1. Гурвалжин ба түүний
чанарууд

2. Гурвалжин
 Гурвалжин нь геометрийн үндсэн дүрсүүдийн нэг ба
гурван өнцөгтэй эсвэл оройтой бөгөөд гурван шулуун
талтай эсвэл ирмэгтэй олон өнцөгт юм.
 Евклидийн геометрт нэг шулууны дагуу үл орших
аливаа гурван цэгээр гурвалжинг тодорхойлдог.

3. C цэг
А цэг В цэг

4. Гурвалжины төрлүүд
 Гурвалжнуудыг тэдгээрийн талуудын харьцангуй
уртуудаар нь ангилж болдог.

5. Зөв гурвалжин
 Зөв гурвалжин гэдэг нь бүх талуудын уртууд нь
тэнцүү гурвалжинг хэлнэ. Зөв гурвалжин нь мөн зөв
өнцөгт олон талт дүрс юм. Тухайлбал бүх дотоод
өнцгүүд нь тэнцүү бөгөөд тодруулбал 60 байдаг. Энэ
нь зөв олон талт.

6. Зөв гурвалжин
B
A C

7. Адил хажуут гурвалжин
 Адил хажуут гурвалжин гэдэг нь хоѐр талуудын
уртууд нь тэнцүү гурвалжинг хэлнэ. Адил хажуут
гурвалжин нь хоѐр тэнцүү өнцөгтэй (тодруулбал хоѐр
тэнцүү талуудыг налсан өнцгүүд) байдаг. Зөв
гурвалжин нь адил хажуут гурвалжинд багтана. Харин
бүх адил хажуут гурвалжин зөв гурвалжин байж
чадахгүй.
 Адил хажуут гурвалжны оройн өнцгөөс гарсан өндөр,
медиан, биссиктрис нь давхцаж байрладаг.

8. Адилт хажуут гурвалжин
B
A C

9. Зөв биш гурвалжин
 Зөв биш гурвалжин гэдэг нь бүх талуудын
уртууд нь ялгаатай гурвалжинг хэлнэ. Зөв
биш гурвалжны дотоод өнцгүүд нь мөн
тэнцүү биш байна.

10. Зөв биш гурвалжин
B
A C

11.  Гурвалжнуудыг мөн тэдгээрийн дотоод өнцгүүдээр нь
ангилж болдог. Доор өнцгийн хэмийг ашиглан
тодорхойлов.

12. Тэгш өнцөгт гурвалжин
 Тэгш өнцөгт гурвалжин гэдэг нь нэг дотоод өнцөг нь
90 -тэй (Тэгш өнцөг) тэнцүү гурвалжинг хэлнэ. Тэгш
өнцгийн эсрэг талыг гипотенуз гэдэг ба энэ нь тэгш
өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал нь юм. Нөгөө хоѐр
талуудыг нь тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд гэнэ.

13. Тэгш өнцөгт гурвалжин
B
A C

14. Мохоо өнцөгт гурвалжин
 Мохоо өнцөгт гурвалжин гэдэг нь нэг дотоод
өнцөгийн хэмжээ нь 90 -ээс их байдаг гурвалжинг
хэлнэ (Мохоо өнцөг).

15. Мохоо өнцөгт гурвалжин
B
A C

16. Хурц өнцөгт гурвалжин
 Хурц өнцөгт гурвалжин гэдэг бүх дотоод
өнцгүүдийн хэмжээнүүд нь 90 -ээс бага байдаг
гурвалжинг хэлнэ (Хурц өнцөг). Зөв гурвалжин нь
хурц өнцөгт гурвалжин юм. Гэхдээ бүх хурц өнцөгт
гурвалжнууд нь зөв гурвалжин байж чадахгүй.

17. Хурц өнцөгт гурвалжин
B
A C

18. Элдэв талт гурвалжин
 Элдэв талт гурвалжин гэдэг нь өнцгүүд нь зөвхөн
90 -ээс их эсвэл бага гурвалжнуудыг хэлнэ. Тэгэхээр
тэгш өнцөг гурвалжнаас бусад бүх гурвалжинг үүнд
хамааруулж болно.

19. Элдэв талт гурвалжин
B
A C

20. Гурвалжны гурван оройгоос эсрэг
орших талдаа буулгасан медианууд нь
нэг цэгт огтлоно.
Медиан нь буусан талаа хоѐр тэнцүү
хэсэгт хуваадаг.

21. Гурвалжны гурван оройгоос эсрэг
орших талдаа буулгасан өндрүүд нь
нэг цэгт огтлоно.
Өндөр нь буусан талдаа
перпендикуляр байна.

22. Гурвалжны гурван оройгоос эсрэг
орших талдаа буулгасан
биссиктрисүүд нь нэг цэгт огтлоно.
Биссиктрисс нь өнцгийг таллан
хуваана.

23. Тойргийг багтаасан гурвалжин
Тойргийг багтаасан гурвалжны
тойрогтой шүргэлцсэн цэгүүдээр
хуваагдсан талууд нь эсрэг орших
талуудтайгаа тэнцүү байна.

24. Тойргийг багтаасан гурвалжны
оройн өнцгүүдийн биссиктисүүдийн
огтлолцол тойргийн төвтэй
давхцана.

25. Тойрогт багтсан тэгш өнцөгт
гурвалжин
Тойрогт багтсан тэгш өнцөгт
гурвалжны гипотенуз нь тойргийн
төвөөр хагаслан хуваагдана.

26. Үндсэн чанарууд
 Гурвалжны үндсэн чанаруудыг МЭӨ 300 жилийн орчимд Евклидийн
Элементүүд номын 1-4-р ботиудад харуулсан байдаг. Гурвалжин нь
олон талт мөн 2-симплекс юм. Бүх гурважнууд нь хоѐр хэмжээст дүрс
юм.
 Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 хэм байдаг. Гурвалжны гадаад
өнцөг (дотоод өнцөгтэй хамар өнцөг) нь нөгөө хоѐр дотоод өнцгүүдийн
нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байдаг. Бусад бүх гүдгэр олон талтын адил
гурвалжны бүх гадаад өнцгийн нийлбэр 360 хэм байдаг.
 Гурвалжны дурын хоѐр талын уртуудын нийлбэр нь нөгөө талынхаа
уртаас үргэлж их байдаг (хамгийн багадаа тэнцүү байна). Үүнийг
гурвалжны адил биш чанар гэдэг. (Тэнцүү байх тохиолдолд хоѐр нь
өнцөг нь тэг хэм болох бөгөөд гурвалжин нь шугаман сегмент болон
хувирна.)

27.  Хэрэв хоѐр гурвалжны харгалзах өнцгүүд нь тэнцүү
бол уг хоѐр гурвалжинг төсөөтэй гэдэг. Энэ
тохиолдолд эдгээр хоѐр гурвалжны харгалзах
талуудын уртууд нь пропорциональ байна. Жишээлбэл
хоѐр гурвалжин нь нэг дотоод өнцөгтэй бол тэр
өнцгийн эсрэг талууд нь хоорондоо параллель байна.

28. Төсөөтэй гурвалжин
B E
А C D F
Энд АBC~ DEF

29. Үндсэн чанарууд
 Төсөөтэй хоѐр гурвалжны талаар цөөн хэдэн постулат болон
теоремууд байдаг:
 Хэрэв хоѐр гурвалжны дор хаяж харгалзах хоѐр өнцгүүд нь
хоорондоо тэнцүү бол тэдгээр гурвалжнууд нь төсөөтэй байна.
 Хэрэв хоѐр гурвалжны хоѐр талын уртууд нь харгалзан
пропорциональ, мөн тэдгээрийн хоорондын өнцгүүд нь тэнцүү
бол тэдгээр гурвалжнууд нь төсөөтэй байна.
 Хэрэв хоѐр гурвалжны гурван талын уртууд нь харгалзан
пропорциональ байвал тэдгээр гурвалжнууд нь төсөөтэй байна.
 Хоѐр гурвалжны харгалзах өнцөг бүр, мөн тал бүрийн уртууд нь
хоорондоо тэнцүү бол тэдгээр гурвалжнуудыг тэнцүү гэдэг.
(Нийт 6 ширхэг). Тэнцүү гурвалжны талаар цөөн хэдэн постулат
болон теоремууд байдаг:

30.  ТӨТ Постулат: Хэрэв хоѐр гурвалжны харгалзах талууд нь
тэнцүү, мөн тэдгээрийн хоорондын өнцгүүд нь тэнцүү бол
хоѐр гурвалжин тэнцүү байна.
 ТТТ Постулат: Хэрэв хоѐр гурвалжны бүх талууд нь
харгалзан тэнцүү бол хоѐр гурвалжин тэнцүү байна.
 ӨТӨ Постулат: Хэрэв хоѐр гурвалжны хоѐр өнцөг,
тэдгээрийн хоорондын талууд нь харгалзан тэнцүү бол
хоѐр гурвалжин тэнцүү байна.
 ӨӨТ Теорем: Хэрэв хоѐр гурвалжны хоѐр өнцөг, аливаа нэг
тал нь харгалзан тэнцүү бол хоѐр гурвалжин тэнцүү байна.

31.  Гипотенуз-Катетын теорем: Хэрэв хоѐр тэгш өнцөгт
гурвалжины гипотенуз болон аль нэг катет нь харгалзан
тэнцүү бол тэдгээр хоѐр тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь
тэнцүү байна.
 Тэгш өнцөгт гурвалжин болон төсөөтэйн зарчмыг ашиглан
тригонометрийн функцууд болох синус, косинусыг
тодорхойлж болдог. Эдгээр нь тригонометрт судлагддаг,
өнцгийн функцууд юм.
 Евклидийн геометрт гурвалжны дотоод өнцгүүдийн
нийлбэр 180 байдаг. Үүгээр гурвалжины хоѐр өнцөг нь
мэдэгдэж буй үед нөгөө өнцгийг нь тодорхойлох
боломжтой болдог.

32. Пифагорын теором
Гол теором болох Пифагорын теорем нь аливаа тэгш
өнцөгт гурвалжны гипотенузын уртын квадрат нь нөгөө
хоѐр талынхаа уртуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү
байдаг гэсэн теорем юм. Хэрэв гипотенузын урт нь c, хоѐр
катетын уртуудыг a болон b гэвэл нь теорем нь
 c2=a2+b2

33.  Урвуу нь ч мөн үнэн буюу хэрэв гурвалжны талуудын уртууд дээрх
тэгшитгэлийг хангаж байвал гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин
болно.
 Тэгш өнцөгт гурвалжны зарим нэг чанарууд:
 Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр 90 хэм байдаг.
 Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь тэнцүү байвал катетуудын
эсрэг талын өнцгүүд мөн тэнцүү байх бөгөөд улмаар нийлбэр нь 90
хэм учир өнцөг бүр нь 45 хэм байна. Пифагорын теорем ѐсоор
гипотенузын урт нь катетын уртыг хоѐроор үржүүлж язгуур авсантай
тэнцүү байна.
 Хурц өнцгүүд нь 30 болон 60 хэм байх тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд
гипотенуз нь хамгийн богино катетын уртаас хоѐр дахин их байдаг.
 Бүх гурвалжны хувьд талууд болон өнцгүүдийн харилцан шүтэлцлийг
косинусын теорем болон синусын теоремоор илэрхийлнэ.

35. Синусын теором

36. Косинусын теором

37. Героны томъёо

38. Гурвалжны талбай олох
томъёонууд
S = P/r
S = abc/4R

39. Мэтгэлцээнд оролцож байгаа
бүх ангиуддаа амжилт хүсье