1. Universidad Técnica Particular de Loja
Escuela de Electrónica y Telecomunicaciones
Procesamiento de Señales
Generador de Señales Seno y Coseno en un
Microcontrolador
INTEGRANTES: Katherine Ivanova Remache Santamaría
Carlos Alfredo Romero León
1
2. Generador de Señales Seno y Coseno en un
Microcontrolador
RESUMEN
En el presente proyecto trata, sobre una forma de generar señales seno y coseno en un
microcontrolador, para la generación de las señales senoidales y cosenoidales, primero
debemos generar los coeficientes que corresponden a cada señal en el microcontrolador
mediante las series de Taylor, también, con un mecanismo externo se modificara tanto
amplitud como frecuencia, dichos coeficiente los enviamos por un puerto de salida del
microcontrolador, la cual va a estar conectada a una DAC que se encargara de procesar los
datos recolectados, y logrando así obtener la onda deseada.
OBJETIVOS
Objetivo general.- El objetivo principal del proyecto es generar señales seno y coseno en un
microcontrolador.
Objetivos específicos.- Dentro de los objetivos específicos a alcanzar tenemos:
Dar a conocer una forma de generar señales seno y coseno.
Diseñar un sistema que permita generar señales seno y coseno, en un microcontrolador,
la cual se la podrá utilizar de acuerdo a la comodidad del usuario.
INTRODUCCIÓN
En el presente proyecto se analizan temas básicos relacionados a las series de Taylor,
el muestreo, el teorema de muestreo, cuantización y microcontrolador, debido a que estos
temas son de gran importancia para llevar a cabo los objetivos propuestos.
A. Series de Taylor
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente
diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias, el
polinomio siguiente se llama el polinomio de Taylor de grado n en x=a:
′ ′′
, = + !
− + !
− + !
− +⋯+ !
−
que puede ser escrito de una manera más compacta como:
2
3. ∞
= − ,
!
Donde: n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la
derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como
uno.
La diferencia f(x)-Pn,a(x se llama resto o Error, y se designa por Pn,a (x)
, = − , ⇒ = , + ,
1) Teorema de Taylor:
1. Si f es una función con derivada n-ésima en x=a, se cumple
lim →∞
,
=0
2. Si en un entorno E(a) existe fn+1(x), entonces ∀ ∈ existe algún c, comprendido
entre a y x, tal que
Formula de Lagrange
, = −
+1
Con lo que el desarrollo de Taylor con el residuo de Lagrange queda así:
′ ′′
= + − + − + ⋯+ −
1! 2! !
+ −
+1 !
Cuando a=0 se llama fórmula de Mac-Laurin
′
0 ′′
= 0 + + + ⋯+ +
1! 2! ! +1 !
Esta última expresión es el desarrollo de Mac-Laurin con el resto de Lagrange. [1]
2) Aproximación de la función sen(x)
Utilizando la series de Taylor con n=0 hasta n=5 para aproximar f(x)=sen(x) en el
punto x=0.
3
4. La expresión del polinomio de Taylor de grado 5 para f(x) en el punto x=0 viene dado
por:
′ ′′
= 0 + −0 + −0 + −0 + −0 +
! ! ! !
−0
!
Así calculamos la primera hasta la quinta derivada en el punto x=0, así como f(0)
obtenemos:
f(x) = sen(x) => f(0) = sen(0) = 0
f’(x) = cos(x) => f(0) = cos(0) = 1
f’’(x) = -sen(x) => f(0) = -sen(0) = 0
f3(x) = -cos(x) => f(0) = -cos(0) =-1
f4(x ) = sen(x) => f(0) = sen(0) = 0
f5(x ) = sen(x) => f(0) = sen(0) = 0
=0+ + − + +
! ! ! ! !
= − +
A continuación se presenta el código en matlab utilizando las series de Taylor para
generar los coeficientes de las funciones seno y coseno y el margen de error que se presenta
según el grado que se utilice de la serie de Taylor.
3) Código En Matlab
syms x
x=0:0.001:0.15;
frec=62.83; % frecuencia a 10hz debido a que w=2*pi*f de donde f=10
amplitud=15; % es la amplitud de la onda seno
tayl=amplitud.*((frec.*x-1/6.*frec.^3.*x.^3+1/120.*frec.^5.*x.^5-
1/5040.*frec.^7.*x.^7+1/362880.*frec.^9.*x.^9-
1/39916800.*frec.^11.*x.^11+1/6227020800.*frec.^13.*x.^13-
1/1307674368000.*frec.^15.*x.^15+1/355687428096000.*frec.^17.*x.^17-
1/121645100408832000.*frec.^19.*x.^19)) % funcion sen(x) construida con las series de
taylor
y=amplitud*sin(frec.*x) % función sen(x) dada ya por matlab
plot (x,y,x,tayl,'-.r') %graficar en la misma pantalla ambas gráficas
grid on % activar la grilla
%leyendas de las gráficas
h = legend('Función sen(x) dada','Función sen(x) con taylor',3);
set(h,'Interpreter','none')
%ubicación en el eje x
4
5. Xlabel({'MARGEN DE ERROR ENTRE FUNCIÓN SEN(X)}';'CONSTRUIDA CON
TAYLOR Y UNA FUNCIÓN SEN(X)DADA);
Fig. 1 Función seno
En el momento de hacer la serie de Taylor de mayor grado, va existir un menor
porcentaje de error, como se pudo observar en la grafica anterior, la serie de Taylor es de
grado 19, por lo que se puede concluir que si el grado es mucho mayor la onda roja va a ser
similar a la onda azul y por ende el grado de error también va a ser mucho menor.
4) Aproximación de la función cos(x)
Utilizando las mismas especificaciones de la señal anterior se obtiene:
f(x)=cos(x) => f(0)=cos(0)=1
f’(x)=-sen(x) => f(0)=-sen(0)=0
f’’(x)= -cos(x) => f(0)=-cos(0)=-1
f3(x)= sen(x) => f(0)= sen(0)=0
f4(x)= cos(x) => f(0)= cos(0)=1
f5(x)= -sen(x) => f(0)= -sen(0)=0
0 1 0 1 0
=1+ − + + +
1! 2! 3! 4! 5!
1 1
=1− +
2 24
5) Código en Matlab
syms x
x=0:0.001:0.15;
frec=62.83; % frecuencia a 10hz debido a que w=2*pi*f de donde f=10
5
6. amplitud=15; % es la amplitud de la onda seno
tayl=amplitud.*((1-1/2.*frec.^2.*x.^2+1/24.*frec.^4.*x.^4-
1/720.*frec.^6.*x.^6+1/40320.*frec.^8.*x.^8-
1/3628800.*frec.^10.*x.^10+1/479001600.*frec.^12.*x.^12-
1/87178291200.*frec.^14.*x.^14+1/20922789888000.*frec.^16.*x.^16-
1/6402373705728000.*frec.^18.*x.^18)) % funcion sen(x) construida con las series de
taylor
y=amplitud*cos(frec.*x) % función sen(x) dada ya por matlab
plot (x,y,x,tayl,'-.r') %graficar en la misma pantalla ambas gráficas
grid on % activar la grilla
%leyendas de las gráficas
h = legend('Función cos(x) dada','Función cos(x) con taylor',3);
set(h,'Interpreter','none')
%ubicación en el eje x
Xlabel({'MARGEN DE ERROR ENTRE FUNCIÓN SEN(X)}';'CONSTRUIDA CON
TAYLOR Y UNA FUNCIÓN COS(X)DADA'});
Fig. 2 Función coseno
6) Error de Truncamiento
Al agregar más términos a la serie, su valor resulta ser más exacto y obviamente
mientras menos términos posean, más inexacta es. El error de truncamiento muestra la
diferencia entre el valor aproximado y el real, esto significa que mientras más términos
tenga la serie, tal error es más pequeño. [2] y [3]
Etr=Valor real-Valor Aproximado.
B. Muestreo
El muestreo de señales es el primer paso en el procesamiento de señales discretas
(DSP). Para procesar una señal analógica por medios digitales, debemos convertirla en una
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7. señal digital en dos pasos. Primero, debemos muestrearla, en intervalos uniformes ts. La
cantidad discreta nts se relaciona con el índice entero n. Luego debemos cuantizar los
valores de la muestra (amplitudes). Tanto el muestreo como la cuantización conducen a una
pérdida potencial de información. Sin embargo la señal puede muestrearse sin pérdida de
información si es de banda limitada a una frecuencia más alta fB y muestreada a intervalos
menores que . Este es el célebre teorema de muestreo. Si el intervalo de muestreo supera
el valor critico , un fenómeno conocido como alias se manifiesta por sí solo.
Componentes de la señal analógica a altas frecuencias aparecen (por el alias) a bajas
frecuencias en la señal muestreada. Esto resulta en una señal muestreada con una menor
frecuencia máxima. Los efectos de alias son imposibles de suprimir una vez que se
adquiere las muestras. Por ello es común limitar la banda de la señal antes del muestreo
(empleando filtro pasa-bajas).
Debemos limitar las amplitudes de la señal a un número finito de niveles. Este proceso
se denomina cuantización, produce efectos no lineales que pueden describirse en métodos
estadísticos. La cuantización conduce a sí mismo a una perdida reversible de información y
se considera casi siempre solo en la etapa final de cualquier diseño.
1) Alias y el teorema de muestreo
La señal muestreada debe ser una representación única de la señal analógica. Para una
senoide x(t)=cos(2πfot+θ), una velocidad de muestreo S >2fo asegura que la frecuencia
digital de la señal muestreada caiga en el periodo principal -0.5 ≤ F ≤ 0.5 y permita una
correspondencia única con la señal analógica subyacente.
De manera general, el teorema de muestreo afirma que para una correspondencia única
con la señal analógica y la versión reconstruida a partir de sus muestras (empleando la
misma velocidad de muestreo), la velocidad de muestreo debe exceder dos veces la
frecuencia más alta de la señal fmáx. La velocidad critica S=2fmáx se llama velocidad de
Nyquist y = recibe el nombre de intervalo de Nyquist. Para la senoide
x(t)=cos(2πfot+θ), la velocidad de Nyquist es SN=2fo=2/T y corresponde a tomar dos
muestras por periodo (debido a que el intervalo de muestreo es TS=T/2 ).
El fenómeno, donde una senoide reconstruida aparece a una frecuencia inferior que la
original, se denomina creación de un alias.
C. Cuantización
Cuantizar es redondear o truncar las amplitudes de la señal para reducirlas a un
conjunto finito de valores. Puesto que la cuantización solo afecta a la amplitud de la señal
para reducirlas a un conjunto finito de valores.
7
8. Puesto que la cuantización solo afecta a la amplitud de la señal, es posible cuantizar
señales analógicas y de tiempo discreto. Las señales cuantizadas de tiempo discreto se
conocen como señales digitales.
Cada muestra cuantizada está representada por un grupo (palabras) de ceros y unos
(bits) que pueden procesarse de manera digital. Cuanto más fina sea la cuantización, mayor
será la palabra. Al igual que sucede con el muestreo, la cuantización impropia conduce a
perdidas de información. Pero a diferencia de la muestra no importa cuán fina sea la
cuantización sus efectos son irreversibles, ya que las longitudes de la palabra son
necesariamente finitas.
1) Cuantizadores uniformes
Los cuantizadores son dispositivos que operan sobre una señal para producir un
número finito de niveles de amplitud o niveles de cuantización. La práctica común es
utilizar cuantizadores uniformes con niveles de cuantización iguales.
El número de niveles L de la mayor parte de los cuantizadores utilizados en un
convertidor analógico a digital es invariablemente una potencia de 2. Si L=2B, cada uno de
los niveles queda codificado en un número binario y cada valor de la señal queda
representado en forma binaria como una palabra de B bits, la cual corresponde a su valor
cuantizado.
La señal puede cuantizarse mediante redondeo a nivel de cuantización más próximo,
por truncamiento a nivel menor que el siguiente superior, o por truncamiento en magnitud y
signo, un proceso que es similar al truncamiento de los valores absolutos seguidos del
empleo del signo apropiado. [3]
D. Convertidor Analógico-digital
Se componen de dos circuitos: el muestreador y el cuantizador digital.
La misión del muestreador es mantener la señal analógica constante durante el periodo
de muestreo. [4] y [5]
El convertidor digital-analógico permite que la señal codificada y cuantizada sea
convertida en una señal analógica. [6].
E. Microcontrolador
Un microcontrolador es un circuito integrado de alta escala de integración que
incorpora la mayor parte de los elementos que configuran un controlador.
8
9. Fig. 3 El microcontrolador
Todas las partes del computador están contenidas en su interior y sólo salen al exterior
las líneas que gobiernan los periféricos.
Un microcontrolador dispone normalmente de los siguientes componentes:
• Procesador o UCP (Unidad Central de Proceso).
• Memoria RAM para Contener los datos.
• Memoria para el programa tipo ROM/PROM/EPROM.
• Líneas de E/S para comunicarse con el exterior.
• Diversos módulos para el control de periféricos (temporizadores, Puertas Serie y
Paralelo, CAD: Conversores Analógico/Digital, CDA: Conversores Digital/Analógico,
etc.).
• Generador de impulsos de reloj que sincronizan el funcionamiento de todo el sistema.
1) Memoria
En los microcontroladores la memoria de instrucciones y datos está integrada en el
propio chip.
Una parte debe ser no volátil, tipo ROM, y se destina a contener el conjunto de
instrucciones que ejecuta la aplicación. Otra parte de memoria es del tipo RAM, volátil, y
RAM
se destina a guardar las variables y los datos.
Según el tipo de memoria ROM que dispongan los microcontroladores, la aplicación y
utilización de los mismos es diferente. Una de las versiones de memoria no volátil que se
pueden encontrar en los microcontroladores esta la memoria flash.
os
Se trata de una memoria no volátil, de bajo consumo, que se puede escribir y borrar, es
programable en el circuito, es más rápida que la EEPROM y tolera más ciclos de
escritura/borrado.
2) Puertas de Entrada y Salida
La principal utilidad de las líneas de E/S es comunicar al computador interno con los
periféricos exteriores.
9
10. Según los controladores de periféricos que posea cada modelo de microcontrolador, las
líneas de E/S se destinan a proporcionar el soporte a las señales de entrada, salida y control.
[7]
DESARROLLO
El objetivo de este proyecto es generar señales senoidales y cosenoidales, y esta nos debe
proporcionar las siguientes funciones: Ser variable en frecuencia y en amplitud.
Para el desarrollo de la práctica se deben seguir los siguientes pasos:
1. Generar los coeficientes de la onda mediante las series de Taylor en valores
decimales, las cuales las redondearemos para posteriormente ordenarlas en una
matriz de datos y almacenarlas en la memoria del microcontrolador.
Cabe recalcar que para la generación de los valores decimales de las ondas mediante
las series de Taylor tenemos que utilizar el mayor grado posible para llegar un
periodo de la onda y posteriormente repetirla mediante un ciclo repetitivo.
2. La memoria del microcontrolador y su programación, se utilizará dicha memoria
con el objetivo de almacenar los coeficientes generados previamente, para su
posterior utilización.
3. Los coeficientes generados los obtendremos de la salida de uno de los puertos del
microcontrolador, y los ingresaremos en la DAC, que se encargara de generar la
onda analógica de acuerdo a valores de referencia establecidos.
4. Manipulación de las ondas manualmente, se logrará mediante un mecanismo
externo al microcontrolador, con el cual se variará su frecuencia y amplitud de
acuerdo a las necesidades existentes. Para la manipulación de la amplitud de la señal
se la realiza por medio de un potenciómetro.
5. Este mecanismo externo, se la realiza por medio de pulsadores, donde cada pulso, se
incrementa o decrementa la frecuencia, todo esto va de acuerdo con el código del
programa en el microcontrolador.[3]
HERRAMIENTAS A UTILIZAR
Compilador C CodevisionAVR, utilizado para programar el microcontrolador para el fin
del proyecto.
10
11. Fig. 3 CodevisionAVR
Simulador de dispositivos eléctricos y electrónicos Isis Profesional
Fig. 4 Isis Profesional
Se utiliza las Ecuaciones de Taylor para calcular los coeficientes de la función seno y
coseno.
′ ′′
= + !
− + !
− +⋯+ !
− + !
−
11
12. ALGORITMO DE PROGRAMACIÓN
Generar coeficiente de la
onda mediante las series de
Taylor.
Redondeo de valores.
Almacenar los valores en la
memoria del microcontrolador.
Lectura de datos y selección de
Amplitud y frecuencia señal requerida en el Onda seno y coseno
microcontrolador
Reconstrucción de la señal
mediante la DAC.
Resultado de la
onda requerida por
el usuario
12
19. CRONOGRAMA
CONCLUSIONES
• Las series de Taylor nos permite aproximar el valor de una función a su valor real
con un grado de error y esta depende de el numero de términos que se utilice.
• Al agregar más términos a la serie de Taylor, su valor resulta ser más exacto, es
decir mientras menos términos tenga la serie el error será más grande.
• El muestreo de señales es el primer paso en el procesamiento de señales discretas
(DSP).
• Para procesar una señal analógica primero se la debe muestrear en intervalos
uniformes, luego debemos cuantizarla.
• Tanto el muestreo como la cuantización conducen a una pérdida potencial de
información.
• En los microcontroladores la memoria de instrucciones y datos está integrada en el
propio chip. Una parte es volátil, tipo ROM y la otra es de tipo RAM, volátil.
• Los principales recursos específicos que incorporan los microcontroladores son:
temporizadores, Perro guardián o "Watchdog", Protección ante fallo de
alimentación o "Brownout", Estado de reposo o de bajo consumo, Conversor A/D
(CAD), Comparador analógico, Conversor D/A (CDA), Modulador de anchura de
impulsos o PWM.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1]. Molinas P, Martínez P. Aplicaciones de la derivada. UOC. MECD. Consultado el
24 de mayo de 2010. Disponible en: http://www.acienciasgalilei.com/mat/pdf-
mat/aplicaciones_derivadas.pdf
[2]. Las series de Taylor. Consultado el 22 de mayo de 2010. Disponible en:
http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/Mnumericos/STaylor.html
[3]. Mejía José Fernando. Desarrollo en las series de Taylor. Consultado el 22 de mayo
de 2010. Disponible en:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Desarrollo_serie_taylor/Desarro
llo_en_serie_de_taylor.htm
19
20. [4]. Sistemas de tiempo real. Practica1: Implementación de sistemas discretos. 2008.
Consultado el 13 de abril de 2010. Disponible en:
http://www.fic.udc.es/files/asignaturas/81STR/anexos/p1.pdf
[5]. Tratamiento Digital de Señales. Muestreo y Cuantización. Consultado el 28 de abril
de 2010. Disponible en:
www.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tema5.pdf
[6]. Procesamiento de señales analógicas y digitales. AMBARDAR ASHOCK. Segunda
Edición. THOMSON LEARNING. México. 2002.
[7]. Introducción a los microcontroladores. Consultado el 25 de abril de 2010.
Disponible en: www.monografias.com/microcontroladores
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