10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม โดย
การให้ความหมายดังกล่าวจะใช้ความรู้เรื่องผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับที่ผู้เรียนได้ศึกษาแล้วในตอนก่อน
หน้า ดังนั้นครูอาจเริ่มต้นด้วยการทบทวนความรู้เกี่ยวกับผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับ รวมถึงสูตรการหา
ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตให้ผู้เรียนก่อน คือ
ผลบวกย่อยn พจน์แรกของลาดับเลขคณิต
n
Sn 2a1 (n 1)d หรือ Sn n a1 a n
2 2
เมื่อ a1 คือ พจน์แรก an คือ พจน์ที่ n และ d คือผลต่างร่วม
ผลบวกย่อยn พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต
a1 (1 r n )
Sn เมื่อ r 1
1 r
โดยที่ a1 คือ พจน์แรก และ r คืออัตราส่วนร่วม
ครูเน้นกับผู้เรียนว่าเราสามารถคานวณค่าของผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับได้เสมอ และเราจะนาจานวนจริงที่ได้มา
เขียนเรียงเป็นพจน์ต่างๆ เป็นลาดับใหม่ ซึ่งจะเรียกว่า ลาดับของผลบวกย่อยนั่นเอง
9
19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กรณีที่ 2 เมื่อ | r | 1 จะได้ว่าผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิตหาได้จาก
a1 (1 r n ) a1 a1 n
Sn r
1 r 1 r 1 r
พิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย
ถ้า | r | < 1 จะได้ว่า n r n 0 ทาให้ได้ว่า
lim
a1 a a1
lim Sn lim 1 rn
n n 1 r 1 r 1 r
a1
ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมลู่เข้า และผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ
1 r
a1 a
ถ้า | r | > 1 จะได้ว่า lim Sn lim 1 rn ไม่มีค่า ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตเป็น
n n 1 r 1 r
อนุกรมลู่ออก
18
20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจทฤษฎีบทในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรม
เรขาคณิตมากขั้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์ชุดหนึ่งมีพจน์แรกคือ 2 และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 4 จงหา
อัตราส่วนร่วมของอนุกรมนี้
วิธีทา ให้ S แทนผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต
จากโจทย์ S = 4 และ a1 2
a1
จาก S =
1 r
2
4 =
1 r
4 (1 – r ) = 2
1
r = #
2
19
32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาเพิ่มเติม
ครูอาจกล่าวถึงเนื้อหาเพิ่มเติมสาหรับผู้เรียนที่สนใจศึกษาในเรื่องอนุกรมในระดับอุดมศึกษาเพื่อให้เห็น
ความสัมพันธ์ของเนื้อหา เริ่มต้นที่การนิยามหรือการให้ความหมายอนุกรมจะมีความแตกต่างจากระดับ
มัธยมศึกษา กล่าวคือ ความหมายของอนุกรมในระดับมัธยมศึกษานั้น อนุกรมจะนิยามเป็นการเขียนแสดงผลบวก
ของพจน์ทุกพจน์ของลาดับ ขณะที่ในระดับอุดมศึกษาความหมายของอนุกรมนั้น อนุกรมเป็นลาดับชนิดหนึ่ง คือ
เป็นลาดับของผลบวกย่อย โดยนิยามดังนี้
นิยาม ให้ an เป็นลาดับของจานวนจริง และ
S 1 = a1
S 2 = a1 + a 2
S 3 = a1 + a 2 + a3
n
Sn= a1 + a2 + a3 + + an = a k
k 1
เราเรียก Sn ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับ an และเรียกลาดับ Sn ว่าอนุกรมอนันต์ของจานวนจริง (หรือเรียก
สั้นๆ ว่า อนุกรม) ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a n หรือ a1 a 2 a 3 an
n 1
31