2. Los conjuntos numéricos
Son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.
Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los
números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
Características de los conjuntos
1. No son conjuntos finitos.
2. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable.
3. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo).
4. Admiten relación de orden.
5. Admiten relación de equivalencia.
6. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas
de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-
Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar
internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
7. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta
otra más compleja.
8. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor
complejidad) es el siguiente:
N: Conjunto de los números naturales
Q+: Conjunto de los números fraccionarios
Z: Conjunto de los números enteros
Q: Conjunto de los números racionales
I: Conjunto de los números irracional
R: Conjunto de los números reales
C: Conjunto de los números complejos
3. 1. Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto de los
números complejos.
2. El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del
Dominó o de Llaves.
Formas de presentación de los conjuntos
Los conjuntos numéricos se pueden representar:
1. Mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica: A es el
conjunto cuyos elementos son todos los números impares menores que 20.
2. Por extensión, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se
escriben los elementos del conjunto entre llaves: C = {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,
19}
3. Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de
los elementos del conjunto y solamente de ellos. F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤
10}, donde en esta expresión los dos puntos (":") significan "tal que". Así, el
conjunto anterior es el conjunto de "los números de la forma n2 tal que n es un
número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)", o sea, el conjunto de los once
primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En
lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical ("|").
4. Por intervalos.
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado
4. un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado
por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El
símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se
unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean
comunes, los elementos no comunes A y B, será excluido.
Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al
segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B,
estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa
para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción.
Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formada por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B.
Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto
de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que está
incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto
formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos
que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota
5. con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A
es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Números reales
Son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28;
289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden
representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y
los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números
enteros con denominador diferente a cero). Otra clasificación de los números reales puede
realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números
trascendentes (un tipo de número irracional). Más concretamente nos encontramos con el
hecho de que los números reales se clasifican en números racionales e irracionales. En el
primer grupo se encuentran a su vez dos categorías: los enteros, que se dividen en tres
grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los fraccionarios, que se subdividen en fracción
propia y en fracción impropia. Dentro de los citados naturales también hay tres variedades:
uno, naturales primos y naturales compuestos. En el segundo gran grupo anteriormente
citado, el de los números irracionales, nos encontramos a su vez que existen en su seno dos
clasificaciones: irracionales algebraicos e intrascendentes. Es importante tener en cuenta
que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos
excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí
aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible
dividir algo entre nada). Esto supone que con los mencionados números reales podamos
acometer operaciones tales como las sumas (interna, asociativa, conmutativa, de elemento
opuesto, de elemento neutro…) o las multiplicaciones. En este último caso habría que
subrayar que en lo que respecta a la multiplicación de los signos de los números el
resultado sería el siguiente: + por + equivale a +; – por – es igual a +; – por + da como
resultado -; y + por – es igual a -.
6. Desigualdad
Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de
ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o
los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual
a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general
una diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que
se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del
elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo
señala/apunta al elemento menor.
Propiedades de desigualdad
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las
propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad
también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por
sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
7. Transitividad
Para números reales arbitrarios a, b y c:
Si a > b y b > c entonces a > c.
Si a < b y b < c entonces a < c.
Si a > b y b = c entonces a > c.
Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción
Para números reales arbitrarios a, b y c:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división
Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
Para números reales arbitrarios a y b:
Si a < b entonces −a > −b.
Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
Si a < b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a < 1/b.
Si a y b son de distinto signo:
8. Si a < b entonces 1/a < 1/b.
Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Función monótona
Al aplicar una función monótona creciente, a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si
se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.
Valor absoluto
Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades.
Valor absoluto
Se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más
allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o
negativo. Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5(5
positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto siempre es igual mayor que 0 y nunca
es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los
números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |8|. También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe
entre el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la
misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su
diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor
absoluto de |3|.
Desigualdad
Es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual
que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
9. Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea
para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
Menor que <
Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
10. Propiedades de la desigualdad matemática
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes.
Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser
incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.
