El documento presenta el capítulo 2 sobre la integral definida. Introduce las sumas con notación sigma y define la integral definida como el límite de la suma de Riemann de una función cuando el número de rectángulos tiende a infinito. Explica propiedades como la linealidad y aditividad de la integral definida y concluye calculando un ejemplo de área bajo una curva.

1. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
53
2
2.1. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
2.2. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA
2.3. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
2.5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
2.5.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
2.5.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
2.5.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
2.5.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
2.5.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
2.5.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
2.5.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
2.5.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA
INTEGRAL
OBJETIVO:
Calcular integrales definidas aplicando teoremas y
propiedades

2. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
54
Primero estudiemos una notación para la suma de una secuencia de números
que, notación que la emplearemos en la definición de la integral definida.
2.1 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
Sea la secuencia de números 1a , 2a , naa ,3
. La suma de estos números,
puede ser expresada empleando el símbolo sigma,  , una notación que denota
abreviación:


n
i
in aaaaa
1
321 
Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una
suma infinita.
Ejemplo 1
   
4321
4
1
2
17
4
10
3
5
2
2
1
1


 iiiii
i
i
Ejemplo 2




1
4321
n
nn 
2.1.1 Propiedades
Sean  ia y  ib dos sucesiones y sea C una
constante, entonces
1.  

n
i
i
n
i
i
aCCa
11
2.    

n
i
i
n
i
i
n
i
ii
baba
111

3. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
55
Demostración.
1. La demostración es muy sencilla.
 
1 2
1
1 2
1
n
i n
i
n
n i
i
Ca Ca Ca Ca
C a a a C a


   
    


2. Igual como la anterior.
       
   
1 1 2 2
1
1 2 1 2
1 1
n
i i n n
i
n n
n n
i i
i i
a b a b a b a b
a a a b b b
a b

 
       
       
 

 
Análogamente sería la de la diferencia
Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:
1.
1
;C
n
i
C nC

 
2.
 
2
1
4321
1


nn
ni
n
i

3.
  
6
121
321 2222
1
2 

nnn
ni
n
i

4.
  2
3333
1
3
2
1
321 


 

nn
ni
n
i

5.
  
30
1961
321
23
4444
1
4 

nnnnn
ni
n
i

¡No olvide demostrarlas!

4. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
56
2.2 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA
Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área
bajo una curva )(xfy  .
El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a esta
problemática.
Dividiendo la región en " n " rectángulos. Observe la figura 2.2
Fig. 2.1
Fig. 2.2
x
y
1x
 1f x
 2f x
 3f x
 nf x
1x 2x 2x nxa b
0x 1x 2x 1nx 3x nx
2x 3x nx
 y f x
a b
x
y
 y f x

5. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
57
Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las
alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en
la función f con el punto (observe la figura 2.2) que se ha denotado como x . El
área del primer rectángulo sería 1 1 1( )A f x x  , el área del segundo rectángulo
sería 2 2 2( )A f x x  ; y así, el área del n-ésimo rectángulo sería ( )n n nA f x x  .
Observe que si tomamos 1 1x x , 2 2x x , 3 3x x , …, i ix x , se tienen
rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 1 0x x , 2 1x x , 3 2x x , …,
1i ix x  se tendrían rectángulos inscritos.
La suma de las áreas de los n rectángulos sería:
       1 1 2 2 3 3 n nf x x f x x f x x f x x       
Que de manera abreviada tenemos:
 
1
n
i i
i
f x x


Esta suma es llamada SUMA DE RIEMANN para f .
Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una
suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma
infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:
 
1
n
i i
n
i
A lím f x x


 
  
  

De lo anterior surge la definición de Integral Definida.
Sea f una función definida en el intervalo  ba, .
Al  
1
lím
n
i i
n
i
f x x


 
 
  
 se le denomina la Integral
Definida (o Integral de Riemann) de f desde "a "
hasta "b" y se denota como

b
a
dxxf )( . Es decir:

6. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
58
 
1
lím ( )
bn
i i
n
i a
f x x f x dx


 
  
  
 
Además, si existe este límite decimos que f es
integrable en  ba, .
Observe que para obtener esta definición se partió del cálculo del área de una
región que estaba limitada superiormente por una función positiva (algunos autores
dicen el área bajo una curva), pero la definición es general; es decir la función
también podría ser no positiva en algún subintervalo de  ba, , en este caso ya no
representaría el área. Más adelante trataremos el cálculo de áreas de regiones
planas generales y allí se indicará como utilizar la Integral Definida para que su
resultado represente un área. Por ahora nuestra intención es estudiar esta
definición y dejar indicada sus propiedades.
Regresando a la definición, surge una interrogante ¿cuándo una función es
integrable?. Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando
una función es integrable.
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva
2
)( xxf  en  3,1
SOLUCIÓN:
Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:
1 1 2 2 3 3
1
lím ( ) lím[ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
n
i i n n
n n
i
A f x x f x x f x x f x x f x x
 

          

PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.
Escogemos 1 1x x , 2 2x x , 3 3x x , …, i ix x
Representando la región, tenemos:
0x 1x 2x nx
x x x
2
y x
Fig. 2.4

7. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
59
Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos:
nnn
ab
x
213





y
10  ax
n
xxx
2
101 
nn
xxxxx
4
1
2
212012 





 ,
nn
xxxxx
6
1
2
313023 














n
ixixixxi
2
110
Entonces:
        
3
26
3
4
3
88
6
3
2
2
3
4
23
2
3
264
23
2
3
)12)(1(2
)1(2
2
6
)12)(1(4
2
)1(42
44
1
2
44
1
2
22
1
)(
2
2
2
1
2
2
11
1
2
2
1
2
1
321






















 






 






 














































A
nn
lím
n
n
n
n
lím
n
nn
n
n
lím
n
nn
nn
n
lím
nnn
n
nn
n
n
n
lím
i
n
i
nn
lím
n
i
n
i
n
lím
nn
ilím
xxflím
xxfxxfxxfxxflímA
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
n


8. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
60
0x 1x 2x nx
x x x
2
y x
1nx
SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS.
Escogemos 1 0x x , 2 1x x , 3 2x x , …, 1i ix x 
Representando la región, tenemos:
Ahora, igual que el método anterior:
n
x
2
 y 






n
ixi
2
1
Entonces:
       
 
   
0 1 2 1
1
0
21
0
1
2
2
0
1 1 1
2
2
0 0 0
2
( )
2 2
1
2 4 4
1
2 4 4
1
1 ( ) 21 ( )2 4 4
1
2
n
n
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n n n
n
i i i
n
A lím f x x f x x f x x f x x
lím f x x
lím i
n n
lím i i
n n n
lím i i
n n n
n nn n
lím n
n n n











  

  

         
 
 
  
 
 
   
 
 
   
 

   



  
 
2
2
1 1
6
2 2( 1)(2 1)
1 2( 1)
3
2 4 6 2
3 3
3
2 4 2
3 3 2
3 3
10 8 4
6
3 3
26
3
n
n
n
n
n
n n
lím n n
n n
n n
lím n
n n
n
lím n
n n
lím
n n
A




    
 
  
  
     
 
  
   
 
 
     
 
 
    
 

Fig. 2.5

9. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
61
2.3 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Si f es acotada en  ba, y si f es continua a
excepción de un número finito de puntos,
entonces f es integrable en  ba, . En particular
si f es continua en todo  ba, entonces es
integrable en  ba,
Es decir, si tratamos con una función que esté definida en intervalos, que sea
continua en intervalos, como la de la fig. 2.3; podemos pensar que será cuestión de
dedicarse al cálculo del área (Integral Definida) de cada subregión que se forme.
.
Es importante anotar que la función además de ser continua en intervalos debe
ser acotada. Las regiones formadas por funciones no acotadas las trataremos en
capítulo aparte.
Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más engorroso si la
función f tuviese regla de correspondencia compleja.
El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera
muy rápida y sencilla, liberándonos de la idea de calcular integrales definidas
empleando su definición.
Fig. 2.3

10. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
62
2.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f una función continua en el intervalo
 ba, y sea F cualquier antiderivada de f
en  ba, entonces:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a 

Demostración:
En la expresión )()( aFbF  , haciendo nxb  y 0xa  tenemos:
)()()()( 0xFxFaFbF n 
Restando y sumando términos, resulta:
     
 






n
i
ii
nnnnn
n
xFxF
xFxFxFxFxFxFxFxF
xFxFaFbF
1
1
0112211
0
)()(
)()()()()()()()(
)()()()(

Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a F en el intervalo  ii xx ,1
Como F es continua y diferenciable en  ii xx ,1 entonces ix tal que
 
1
1)(
)´(





ii
ii
i
xx
xFxF
xF
Como )()´( ii xfxF  y iii xxx  1 entonces:
 
i
ii
i
x
xFxF
xf


 1)(
)(
Despejando resulta:   iiii xxfxFxF   )()( 1 .
Reemplazando en  


n
i
ii xFxFaFbF
1
1)()()()( tenemos:


n
i
ii xxfaFbF
1
)()()(

11. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
63
Tomando límite queda:
 








b
a
n
i
ii
n
n
i
ii
nn
dxxfxxfaFbF
xxfaFbF
)()(lím)()(
)(lím)()(lím
1
1
La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de f en  ba, .
Por tanto

b
a
dxxfaFbF )()()( L.Q.Q.D.
El teorema indica que para calcular una Integral Definida debemos hallar la
antiderivada de la función y evaluarla en el límite superior y restarle la antiderivada
evaluada en el límite inferior. El cálculo de antiderivadas ya lo presentamos en el
capítulo anterior y lo dejamos explicado allí para ahora fluir con las aplicaciones de
la Integral Definida.
Ejemplo
Calcular dxx

3
1
2
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
3
26
3
1
3
27
3
1
3
3
3
33
3
1
3
3
1
2



















 CCC
x
dxx
Hemos dado solución a una gran problemática.
Observe que 0)( 
a
a
dxxf y
 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ¿Porqué?

12. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
64
Ejercicios propuestos 2.1
1. Utilizando la definición de la integral definida, calcule:
a.  
4
2
1
2x x dx

b.  
3
2
1
2x x dx



c.
b
a
xdx

d.
2
b
a
x dx

2. Calcular las siguientes integrales definidas:
1.  
1
2
0
2 1x dx

2.
  

1
0
22
14
2
dx
xx
x
3.  
 
2
1
0
2sen dxx
4.   
 
1
0
33cos3 dxxx
5.

2
4
1
ln
dx
x
x
6.

2
4
1
lnxdx
7.  
 
2
1
2
2ln23 xdxx
8.
 
1
0
2
252
3
dx
xx
9.    2
1
2 3 ln
e
x x x dx 

10.



1
2
1
e
dx
x
x
11.


4
0
2
3cos xdx
12.
5
2
4
4 2
3
x x
dx
x
 

13.
 

4
3
3
2
4
12
dx
xx
xx
14.
0
cosx
e xdx



15.  
1
0
ln 1 x dx

16. dxx
 
5
0
2
9

13. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
65
Bien, ya aprendimos a calcular Integrales Definidas, ahora dediquémonos a
estudiar sus propiedades.
2.5 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
2.5.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Suponga que f y g son integrables en el
intervalo  ba, y sea k  , entonces:
1.      ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx  
  
2. ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
 
Igual que para la Integral Indefinida.
2.5.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
Si f es integrable en un intervalo que
contiene a los puntos a, b y c (no importar
su orden), entonces:
 
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Esta propiedad es útil cuando se trata con funciones que son continuas en
intervalos. Ya mostramos esta inquietud anteriormente.
Fig. 2.6

14. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
66
Demostración:
Por el teorema fundamental del cálculo:
 
b
a
b
c
c
a
dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()(
PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?
 
3
5
2
5
1
2
3
1
2
dxxdxxdxx
Ejemplo 1
Calcular

5
1
)( dxxf donde






3;13
3;12
)( 2
xxx
xx
xf
SOLUCIÓN:
Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir:
Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:
   
    
3
38
395251
2
3
3
1
3
2
27
9
2
2
2
3
3
1213)(
5
3
2
3
1
23
5
3
3
1
2
5
1







































x
x
x
xx
dxxdxxxdxxf

15. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
67
Ejemplo 2
Calcular 

4
2
21 dxx
SOLUCIÓN:
Para obtener las reglas de correspondencia que definen a f , obtenemos la gráfica de 21  xy
Entonces:
       
   
5
9
2
9
1283
2
1
9
2
9
1
2
1
1
2
1
221
2
1
3
2
3
222
331121
4
3
2
3
1
2
1
1
2
1
2
2
4
3
3
1
1
1
1
2
4
2










































































































x
x
x
x
x
x
x
x
dxxdxxdxxdxxdxx
2.5.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
Si f y g son integrables en  ba, y si
)()( xgxf  ,  bax , ; entonces:
dxxgdxxf
b
a
b
a
  )()(
2.5.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
Si f es integrable en  ba, y si
Mxfm  )( ,  bax , ; entonces:
  )()( abMdxxfabm
b
a
 
Fig. 2.7

16. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
68
2.5.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
Supóngase que g tiene una derivada
continua en  ba, y sea f continua en el
rango de g . Entonces:






)(
)(
)()´())((
bgt
agt
bx
ax
dttfdxxgxgf
donde )(xgt 
Ejemplo
Calcular



4
9
2
2
cos
dx
x
x
SOLUCIÓN:
Tomando el cambio de variable xt  entonces tenemos dtxdx 2 , y para los límites de integración








39
24
2
2
tx
tx
por tanto la integral en términos de t sería:
  32
2
3
212
sen2sen2sen2cos22
cos
32
2
3
2
3
2
3

 





 ttdtdtx
x
t
Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la propiedad de
sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de las integrales
indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.

17. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
69
2.5.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
1. Si f es una función PAR entonces:
dxxfdxxf
aa
a
)(2)(
0
 

2. Si f es una función IMPAR entonces:
0)( 

dxxf
a
a
Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma análoga y se
recomienda al lector que la realice.
Demostración
Aplicando la propiedad de aditividad dxxfdxxfdxxf
a
a
a
a
)()()(
0
0
 

Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:
Si tomamos el cambio de variable xt  entonces dxdt  y para los límites de integración





atax
tx 00
. Sustituyendo resulta  
 
00
)()(
aa
dttfdttf
Por hipótesis f es una función par, por tanto se cumple que )()( tftf  y además si invertimos
los límites de integración, tenemos:
 
a
a
dttfdttf
0
0
)()(
la última integral si xt  queda  
 
a
a
dxxfdttf
0
0
)()(
Finalmente dxxfdxxfdxxfdxxf
aaaa
a
)(2)()()(
000
 

L.Q.Q.D.
La propiedad para la función par es muy utilizada en el cálculo de áreas de
regiones simétricas, lo veremos en la próxima sección.

18. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
70
Ejemplo
Calcular dx
x
x


5
5
2
5
4
SOLUCIÓN:
Obtengamos primero )( xf  para
4
)( 2
5


x
x
xf .
44)(
)(
)( 2
5
2
5





x
x
x
x
xf
Observe )()( xfxf  , por tanto f es una función impar y por la propiedad de simetría, rápidamente
concluimos que:
0
4
5
5
2
5


dx
x
x
2.5.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
Si f es periódica con período T , entonces:
 


b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()(
Demostración
En la integral



Tb
Ta
dxxf )( , haciendo cambio de variable Txt  .
Del cambio de variable se obtiene Ttx  , dtdx  y los límites para la nueva variable son:





atTax
btTbx
Reemplazando, resulta:
 


b
a
Tb
Ta
dtTtfdxxf )()( y como, por hipótesis, f es una función
periódica se cumple que )()( tfTtf  , entonces
 
b
a
b
a
dttfdtTtf )()(
Que finalmente, si xt  quedaría
 


b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()( L.Q.Q.D.

19. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
71
2.5.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL
Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del Cálculo.
Sea f continua en  ba, y sea "x " un punto
variable de ),( ba . Entonces:
)()( xfdttf
dx
d x
a





Ejemplo 1
Calcular









x
x dt
t
t
D
2
2
2
3
17
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que:
1717 2
2
3
2
2
2
3












 x
x
dt
t
t
D
x
x
Ejemplo 2
Calcular









2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:
1717 2
2
3
2
2
2
3














 x
x
dt
t
t
D
x
x
La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera:
 
dx
du
ufdttf
dx
d
xu
a
)()(
)(













20. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
72
Ejemplo 3
Calcular











3
2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad, concluimos que:
 
 
 
17
3
3
1717 6
2
13
2
23
2
3
3
2
2
2
3
3
















 x
x
x
x
x
dt
t
t
D
x
x
Ejemplo 4
Calcular











3
2
172
2
3x
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que:




























  
0
0
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
33
2
171717
x
x
x
x
x
x dt
t
t
dt
t
t
Ddt
t
t
D
Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:
 
 
 
 
)3(
17
)2(
17
1717
17171717
2
23
2
3
3
22
2
3
2
0
2
2
3
0
2
2
3
0
2
2
3
0
2
2
3
0
0
2
2
3
2
2
3
32
3
22
3
x
x
x
x
x
x
dt
t
t
Ddt
t
t
D
dt
t
t
Ddt
t
t
Ddt
t
t
dt
t
t
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x










































































 
FINALMENTE:
17
2
17
3
17 4
4
6
2
13
2
2
3
3
2
















 x
x
x
x
dt
t
t
D
x
x
x

21. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
73
Ejemplo 5
Calcular









x
x xtdtD
1
SOLUCIÓN:
Observe que
 
xx
tdtxxtdt
11
por tanto:
 
   
 
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
11
11






























































x
x
x
x
t
xxtdt
tdtDxtdtxD
tdtxDxtdtD
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ejemplo 6
Calcular
x
dtt
x
x
 

0
2
0
1
lím
SOLUCIÓN:
La expresión presenta una indeterminación de la forma:
0
0
Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos:
 
1
1
01
1
1
lím
1
lím
22
0
0
2
0

















 x
xD
dttD
xx
x
x
x

22. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
74
Ejercicios Propuestos 2.2
1. Calcular
1.   ,
3
2

dxxf si  







31,21
12,2 2
xx
xx
xf
2.   ,
3
3

dxxf si  







1,21
1,2
xx
xx
xf
3.   ,
3
5

dxxf si  







2,
2,32 2
xx
xx
xf
4.
 
4
0
1 dxx
5.


5
2
3 dxx
6.


4
2
13 dxx
7.


2
1
12 dxx
8.  dxxx


4
2
213
9. dxx


5
2
22
10. dxx


5
2
112
11.
10
0
x dx

12.  
4
0
x x dx

13.
 
1
3
42
1
1
x
dx
x


14.  
100
2 97 3
100
3x sen x x dx



2. Si  
7
1
8f x dx 
 y  
2
7
2f x dx  
 hallar  
2
1
f x dx

3. Si  
8
1
7f x dx 
 y  
8
3
3f x dx  
 hallar  
3
1
f x dx

4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa
de un contraejemplo.
a. Si    xgxf  en      
 
b
a
b
a
dxxgdxxfba ,,
b.    

99
0
2
99
99
23
2 dxbxdxcxbxax
c. Si f es periódica con período T, entonces:    
 


b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf

23. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
75
d. f ,    




a
b
b
a
dxxfdxxf
e. Si f es una función par  aax , , entonces  
 

aa
a
dxxfdxxf
0
)(2
f. Si    xgxf  en  ba, , entonces    
 
b
a
b
a
dxxgdxxf
g. Si              aGbGaFbFbaxxGxF  ,,
h. Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f . Entonces
       
  CxgFdxxgxgf
5. Encuentre f  si f toma las siguientes reglas de correspondencia:
a. dt
t
xx
 
lnsen
0
1
1
b. dtt
xx
tanxx
 
sec2
ln
3 5
3
1
c. dt
t
xx
e
xxe
 
3
secln
2
1
d.



xx
x
dt
t
t
sen
4 5
3
2
1
2
e.
 
 



tanxx
x
dt
tt
t
sen
1ln
3
3
2
sencos
1
f.
 

2
3
2
log6
cos1
sen1
x
x
dt
t
t
6. Determine:
a.
 
3
0
2
0
lim
x
dttsen
x
x


b.
1
lim 1
1 


 x
dtsent
x
x
c.
2
0
2
2
51 










x
t
dt
dx
d

24. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
76
Misceláneos
1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su
respuesta.
a) Si ´f es una función continua en el intervalo  ba, entonces
   
 
b
a
afbfdxxfxf 22
)()()´()(2
b) Si 0)( 

b
a
dxxf entonces 0)( xf para  bax ,
c) Si f es una función continua en , entonces:
   2
2
1
)(
2
xf
x
arctgxf
dxxf
dx
d
arctgx
x
















d)
 1
0
1
;
2
n
n n
x dx n


 
e) Si f y g son funciones impares y continuas en , entonces    0
5
5


dxxgf 
f) 4
4
4
121
2
xxdttD
x
x 














g)








2
2
434
6415
2
dxxxxex x
h) Si f y g son funciones continuas en el intervalo  1,0 entonces
       
 
1
0
1
0
11 dxxgxfdxxgxf
i) Si 0)( 

b
a
dxxf entonces 0)( xf para  bax ,
j)
 


2
2
2
0
4 senxdxdxsenx
k) Si 3)(
3
0

 dxxf y 7)(
4
0

 dxxf entonces 4)(
3
4

 dxxf
l)
 
1
0
2
1
0
1 dxxxdx
m) Si f es una función continua en tal que para cualquier número real x ,
2 2
( ) ( ) 0
x x
x x
f t dt f t dt

   entonces f es una función impar.

25. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
77
n) Si F es una antiderivada de la dunción f , entonces
  dxxfxF )12()12(
o) Si f es una función continua en el intervalo  5,2 y 7)(
5
2

 dxxf entonces 7)(
5
2




dxxf
p) Si f es una función tal que 0cos3)(2
2
0

 dttxf
x
entonces xxxf cos3)´( 
q) Si f y g son funciones tales que x
xexf )( y )()( xgxf  para todo
 1,0x entonces  
 
1
0
1dxxg .
r) Si   1)(0,2,0  xfx entonces 1)(0
2
0

 dxxf
s) Si f es una función continua en el intervalo  10,0 y















2
3
0
2
1
)(
x
t
x dt
t
e
Dxf para
 10,0x entonces
3
5
3
)1´( ef  .
t)
 
 2
2
2
2
cos dxxdxsenx
u) 








 n
i
n
n
i
n
coslim
1
v)
2
coslim 2
1
0




i
n
i
p
x donde  ixmaxp  . p es una partición del intervalo  ,0 .
w) Si   1)(2
2
1
2


dxxxf , entonces 1)(
2
1


dxxf
x)
 
3
1
lim
2
3
0
2
0














xtg
dttsen
x
x
y) 1
2
lim 2
1
2
1










e
n
e
n
i
n
i
n
z)



 22
cos,,
b
b
a
a
xdxdxsenxRba

26. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida
78
2. Calcular
a.
 
3
0
0
cos1
lim
x
dtt
x
x
 

b.
  
2
1
2
3
2
6
1
dx
x
c.

2
0
32
cos

xdxxsen
d.
 
2
1
2
22
3
dx
xx
e.
 
6
0
2
0
2
lim
x
dttsen
x
x


f.  
3
0
2x x dx

g.  


3
2
21 dxxxx
h.
 
5
1
12
1
dx
x
i.
 

4
2
3
4
dx
xx
x
j.
 
5ln
2ln
2
16
12
dt
e t
k.  


21
2
312 dxx
l.


3
2
32 dxx
m.




2
2
2
cos1
dx
x
n.
 
3
0
2
0
2
1
lim
x
dt
t
tsen
x
x
 

o.


4
3
32
dxe
x
p.
  dxe
x
xsen x











2
2
2
3
1
3. Si f es una función tal que    
3
32
,56489)(
x
t
IRxdtettxf . Determine los intervalos donde el
gráfico de f es cóncava hacia arriba.
4. Si f y g son funciones tales que 3)(
4
1

 dxxf , 2)(
7
4

 dxxf y 6)(3
7
1

 dxxg , entonces calcule el
valor de  
 
1
7
)()(5 dxxgxf