1. El documento presenta diferentes métodos para calcular intervalos de confianza e intervalos para pruebas de hipótesis estadísticas en diversas situaciones. 2. Se describen las fórmulas para calcular intervalos de confianza para la media cuando la varianza es conocida o desconocida, y para la proporción con muestras grandes o pequeñas. 3. También se explican las pruebas estadísticas para comparar medias y proporciones entre grupos cuando las varianzas son conocidas o desconocidas.

1.
POLITÉCNICO
GRANCOLOMBIANO
ESTADISTICA
INFERENCIAL
INTERVALO
PARA:
INTERVALO DE
CONFIANZA
N desconocido
µx
2
x
σ conocida
X ±Z
n cualquiera
µx
2
x
σ desconocida
µx
σ desconocida
n ≤ 30
π
n ≥ 30
n
e = Zσ
X ±Z
Sx
n
e=ZS
X ± t.
Sx
n
e=tS
n > 30
2
x
σx
ERROR DE
ESTIMACION
x
n
x
n
TAMAÑO DE
MUESTRA
n= Z
2
2
σx
P(1 - P)
n
ERRROR DE
ESTIMACION
2
2
n= Z S
e
2
x
2
x
n
n
N −n
N −1
e = Zσ
X ±Z
Sx
n
N −n
N −1
e=ZS
X ± t.
e
t con (n – 1) g.l.
P ± Z
INTERVALO DE
CONFIANZA
N conocido
Sx
n
N −n
N −1
e=tS
X ±Z
σx
x
n
x
n
x
n
TAMAÑO DE
MUESTRA
N −n
N −1
n=
2
Z2 σ x N
e 2 ( N − 1) + Z 2σ x2
N −n
N −1
n=
2
Z2 S x N
e 2 ( N − 1) + Z 2 S x2
N −n
N −1
t con (n – 1) g.l.
e=Z
P(1 - P)
n
n= Z
2
P (1 - P)
e
2
P±Z
P(1 - P)
n
[ POLITÉCNICO GANCOLOMBIANO EN ALIANZA CON WHITNEY INTERNATIONAL SYSTEM ]
N −n
N −1
e=Z
P(1 - P)
n
N −n
N −1
n=
Z 2 P(1 − P) N
e 2 ( N − 1) + Z 2 P(1 − P)

2.
INTERVALO PARA:
INTERVALO
µ1 - µ 2
2
σ 12 , σ 2 conocidas
µ1 - µ 2
2
σ 12 = σ 2 desconocidas
(X1 - X2 ) ± Z
σ
2
1
n1
+
σ
Sp =
2
2
n2
1
1
+
n1 n 2
( X 1 - X 2 ) ± t. S P
Usar Z en vez de t
con (n1 + n2 − 2) g.l.
µ1 - µ 2
2
σ 12 ≠ σ 2 desconocidas
Π1 - Π 2
n1 + n2 > 30
S12
S2
+ 2
n1
n2
con ν g.l.
(X1 - X2 ) ± t
d ±t
n parejas
DIFERENCIAS DE MEDIAS
σ
2
n cualquiera
σ 12
2
σ2
n1, n 2 cualesquie ra
Si (n1 + n2 ) > 30
Usar Z en vez de t
P1 (1 − P1 ) P2 (1 − P2 )
+
n1
n2
( P1 − P2 ) ± Z
OBSERVACIONES PAREADAS
Sd
Si n > 30
n
Usar Z en vez de t
t con (n – 1) g.l.
(n − 1) S
χ
2
2
Si (n1 + n2 − 2) > 30
2
<σ2 <
(n − 1) S
2
χ 12
χ 2 con (n − 1) g.l.
S12
σ2
S2
< 12 < 21
2
S 2 F2 σ 2 S 2 F1
F con (n1 − 1; n2 − 1) g.l.
[ POLITÉCNICO GANCOLOMBIANO EN ALIANZA CON WHITNEY INTERNATIONAL SYSTEM ]
2
(n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2
n1 + n2 − 2
ν =
2
2
⎛ S1
S 2 ⎞
⎜
⎜ n + n ⎟
⎟
2 ⎠
⎝ 1
2
2
2
2
2
⎛ S1 ⎞
⎛ S 2 ⎞
⎜
⎜
⎜ n ⎟
⎟
⎜ n ⎟
⎟
⎝ 1 ⎠ + ⎝ 2 ⎠
n1 − 1
n2 − 1

3.
PRUEBAS
DE
HIPÓTESIS
I.
PRUEBAS
PARA
µ
Ho:
µ
= µ 0
⎧µ > µ 0
⎪
Ha:
⎨ µ ≠ µ 0
⎪µ < µ
0
⎩
1.
σ 2 Conocida
Z =
X - µ0
σ
n
2.
σ 2 Desconocid a
t =
X - µ0
S
n
con (n - 1) g.l.
Si
n
>
30
usar
Z
3.
σ 2 Desconocida n ≥ 30
Z =
X - µ0
S
n
II.
PRUEBAS
PARA
π
n > 30
Ho:
π = π 0
⎧π > π 0
⎪
Ha:
⎨π ≠ π 0
⎪π < π
0
⎩
Z =
p - π0
π 0 (1 − π 0 )
n
[ESTADÍSTICA INFERENCIAL ]
1

4.
III.
PRUEBA
PARA
π 1
− π 2 ;
n1 + n2 > 30
Ho:
π 1
− π 2 = δ 0
⎧ π 1 − π 2 > δ 0
⎪
Ha:
⎨π 1 − π 2 < δ 0
⎪π − π ≠ δ
2
0
⎩ 1
Z=
( p1 − p2 ) − δ 0
p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 )
+
n1
n2
IV.
PRUEBAS
PARA
µ1 − µ 2
Ho:
µ1 − µ 2 = δ 0
⎧µ1 − µ 2 > δ 0
⎪
Ha:
⎨µ1 − µ 2 ≠ δ 0
⎪µ − µ < δ
2
0
⎩ 1
2
[ POLITÉCNICO GANCOLOMBIANO EN ALIANZA CON WHITNEY INTERNATIONAL SYSTEM ]

5.
1.
2
σ 12 , σ 2 Conocidas
Z=
( x1 − x 2 ) − δ 0
σ 12
n1
+
2
σ2
n2
2.
2
σ 12 , σ 2 Desconocidas
2
σ 12 ≠ σ 2
t=
( x1 − x 2 ) − δ 0
2
S12 S 2
+
n1 n 2
t con ν gl. (ν de intervalos)
si n1 + n2 > 30 usar Z
3.
2
σ 12 , σ 2 Desconocidas
2
σ 12 = σ 2
t=
( x1 − x 2 ) − δ 0
Sp
1
1
+
n1 n2
2
(n1 − 1) S1 + (n2 − 1) S2
2
Sp =
n1 + n2 − 2
[ESTADÍSTICA INFERENCIAL ]
3

6.
si n1 + n2 − 2 > 30 usar Z
4.
PAREADA
t=
d −δ0
Sd
t con (n - 1) g.l.
si n > 30 usar Z
V.
PRUEBA
PARA
σ 2
Ho:
2
σ 2 = σ0
Ha:
2
⎧σ 2 > σ 0
⎪ 2
2
⎨σ ≠ σ 0
⎪ 2
2
⎩σ < σ 0
(n −1 ) S 2
χ =
2
σ0
2
4
[ POLITÉCNICO GANCOLOMBIANO EN ALIANZA CON WHITNEY INTERNATIONAL SYSTEM ]
con
(n
–
1)
g.l.

7.
VI.
PRUEBA
PARA
σ12
σ2
2
σ12
Ho:
σ2
2
= 1
⎧σ12
⎪ σ 2 > 1
⎪ 2 2
⎪σ1
⎨ σ 2 ≠ 1
2
⎪
2
⎪σ1
⎪ σ 2 < 1
⎩
2
Ha:
F =
S 12
S2
2
con ( n 1 − 1 ) ; ( n 2 − 1 ) g.l.
VII.
2
PRUEBA
χ = ∑∑
(Oi j − Ei j ) 2
Ei j
con g.l. = ( r - 1 ) ( c - 1 )
PARA
Ho:
X
es
independiente
de
Y
Ha:
X
depende
de
Y
VIII:
KRUSKALL
-­‐
WALLIS
Ho:
µ1 = µ 2 = µ 3 = ........ = µ K
Ha:
µ i ≠ µ j
para
algún
i
≠ j
[ESTADÍSTICA INFERENCIAL ]
5

8.
H
=
k
Ri2
12
∑ - 3 ( n + 1)
n ( n + 1) i = 1 ni
~ χ 2 ( k −1)
IX:
PRUEBA
DE
INDEPENDENCIA
χ (2c −1 )( r −1 )
r
=
c
∑∑
i =1 j =1
( O ij - E ij) 2
E ij
c = nú m ero d e colu m n as
r = nu m ero d e fi las
X:
ANÁLISIS
DE
VARIANZA
(ANOVA)
FUENTE
DE
VARIACIÓN
SUMA
DE
CUADRADOS
k
T i2
G T2
−
ni
n
TRATAMIENTOS
i =1
(BETWEEN)
∑
ni
DENTRO
DE
GRUPOS
(WITHIN)
TOTAL
k
∑∑
j =1 i =1
2
X ij
(S C T R )
RAZÓN
DE
VARIANZA
F
T i2
∑n
i =1
(S C E )
i
S C TR
= M C T R
k −1
SCE
= M C E
n −k
n
-­‐
k
ni
∑
i =1
2
X ij
G T2
n
(S C T)
n
-­‐
1
[ POLITÉCNICO GANCOLOMBIANO EN ALIANZA CON WHITNEY INTERNATIONAL SYSTEM ]
En
donde:
GT
=
GRAN
TOTAL
6
MEDIA
DE
CUADRADOS
k
-­‐
1
k
-
GRADOS
DE
LIBERTAD
M C TR
~ F (k -1 )(n -k)
M CE

9.
DISTRIBUCIONES
MUESTRALES
1. PARA
LA
MEDIA:
x ~ N ( µ x σ 2 ) en d on d e
x
⎧
σ2
⎪σ 2 = x
P ob la ción in fin ita
⎪ x
n
µx = µx ;
⎨
2
⎪ 2 σ x N - n
σ =
*
P ob la ción fin ita
⎪ x
n N -1
⎩
lu ego
Z =
x - µx
σx
2. PARA
LA
PROPORCIÓN
2
p ~ N ( µp , σp ) en d ond e
µp = π ;
lu ego Z =
π(1 − π)
⎧
2
P ob la ción in fin ita
⎪ σ p =
n
⎨
π(1 − π) N − n
2
⎪σ p =
∗
P ob la ción fin ita
n
N −1
⎩
p - µp
σp
3. PARA
DIFERENCIAS
DE
MEDIAS
( x1 - x 2 ) ~ N ( µ x1 − x , σ 2 1 − x2 ) en d on d e
x
2
[ESTADÍSTICA INFERENCIAL ]
7

10.
σ2
σ2
x1
x2
µ x1 − x 2 = µ x − µ x ; σ 2
=
+
1
2
x1 − x 2
n1
n2
lu ego
Z=
( x1 − x 2 ) − µ x1 − x 2
σ x1 − x 2
4. PARA
DIFERENCIA
DE
PROPORCIONES
( p 1 - p 2 ) ~ N ( µp −p , σ 2
) e n d on d e
1
2
p 1 −p 2
π ( 1 − π1 ) π 2 ( 1 − π 2 )
µ p 1 − p 2 = π1 − π 2 ; σ 2
= 1
+
p 1 −p 2
n1
n2
lu ego
Z =
( p 1 − p 2 ) - µp −p
1
2
σp −p
1
2
RECOPILACIÓN,
EDICION
Y
MONTAJE
PROFESORES
ESTADÍSTICA
FACULTAD
DE
INGENIERIA
Y
CIENCIAS
BÁSICAS
POLITECNIGO
GRANCOLOMBIANO
8
[ POLITÉCNICO GANCOLOMBIANO EN ALIANZA CON WHITNEY INTERNATIONAL SYSTEM ]