1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
(เนื้อหาตอนที่ 4)
อสมการเลขชี้กาลัง
โดย
รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16
ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ
- เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- สมการเลขชี้กาลัง
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม
- ฟังก์ชันลอการิทึม
- กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
- สมการลิการิทึม
5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
- สมการและอสมการของเลขยกกาลัง
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
- สมการและอสมการลอการิทึม
- ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน
ลอการิทึม
7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
1

3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการ
สอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอนวิ ช า
คณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอน
วิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และ
ชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 4 (4/5)
หัวข้อย่อย 1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
2. สมการและอสมการของเลขชี้กาลัง
3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถแก้สมการของเลขชี้กาลังได้
2. สามารถแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้
3. สามารถนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปแก้ปัญหาต่างๆ ในชีวิตประจาวันได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายหลักการและแก้สมการของเลขชี้กาลังได้
2. อธิบายหลักการและแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้
3. นาความรู้เรื่องการแก้สมการและอสมการของเลขชี้กาลังไปใช้แก้ปัญหาได้
3

5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
5

7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
6

8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง
7

9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง
สื่อ ตอนนี้เราอาศัยความรู้เ รื่อ งฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งในการหาเซตคาตอบของสมการและ
อสมการของเลขชี้กาลัง ดังนั้น ในตอนต้นจึงขอทบทวนความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ
เน้นว่าฟังก์ชันเลขยกกาลังก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงสามารถอ้างสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันหนึ่งต่อ
หนึ่งได้
8

10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนควรเน้นให้นักเรียนสังเกตว่า เราอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันหนึ่ง
ต่อหนึ่งของฟังก์ชันเลขยกกาลังตรงไหนและอย่างไร และทาแบบฝึกหัดย่อยเพิ่มเติม
แบบฝึกหัดย่อย
ตอบคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้
x
1. 3 729 แล้ว x
2 x x
2. 7 49 แล้ว x
9

11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x x 3
6 4
3. แล้ว x
4 9
x 3
1
4. 25
x 1
แล้ว x
5
x x
5. 5 2 แล้ว x
x 1 x 1
6. 9 7 แล้ว x
คาตอบ
1
1. 6 2. 2 3 2 4.
3
5. 0 6. 1
เมื่อนักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยนี้แล้ว ผู้สอนลองถามนักเรียนว่า ข้อใดบ้างที่อ้างสมบัติการเป็น
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และข้อใดไม่ได้อ้างการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเหตุใด
ตัวอย่างต่อไปจะเพิ่มความซับซ้อนในการหาเซตของคาตอบของสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งเราต้อง
จัดเตรียมหรือจัดรูปของสมการที่โจทย์กาหนดให้เสียใหม่ เพื่อให้อยู่ในรูปเลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวน
ที่เท่ากันเสียก่อน แล้วจึงจะอ้างความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพื่อสรุปว่าเลขชี้กาลังจะต้องเท่ากัน
10

12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
11

13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนอาจแนะนานักเรียนว่า บางครั้งในการแก้สมการเลขชี้กาลัง ถ้า
เราแปลงสมการเก่าที่ซับซ้อนให้เป็นสมการใหม่ โดยการเลือกสมมติตัวแปรใหม่ที่เหมาะสม
2x x
ตัวอย่างเช่น 3 3 10 3 3 3 0 สมการเก่า
x x
โดยการสมมติให้ A 3 หรือแทน A ด้วย 3 ในสมการเก่า ก็จะได้
2
3A 10A 3 3 0 สมการใหม่
ซึ่งจะเป็นสมการกาลังสองที่นักเรียนคุ้นเคยและสามารถแก้สมการได้ง่าย
x
เมื่อหาค่า A จากสมการใหม่ได้แล้ว ก็จะหาค่า x ได้จาก A 3
12

14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
13

15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ในการแก้สมการ บางครั้งอาจไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้ แสดงว่า
ไม่มีคาตอบของสมการนั้นๆ ซึ่งก็จะได้ว่าเซตคาตอบของสมการเป็นเซตว่างหรือ {} เพื่อให้นักเรียน
ได้เห็นสมการซึ่งไม่มีคาตอบ ให้ผู้สอนลองยกตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาค่า x ที่สอดคล้องสมการ 5
2x
2 5
x
3 0
x 2
วิธีทา 5 2 5
x
3 0
x 2
ให้ A 5 ดังนั้น A 2A 3 = 0
2
A 2A 1 2 = 0
2
(A 1) 2 = 0
นั่นคือ (A 1)2 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น จะไม่มีจานวนจริง A ที่สอดคล้องตามสมการ
เพราะว่า A 5x ดังนั้นก็จะไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องตามสมการ
นั่นคือ เซตคาตอบของสมการนี้จะเท่ากับ { } หรือ
แบบฝึกหัดที่ 1
1. จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปนี้
5x 2 x 1 x 2x 1 x 6
1.1 2 64 1.2 3 27 9
x x x 4 x 3 x 2
1.3 25 6 5 5 0 1.4 5 5 29 5
x x x 2x 1 x
1.5 10 25 29 10 10 4 0 1.6 3 4 3 9 0
x y z 4 12 12 12
2. ถ้า 2 5 7 70 แล้ว มีค่าเท่าใด
x y z
4 2 2m 2 8m 8 m
3. ถ้า (x 18x 81) (x 3) (x 3) แล้ว 2 มีค่าเท่าใด
x y 2x y x
4. ถ้า 5 625 5 และ 3 243 3 แล้ว มีค่าเท่าใด
y
log 4 x log x 3 2
5. ถ้า 4 x 3 x แล้ว x มีค่าเท่าใด
14

16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
คาตอบ 1. 1.1 {4} 1.2 {3} 1.3 {0, 1}
1.4 { 2} 1.5 { 1, 1} 1.6 {1, 2}
2. 3
1
3.
2
4. 3
5. 2
เราได้ดูสื่อเกี่ยวกับการแก้สมการเลขชี้กาลัง และได้ทาแบบฝึกหัดเพิ่มเติมไปแล้ว ซึ่งจะทา
ให้นักเรียนสามารถหาเซตคาตอบของสมการที่กาหนดให้ได้ในระดับหนึ่งแล้ว ต่อไปเราจะพูดถึงการ
แก้อสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันลดหรือฟังก์ชันเพิ่มของฟังก์ชันเลขชี้
กาลัง จึงขอทบทวนความรู้ในส่วนนี้เสียก่อน เพราะจะต้องมีการอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือ
ฟังก์ชันลด โดยดูจากฐานของเลขชี้กาลังเป็นสาคัญ
15

17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ
x1 x2
1. x1 x2 3 3
x1 x2
2. x1 x2 4 4
x 1 x 3
3. x 1 x 3 5 5
x 2x 1
4 4
4. x 2x 1
3 3
x 2 x 1
5. x 1 x 2 2 2
4 x 1
6. 4 x 1 3 3
3 2x 1
5 5
7. 3 2x 1
4 4
2
x
2 1 2
x 4 4 1 x
8. 1 2
1 x 3 3
คาตอบ 1. < 2.  3. < , <
4.  5. > , < 6. >
7. > 8. > , >
16

18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ
x1 x2
1 1
1. x1 x2
2 2
x 4 x 1
1 1
2. x 4 x 1
3 3
3 x 2 x
3 3
3. 3 x 2 x
5 5
x 1 3
1 1
4. x 1 3
5 5
2
x
2 1 2
x 4 4 2 x
5. 1 2
2 x 7 7
คาตอบ 1. > 2. < 3. > , <
4. < 5. > , <
17

19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
จงเติมเครื่องหมาย , , , ลงใน
2x 3 x 5
2 2
1. 2x 3 x 5
3 3
2 x x 1
4 4
2. 2 x x 1
3 3
x x
1 2
x x 1 3 1 3
3. 1 2
3 3 6 6
18

20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
log 3 x log 3 (3x 1)
4. log x
3
log (3x
3
1) 2 2
คาตอบ 1. > 2. < 3. 
4. <
19

21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดย่อย 1
จงหาเซตของคาตอบของอสมการต่อไปนี้
x 1
x 1 5x 1 x
2
1 1
1. 9 3 2. 2
16
2x
2
x 2x
2
x 1
3. 3 1 4. 2 3x 4
8
2x 1 2x 3
1 1 3x
2
14x 2
5. 6. 7 343
4 2
2
x 2x 3
1
7. 1
3
คาตอบ
1
1. [ 1, ) 2. ( 1, 5) 3. ( , ) (0, )
2
1 1
4. ( , 6 ] [1, ) 5. ( , ) 6. [ 5, ]
2 3
7. ( , 1) (3, )
20

22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
21

23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจวิธีการหาเซตคาตอบของอสมการเพิ่มขึ้น ผู้สอนควรเพิ่มตัวอย่าง
อีกสักสองสามตัวอย่างดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 3 4
x
5 6
x
2 9
x
0
วิธีทำ จากอสมการ 3 4
x
5 6
x
2 9
x
0
2x x x 2x
จะได้ 3 2 5 2 3 2 3 0
2x 2 x x
3A 5AB 2B 0 (ให้ A 2 ,B 3 )
(3A B )(A 2B ) 0
x x x x
เพราะว่า A 2 ,B 3 ดังนั้น 3A B 3 2 3 0
ดังนั้นจะได้ว่า A 2B 0
x x
นั่นคือ A 2B หรือ 2 2 3
x
2
ดังนั้น 2
3
x
2
และจะได้ log log 2
3
2
x log log 2
3
log 2 log 2
x
2 log 2 log 3
log
3
22

24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
log 2
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการนี้คือ x |x
log 2 log 3
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 10 5
2x
29 10
x
10 2
2x
0
วิธีทำ จากอสมการ 10 5
2x
29 10
x
10 2
2x
0
x 2 x x x 2
จะได้ 10 5 29 5 2 10 2 0
2 2 x x
10A 29AB 10B 0 (ให้ A 5 ,B 2 )
(5A 2B )(2A 5B ) 0
ถ้า 5A 2B 0 จะได้
5A 2B
x x
5 5 2 2
x 1 x 1
5 2
นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1
ดังนั้น 5A 2B 0 เมื่อ x 1
และ 5A 2B 0 เมื่อ x 1
ถ้า 2A 5B 0 จะได้
2A 5B
x x
2 5 5 2
x 1 x 1
5 2
นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1
ดังนั้น 2A 5B 0 เมื่อ x 1
และ 2A 5B 0 เมื่อ x 1
จากข้อมูลข้างต้นจะได้ว่า
(5A2B) < 0 (5A2B) > 0

(2A5B) < 0 (2A5B) > 0

 
ดังนั้นจะสรุปได้ว่า (5A 2B)(2A 5B) 0 เมื่อ x ( , 1] [1, )
23

25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดย่อย 2
จงหาเซตของคาตอบของสมการต่อไปนี้
2x 1 x
1. 3 4 3 9 0
x 2 x 1 x
2. 3 3 3 39
x 3 x 2 x 1
3. 5 5 31 5
x x x
4. 10 25 29 10 10 4 0
x
5. log 3 (7 3 18) 2x
x 4 x 1
6. 2 4 48
24

26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
คาตอบ
1. [1, 2 ] 2. (1, )
3. ( , 1] 4. [ 1, 1]
5. [ 2, ) 6. ( , 1]
หมายเหตุ ค่าของ log 2 และ log 3 ที่กาหนดให้ ก็เป็นค่าโดยประมาณ
25

27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 10
2x 1
3
x 2
วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะได้
2x 1 x 2
log 10 = log 3
(2x 1) log 10 = (x 2) log 3
(2x 1) = (x 2) log 3
2x x log 3 = 2 log 3 1
x(2 log 3) = (2 log 3 1)
(2 log 3 1) 2 log 3 1
x = =
2 log 3 log 3 2
(หมายเหตุ ถ้ากาหนดค่าของ log 3 ก็จะสามารถหาค่าของ x ได้)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า x จากสมการ n (1 x) n (1 x) 1
วิธีทา จาก n (1 x) n (1 x) 1
1 x
จะได้ n = 1
1 x
1 x
ดังนั้น = e
1 x
1 x = e ex
x ex = e 1
e 1
x =
e 1
3x 5 2 x
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของอสมการ e 3
3x 5 2 x
วิธีทา จาก e 3
(เราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ) จะได้
3x 5 2 x
ne  n 3
(3x 5) n e  (2 x) n 3
3x x n 3  2 n 3 5 ( ne 1)
26

28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2 n 3 5
ดังนั้น x 
3 n 3
2 n 3 5
เซตคาตอบของอสมการนี้คือ ,
3 n 3
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
1. จงหาค่าของจานวนจริง x จากสมการ
2x 1
1.1 3 8
x 1 2x 3
1.2 5 2
x x 2 x 4 x 3
1.3 3 5 3 5
2. จงหาเซตคาตอบของอสมการ
2.1 4 25x 3 10x 4x 0
x 2x
2.2 2 3 8 3
คาตอบ
3 log 2 log 3 3 log 2 log 5
1. 1.1 x 1.2 x
2 log 3 2 log 2 log 5
3 log 2 1
1.3 x
log 5 log 3
2 log 2
2. 2.1 x 2.2 x log 3 4
log 2 log 5
27

29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
28

30. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
ต่อไปจะเป็นการนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปประยุกต์ใช้ ซึ่งในสื่อจะเป็นตัวอย่าง
ของฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่เข้าไปเกี่ยวข้องกับชีวิตประจาวัน นักเรียนจะได้เห็นว่าเรานาความรู้เรื่อง
ฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปคานวณหรืออธิบาย อัตรา หรือจานวนประชากร หรือการเปลี่ยนแปลงในอนาคต
ได้อย่างไร
29

31. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
30

32. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
นักเรียนอาจสงสัยว่า รู้ได้อย่างไรว่าความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของต้นไม้และเวลาที่ผ่าน
พ้นไปจะเป็นไปตามสมการที่กาหนดให้ ผู้สอนคงต้องบอกให้นักเรียนทราบว่า ความสัมพันธ์ที่
กาหนดให้ในโจทย์บางครั้งเป็นสมมติฐานที่นักวิทยาศาสตร์คาดเดา และบางครั้งก็ได้มีการทาวิจัยและ
ได้ข้อสรุปความสัมพันธ์ตามสมการที่กาหนดให้ แต่ในบางครั้ง ตัวเลขหรือจานวนในสถานการณ์จริง
ก็เป็นจานวนที่มีทศนิยมหลายตาแหน่ง อาจไม่สะดวกในการใช้คานวณ ในตัวอย่างจึงอาจใช้ตัวเลข
สมมติเพื่อความเหมาะสมหรือสะดวกในการคานวณ ซึ่งในชีวิตประจาวันจริง เราก็สามารถคานวณ
โดยใช้หลักการคานวณเดียวกัน และในการคานวณเราใช้ลอการิทึมช่วยในการคานวณให้ง่ายขึ้น
โดยบางกรณี (บางครั้ง) ค่าที่ได้เป็นเพียงค่าโดยประมาณเท่านั้น เนื่องจากข้อจากัดของค่าจากตาราง
ลอการิทึม ซึ่งเป็นค่าประมาณทศนิยมเพียง 4 ตาแหน่ง เมื่อนาไปบวก/ลบ/คูณ/หาร ก็จะได้ผลลัพท์
เป็นค่าโดยประมาณ
31

33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจหรือเห็นได้ชัดเจนว่า ในสื่อเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ในการคานวณ
ระยะเวลาว่า นานเท่าไรจึงจะมีปริมาตร 4,000 ลูกบาศก์ฟุต แล้วอ้างว่าสะดวกกว่าและง่ายกว่า
ทาไมจึงเป็นเช่นนั้น ผู้สอนอาจแสดงให้นักเรียนเห็นว่า ถ้าใช้ลอการิทึมฐานอื่นแล้วอาจยุ่งยากกว่า
โดยลองเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็ได้ ดังนี้
t
จากความสัมพันธ์ 4000 100e
t
จะได้ e 40
32

34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ถ้าเราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็จะได้
t
log e = log 40
t log e = log 40
log 40
t =
log e
จากตารางลอการิทึมฐาน 10 จะได้ log e 0.4343 และ log 40 1.6021
1.6021
ดังนั้น t 3.6889
0.4343
หรือถ้าเราใช้ลอการิทึมฐาน 3 ก็จะได้
t
log3 e log3 40
log3 40
ดังนั้น t (ซึ่งจะมีปัญหาในการคานวณค่าของ t เพราะเรา
log3 e
ไม่มีตารางค่าของลอการิทึมฐาน 3)
33

35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ในชีวิตประจาวันเรายังมีเรื่องที่เกี่ยวกับการเงินและการธนาคารซึ่งอาศัยความรู้เรื่องฟังก์ชัน
เลขยกกาลังและฟังก์ชันลอการิทึมช่วยในการคานวณ ตัวอย่างเช่น เราทราบว่าสูตรที่ใช้คานวณเงิน
รวมโดยคิดดอกเบี้ยทบต้น คือ
n
S P (1 i)
เมื่อ Sn หมายถึงเงินรวมที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยทบต้นของเงินต้น P บาท และคิดอัตราดอกเบี้ย i
และคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นจานวน n คาบ ถ้าเรารู้อัตราดอกเบี้ยของการฝากเงินและรู้ว่าคิดดอกเบี้ย
ทบต้นกี่ครั้ง ก็จะสามารถคานวณเงินรวมของการฝากเงินได้ทันทัน แต่การแทนค่าในสูตร ต้องแทน
ค่าให้ถูกต้อง จึงต้องมีวิธีหาค่า i และ n ที่ชัดเจน โดยผู้สอนอาจยกตัวอย่างให้ดูสัก 2-3 ตัวอย่าง
34

36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่าง 1 ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง 50,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 2.5
ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุก 4 เดือน ฝากนาน 2 ปี จงหาว่าเมื่อครบ 2 ปี จะได้เงินรวมเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ P 50000
2.5
r 100
i (เมื่อ r คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี)
m 3
n 2 3 6 ( 2 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 6 ครั้ง)
n
ดังนั้น เงินรวม Sn = P(1 i)
6
0.025
= 50000 1
3
 52552.67 บาท
ตัวอย่าง 2 น้องพลอยต้องการใช้เงิน 1,000,000 บาท ในอีก 10 ปีข้างหน้านับจากวันนี้ ถ้า
ธนาคารมีโปรแกรมฝากพิเศษระยะเวลา 10 ปี คิดดอกเบี้ยให้ร้อยละ 4.5 ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้น
ทุกครึ่งปี น้องพลอยควรจะฝากเงินในวันนี้เป็นจานวนเท่าใด จึงจะมีเงินในบัญชี 1,000,000 บาทใน
อีก 10 ปีข้างหน้า (ไม่มีการคิดภาษีของดอกเบี้ยของเงินฝากพิเศษนี้)
วิธีทำ น้องพลอยต้องการหาเงินเต้น P บาท ซึ่งจะทาให้
S (เงินรวม) = 1,000,000 บาท
4.5
i = (คิดทบต้นปีละ 2 ครั้ง)
100 2
n = 10 2 (คิดทบต้นเป็นจานวน 10 2 ครั้ง)
n
แทนค่าในสูตร S P (1 i)
20
2.25
1, 000, 000 = P 1
100
6 20
10 = P 1 0.0225
6 20
log 10 = log P 1 0.0225
6 = log P 20 log (1.0225)
35

37. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
log P  6 20(0.0097) 5.8067
5
 log (10 6.407)
 640700
ดังนั้น น้องพลอยต้องฝากเงินวันนี้เป็นจานวน 640,700 บาท เพื่อว่าอีก 10 ปีข้างหน้า
จะมีเงิน 1,000,000 บาทในบัญชี
ตัวอย่าง 3 ธนาคารแห่งหนึ่งให้ดอกเบี้ยเงินฝากประจาพิเศษเป็นแบบทบต้น m ครั้งต่อปี โดยให้
ดอกเบี้ย เมื่อสิ้นปี ผู้ฝากจะได้ดอกเบี้ยที่แท้จริงเป็นไปตามสมการ
m
r
rm 1 1
m
เมื่อ rm แทน ดอกเบี้ยที่ได้รับจริงเมื่อสิ้นปี (ของเงินต้น 1 บาท)
r แทน อัตราดอกเบี้ยที่ธนาคารกาหนดให้ต่อปี (ของเงินต้น 1 บาท)
m แทน จานวนครั้งที่ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นใน 1 ปี
ก. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.75% ต่อปี โดยคิดทบต้น
ทุก 4 เดือน
ข. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.5% ต่อปี โดยคิดทบต้น
ทุกเดือน
ค. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.25% ต่อปี โดยคิดทบต้น
ทุกวัน
3.75
วิธีทำ ก. จากโจทย์ r , m 4
100
4
3.75
ดังนั้น r4 = 1 1
100 4
 0.03803 (ร้อยละ 3.80)
3.65
ข. จากโจทย์ r , m 12
100
12
3.65
ดังนั้น r12 = 1 1
100 12
 0.03557 (ร้อยละ 3.557)
36

38. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3.4
ค. จากโจทย์ r , m 365
100
365
3.4
ดังนั้น r365 = 1 1
100 365
 0.03562 (ร้อยละ 3.562)
ตัวอย่าง 4 ในการทาปฏิกิริยาทางเคมีสาร A เปลี่ยนไปเป็นสาร B ในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับ
ปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ โดยที่สมการความสัมพันธ์
kt
Q(t ) Ce
โดยที่ Q เป็นปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ เมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง ถ้าตอนเริ่มต้นมีสาร A
อยู่ 100 กรัม หลังจากนั้น 3 ชั่วโมง มีสาร A เหลืออยู่ 85 กรัม ถ้าทิ้งให้ทาปฏิกิริยานาน 9 ชั่วโมง
จะเหลือสาร A กี่กรัม
kt
วิธีทำ จาก Q(t ) Ce ……………*
เมื่อ t 0,Q 100 แทนค่าในสมการ * จะได้
k (0)
100 = Ce
 C = 100
kt
ดังนั้น Q(t ) 100e ……………**
เมื่อ t 3,Q 85 แทนค่าในสมการ **
3k
85 = 100e
3k 85
e =
100
k 3 85
e =
100
t
85 3
 Q(t ) = 100
100
37

39. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
9
85 3
เมื่อ t 9, Q = 100
100
3
85
= 100
100
= 61.4125 กรัม
แบบฝึกหัดย่อย
1. ถ้าอัตราการเจริญเติบโตของประชากรหนูในเมืองๆ หนึ่ง ณ เวลาหนึ่ง เป็นไปตามสมการ
t
m(t ) m0 (1 0.065)
เมื่อ แทน จานวนของหนูเมื่อเวลาผ่านไป t (เดือน)
m(t )
m 0 แทน จานวนของหนู ณ จุดเริ่มต้น
t แทน เวลา มีหน่วยเป็นเดือน
1.1 จงหาว่าเมืองนี้มีหนูกี่ตัวเมื่อเวลาผ่านไป 4 เดือน ถ้าจานวนหนู ณ จุดเริ่มต้นเท่ากับ
150 ตัว
1.2 เมื่อไรจานวนหนูของเมืองนี้จะเป็น 3000 ตัว
2. สมพรต้องการฝากเงินแบบพิเศษ 5 ปี เป็นจานวน 400,000 บาท โดยมีธนาคาร 2 ธนาคารให้
ข้อเสนอดังนี้
ธนาคาร A คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 3 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.5
ต่อปี
ธนาคาร B คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 4 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.65
ต่อปี
ธนาคาร C เสนอผลตอบแทนร้อยละ 4 ต่อปี แต่คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกเดือน
จงหาว่าสมพรควรจะเลือกธนาคารใด จึงจะได้ผลตอบแทนสูงสุด
3. ฝากเงินแบบพิเศษกับธนาคาร 300,000 บาท โดยธนาคารให้เลือกฝาก 3 แบบ ดังนี้
ก. อัตราดอกเบี้ย 4.45 คิดทบต้นทุก 3 เดือน
ข. อัตราดอกเบี้ย 4.25 คิดทบต้นทุกเดือน
ค. อัตราดอกเบี้ย 4.05 คิดทบต้นทุกวัน
แบบใดให้ผลตอบแทนเมื่อสิ้นปีสูงสุด
38

40. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
คาตอบ
1. 1.1 193 ตัว 1.2 2 เดือน 26 วัน
2. A (500, 300.21) , B (503, 800.86) , C (488, 398.64) เลือกธนาคาร B
3. ก (313, 574.43) , ข (313, 001.31) , ค (312, 398.69) เลือกแบบ ก.
39

41. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
40

42. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
41

43. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
42

44. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
43

45. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดระคน
3x 1 x
1. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (2 )(5 ) 800
1. ( , 2] 2. [ 5, )
3. ( , 2 ] [ 5, ) 4. [ 2, 5 ]
x x x
2. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 4 5 6 2.9 0
1. ( , log 2 3 ] 2. [ log 2 3, )
3. ( , log 3 3 ] 4. [ log 3 3, )
2 2
1 1
3. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3
x
12 3
2x
27 0 เป็นสับเซตของเซตใด
1. ( , 2 ] [ 3, ) 2. ( , 1) (1, )
1 1 1
3. ( , ) [ , ) 4. ( , ] (2, )
3 2 4
2
x (x 2) x
1 1
4. เซตคาตอบของอสมการ 3
คือเซตในข้อใด
5 5
1. ( 2, 0) (1, ) 2. ( 3, 0) (2, )
3. ( , 3) ( 3, 1) 4. ( 3, 0) (1, )
3 2x 1 x
5. เซตคาตอบของอสมการ 3 1 4 3 คือเซตในข้อใด
1. [1, 2 ] 2. ( , 1] [ 2, )
3. ( , 2 ] [1, ) 4. [ 2, 1]
2x (x 1) x 2
1 1
6. เซตคาตอบของอสมการ เป็นสับเซตของข้อใด
e e
1
1. ( 1, 3) 2. ( , ) [1, )
3
3. ( , 2) (1, ) 4. ( 2, 4)
44

46. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
log5 x log5 7
7. เซตคาตอบของอสมการ 7 x 14 เป็นสับเซตของข้อใด
1. ( , 6) 2. ( 3, 5)
3. (5, ) 4. ( 1, 4)
8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
cos cos
ก. e 6
e 3
1 1
e e
ข. sin sin
3 6
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ถูก
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
9. กาหนดให้ 0 a b 1 และ 0 x y แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
x y x y
1. a b 2. a b
x y y x y x y
3. a a 4. a b
log (5x 4) log (2x 5)
10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (0.7) 0.7
0.7 0.7
คือเซตในข้อใด
log x log (2x 3)
1. x |4 3
4 3
2. x | log3 e(x 1)
log3 e
(x 2)
0
x 1 x 1
1 1
3. x |
3 9
n (3x 2) n (2x 1)
4. x | log3 e log3 e 0
45

47. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
46