, 20 3. 22, 22 4. 40, 50
9. ข้อมูลประชากร 2 จานวน มีพิสัยเท่ากับ 8 และมัธยฐานเท่ากับ 20 แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่า
เท่ากับข้อใด
1. 1 2. 2 3. 4 4. 8
10. ในการสอบย่อยครั้งหนึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเป็น 60
และ 16 ตามลาดับ ในการตัดเกรดปลายภาค ครูจะปรับคะแนนเต็มของการสอบย่อยให้เหลือ 20
คะแนน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนสอบย่อย เมื่อมีการปรับคะแนนแล้ว มีค่า
เท่ากับข้อใด
1. 60, 16 2. 60, 3.2 3. 12, 3.2 4. 12, 0.64

23


ความแปรปรวนของประชากรหลายกลุ่ม

24


ในบางครั้งเราต้องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล โดยแบ่งเป็นกลุ่มย่อยๆดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จากการสารวจราคาสินค้าของประชากรร้านค้า 2 พื้นที่ ได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้

พื้นที่แรก พื้นที่ที่ 2
จานวนประชากร N1  20 N 2  20
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 1  10 2  15
ความแปรปรวน  12  4 2  9
2

จงหา
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของประชากรทั้ง 2 กลุ่ม
2. ความแปรปรวนรวมของประชากรทั้ง 2 กลุ่ม

วิธีทา ให้ X1 , X 2 ,..., X 20 เป็นข้อมูลราคาสินค้าในพื้นที่แรก และ Y1 , Y2 ,..., Y20 เป็นราคาสินค้าในพื้นที่ที่ 2
20 20

 Xi Y i
1. 1  i 1
 10 และ 2  i 1
 15
20 20
20 20
ดังนั้น  X i  200 และ  Yi  300
i 1 i 1
20 20

 X  Y i i
200  300
ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม  i 1 i 1
  12.5 บาท
20  20 40
20

X i
2

2. จาก  12  4 จะได้ว่า i 1
 102  4
20
20

X i 1
i
2
 2080
20

Y i
2

และจาก  22  9 จะได้ว่า i 1
 152  9
20
20

Y i 1
i
2
 4680

ดังนั้น ความแปรปรวนรวม

25


20 20

 X  Y i
2
i
2

2  i 1 i 1
 12.52
20  20
2080  4680
  156.25
40
 12.75 บาท 2 #

ตัวอย่าง จากการสารวจราคาสินค้าของประชากรร้านค้า 2 พื้นที่ ได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้

จานวนประชากร N1  20 N 2  40
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 1  10 2  15
ความแปรปรวน  12  4 2  9
2

จงหา
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของประชากรทั้ง 2 กลุ่ม
2. ความแปรปรวนรวมของประชากรทั้ง 2 กลุ่ม

วิธีทา ให้ X1 , X 2 ,..., X 20 เป็นข้อมูลราคาสินค้าในพื้นที่แรก และ Y1 , Y2 ,..., Y40 เป็นราคาสินค้าในพื้นที่ที่ 2
20 40

 Xi Y i
1. 1  i 1
 10 และ 2  i 1
 15
20 40
20 40
ดังนั้น  X i  200 และ  Yi  600
i 1 i 1
20 40

 X  Y i i
200  600 40
ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม  i 1 i 1
  บาท
20  40 60 3
20

X i
2

2. จาก  12  4 จะได้ว่า i 1
 102  4
20
20

X i 1
i
2
 2080
40

Y i
2

และจาก  22  9 จะได้ว่า i 1
 152  9
40
40

Y
i 1
i
2
 9360

26


ดังนั้น ความแปรปรวนรวม
20 40

 X i2   Yi 2
 40 
2

 2 i 1
  i 1

20  40  3 
2080  9360 1600
 
60 9
 12.89 บาท 2 #

ในกรณีทั่ว ๆ ไป เรามีสูตรในการหาความแปรปรวนรวม ดังต่อไปนี้
กรณีที่ 1  2
N1 12  N 2 2
2
 รวม 
2

N1  N 2
กรณีที่ 1  2
N1 N2

 X i2   Yi 2
 รวม 
2 i 1 i 1
 รวม
2

N1  N 2

ผู้สอนอาจฝึกประสบการณ์ของผู้เรียน โดยการให้คานวนหาความแปรปรวนรวมของตัวอย่าง
ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จากการสารวจราคาสินค้าของตัวอย่างร้านค้า 2 พื้นที่ ได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้

จานวนตัวอย่าง N1  20 N 2  20
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต X 1  10 X 2  15
ความแปรปรวน S .D.  4
2
1 S .D.2  9
2

จงหา
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของตัวอย่างทั้ง 2 กลุ่ม
2. ความแปรปรวนรวมของตัวอย่างทั้ง 2 กลุ่ม

ตัวอย่าง จากการสารวจราคาสินค้าของตัวอย่างร้านค้า 2 พื้นที่ ได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้

27


จานวนตัวอย่าง N1  20 N 2  40
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต X 1  10 X 2  15
ความแปรปรวน S .D.  4
2
1 S .D.2  9
2

จงหา
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของตัวอย่างทั้ง 2 กลุ่ม
2. ความแปรปรวนรวมของตัวอย่างทั้ง 2 กลุ่ม

28


เฉลยแบบฝึกหัด

29


เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่

1. 17.94, 322 2. 16.05, 257.6 3. 236.64
4. 6 ปี 2 5. 2000 บาท 2 6. 4000 บาท 2
7. 4400 บาท 8. 1300 บาท 2 9. 29.6
10. 10

เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 3 3. 2 4. 2 5. 2
6. 4 7. 3 8. 2 9. 3 10. 4

30


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

31


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สือปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

32


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

33


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

34

80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (6)

Semelhante a 80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2

Semelhante a 80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2 (20)

Mais de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Mais de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2