graficas varias

1. 3.1 Razones trigonométricas de cualquier ángulo, repaso

2. −𝟏
𝟐
×
𝟐
𝟐
=
− 𝟐
𝟐
RACIONALIZAR DENOMINADORES RADICALES
−𝟏
𝟓
×=
− 𝟓
𝟓
−𝟏
𝟐 𝟓
×=
− 𝟓
𝟐(𝟓)
=
− 𝟓
𝟏𝟎

3. 3
Determina las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para cada ángulo
Paso 1: r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
r = (−𝟐)𝟐 + 𝟐𝟐
r = 𝟒 + 𝟒
r = 𝟖
r = 𝟐𝟐 × 𝟐
r = 𝟐 𝟐
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
−𝟐
𝟐 𝟐
=
−𝟏
𝟐
=
− 𝟐
𝟐
=
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝟐
−𝟐
= -1
𝟐
−𝟐
Paso 2
3.1 Razones trigonométricas de cualquier ángulo, repaso

4. 4
Determina las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para cada ángulo
3.1 Razones trigonométricas de cualquier ángulo, repaso
Paso 1: r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
r = (𝟐)𝟐 + (−𝟒)𝟐
r = 𝟒 + 𝟏𝟔
r = 𝟐𝟎
r = 𝟒 × 𝟓
r = 𝟐 𝟓
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
−𝟒
𝟐 𝟓
=
−𝟐
𝟓
=
−𝟐 𝟓
𝟓
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝟐
𝟐 𝟓
=
𝟏
𝟓
=
𝟓
𝟓
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
−𝟒
𝟐
= -2
−𝟒
𝟐 Paso 2

5. 3.2 Círculo trigonométrico

6. 1. Se denomina Círculo trigonométrico (CT) a la circunferencia de radio 1, centrada en el
origen O.
3.2 Círculo trigonométrico
Para todo ángulo θ es posible determinar los valores de cos θ y sen θ como coordenadas de un punto en el CT.
Las coordenadas de un punto P(x, y) en el círculo trigonométrico están determinadas por el ángulo θ dibujado en
posición estándar con lado terminal OP. Por definición de las razones trigonométricas de cualquier ángulo se tiene
sen𝜽 =
𝒚
𝟏
= 𝒚 y cos 𝜽 =
𝒙
𝟏
= 𝒙
Por lo tanto P ( x , y ) = P ( cos 𝜽, 𝒔𝒆𝒏 𝜽)

7. 1. Para cada valor de θ grafi ca el punto P(cos θ, sen θ) en el CT. Dibuja un círculo por cada literal.
d) θ = –45°, θ = –135°

8. 1. Para cada valor de θ grafi ca el punto P(cos θ, sen θ) en el CT. Dibuja un círculo por cada literal.
e) θ = 360°, θ = 405°

9. 2. Obtén el seno y coseno de los siguientes ángulos u􀆟 lizando el círculo trigonométrico
d) θ = 270°

10. 3.3 Periodicidad de las funciones seno y
coseno en el círculo trigonométrico
• sen(θ ± 360°) = sen θ
• cos(θ ± 360°) = cos θ
• Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para
calcular los siguientes valores:
• sen 405°
sen( 45º + 360°) = sen 45º

11. 3.3 Periodicidad de las funciones seno y
coseno en el círculo trigonométrico
• sen(θ ± 360°) = sen θ
• cos(θ ± 360°) = cos θ
• Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para
calcular los siguientes valores:
• Cos - 675°
• cos( -675º + 2 × 360°) = cos 45º

12. 3.3 Periodicidad de las funciones seno y
coseno en el círculo trigonométrico
• sen(θ ± 360°) = sen θ
• cos(θ ± 360°) = cos θ
• Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para
calcular los siguientes valores:
• Sen 1080°
• Sen ( 1080º - 3×360°) = sen 0º

13. 3.3 Periodicidad de las funciones seno y
coseno en el círculo trigonométrico
• sen(θ ± 360°) = sen θ
• cos(θ ± 360°) = cos θ
• Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para
calcular los siguientes valores:
• Sen 540°
• Sen ( 540º- 360°) = sen 180º

14. 3.7 La tangente en el círculo trigonométrico

15. 3.7 La tangente en el círculo trigonométrico

16. 3.3 Periodicidad de las funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico
Ángulo en posición estándar es aquel que tiene vértice en el origen del
sistema de coordenadas y cuyo lado inicial está sobre el eje "x" positivo
Sea θ un ángulo cualquiera y sea α = θ + 360°.
Se cumple que al dibujar los ángulos θ y α, en posición estándar,
tienen el mismo lado terminal en el CT.

17. • las funciones seno y coseno son periódicas de acuerdo con la siguiente definición: una
función f es periódica si existe un numero positivo t tal que f(x + t ) = f(x ) para toda x . El
número positivo mas pequeño correspondiente (si existe) es el periodo de f. Si f tiene un
periodo t , entonces la gráfica de f en cualquier intervalo de longitud t se conoce como
un periodo completo de f .
• La función seno tiene un periodo 360° : sen ( 𝜽 + 360° ) = sen 𝜽
• La función coseno tiene un periodo 360° : cos (𝜽 + 360° ) = cos 𝜽
• Período es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido.
• El período : Representa la medida del ángulo en la cual la gráfica completa un ciclo.

18. 3.3 Periodicidad de las funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico
Sea θ un ángulo cualquiera y sea α = θ + 360°. Se cumple que al dibujar los ángulos θ y α, en posición estándar,
tienen el mismo lado terminal en el CT.
Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽
Sen ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝑺𝒆𝒏 𝜽
Ejemplo 1. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de sen 540°
Sen ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝑺𝒆𝒏 𝜽
Sen 540° = Sen ( 180 +𝟑𝟔𝟎)
Sen 540° =𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎°
Sen 540° =
𝟎
𝟐
= 𝟎 𝟑𝟔𝟎°

19. Ejemplo 2. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de cos – 675 °
Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽
Cos -675°= cos ( -675° +𝟑𝟔𝟎° × 𝟐)
c𝒐𝒔 − 𝟔𝟕𝟓° = 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓°
𝟒𝟓°
c𝒐𝒔 − 𝟔𝟕𝟓° =
𝟐
𝟐
Cos -675°= cos ( -675° +𝟑𝟔𝟎° )
Cos -675°= cos ( - 315 ) No, está en posición normal
Cos -675°= cos ( -675° +𝟕𝟐𝟎° )

20. Ejemplo 3. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de cos 630 °
Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽
c𝒐𝒔 𝟔𝟑𝟎° = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟕𝟎 °
c𝒐𝒔 𝟔𝟑𝟎° =
𝟎
𝟐
= 𝟎
Cos 630°= cos ( 270° +𝟑𝟔𝟎° )
360°
𝟐𝟕𝟎 °
9𝟎 °
c𝒐𝒔 𝟔𝟑𝟎° = 𝟎

21. Ejemplo 4. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de cos -630 °
Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽
c𝒐𝒔 − 𝟔𝟑𝟎° = 𝒄𝒐𝒔 (𝟗𝟎) °
c𝒐𝒔 − 𝟔𝟑𝟎° =
𝟎
𝟐
= 𝟎
Cos- 630°= cos ( -630° +𝟑𝟔𝟎° × 𝟐 )
90°
Cos- 630°= cos ( -630° +𝟕𝟐𝟎° )
c𝒐𝒔 − 𝟔𝟑𝟎° = 𝟎

23. R/ sen 405° =
2
2
R/ cos 420° =
1
2 R/ sen -300° =
3
2

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3.4 Periodicidad de la tangente en el círculo trigonométrico

25. 3.4 Periodicidad de la tangente en el círculo trigonométrico
𝒕𝒂𝒏 𝜽 =
𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒄𝒐𝒔 𝜽

26. 3.4 Periodicidad de la tangente en el círculo trigonométrico
Ejemplo 1. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores tan 240°
tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽
tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽
tan ( 60° +𝟏𝟖𝟎°)
𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟒𝟎° =
𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟒𝟎° = 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎°
𝟔𝟎°
𝟔𝟎°
𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟒𝟎° =
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
= 𝟑
𝒕𝒂𝒏 𝜽 =
𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒄𝒐𝒔 𝜽

27. 3.4 Periodicidad de la tangente en el círculo trigonométrico
Ejemplo 2. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores tan 600°
tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽
tan ( 60° +𝟏𝟖𝟎° × 𝟑 )
𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° =
𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = tan ( 60° +𝟓𝟒𝟎° )
𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎° 𝒕𝒂𝒏 𝜽 =
𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° =
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
= 𝟑 𝟔𝟎°
𝟔𝟎°
𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = 𝟑

29. 3.4 Periodicidad de la tangente en el círculo trigonométrico
Ejemplo 3. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores tan -495°
tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽
Tan -495° = tan ( -495°+𝟏𝟖𝟎° × 𝟑 )
Tan -495° = tan ( -495°+𝟓𝟒𝟎 ° )
Tan -495° = tan ( 45° )
𝒕𝒂𝒏 𝜽 =
𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒄𝒐𝒔 𝜽
Tan -495° =
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
= 𝟏
45°
Tan -495° = 𝟏

30. R/ tan 225° = 1 R/ tan 210° =
3
3
R/ tan 240° = 3
tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽 tan ( 30º +𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝟎º tan ( 60º +𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎º

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32. 3.7 La tangente en el círculo trigonométrico

33. 1.0
1.0
-1.0
-1.0
EJEMPLO 1. Representa el valor de la tangente de -45° , utilizando la figura de la conclusión:
-45°
P(1, tan -45°)
3.7 Representa el valor de la tangente de un ángulo utilizando el círculo trigonométrico.

34. 1.0
1.0
-1.0
-1.0
EJEMPLO 2. Representa el valor de la tangente de θ = –150° utilizando la figura de la conclusión:
-150°
P(1, tan -150°)
3.7 Representa el valor de la tangente de un ángulo utilizando el círculo trigonométrico.

35. 3.8 gráfica de la función tangente

36. Angul
o
0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
Y =
sen
0 0.5 0.86 1 0.86 0.5 0 -0.5 -0.86 -1 -0.86 -0.5 0

37. Angul
o
0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
Y =
cos

38. Completa la siguiente tabla y grafica la función y = tan
θ en el intervalo ]–90°, 90°[.
3.8 Gráfica de la función tangente

39. 3.9 Periodo y amplitud de las funciones trigonométricas

40. 3.9 Periodo y amplitud de las funciones trigonométricas
periodo de la función f(θ) = sen Bθ es P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
Se llama amplitud de la función trigonométrica f(θ) = A sen θ al valor |A| y es el máximo valor que puede
tomar la función.

41. EJEMPLO: Grafica, f(θ) = 3sen θ en el intervalo [0, 360°], las siguientes funciones utilizando la amplitud y
periodicidad
0
3sen 𝜃
3
2 3
3
2
0
−3
2
-3
−3
2
0
amplitud = 3
P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
T =
𝟑𝟔𝟎°
𝟏
= 𝟑𝟔𝟎°
Periodo: Indica cada cuanto se repite la gráfica.
f(θ) = sen Bθ es P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
Y= 3sen 𝜽

42. amplitud = -2 P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
T =
𝟑𝟔𝟎°
𝟏
= 𝟑𝟔𝟎°

43. amplitud = 1 P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
T =
𝟑𝟔𝟎°
𝟑
= 𝟏𝟐𝟎°

44. amplitud = 1
P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
T =
𝟑𝟔𝟎°
𝟏/𝟐
= 𝟕𝟐𝟎°

45. 3.10 Desplazamiento vertical de las funciones trigonométricas

46. 3.10 Desplazamiento vertical de las funciones trigonométricas
Grafica f(θ) = sen θ – 3 , en el intervalo [0, 360°],
utilizando los desplazamientos:
3.10 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen θ + k.
0
sen θ – 3
−𝟓
𝟐
-2
−𝟓
𝟐
-3 −𝟕
𝟐
-4
−𝟕
𝟐
-3
En general la gráfica de f(x) + k es un desplazamiento
vertical de la gráfica de f(x):
hacia arriba si k > 0
hacia abajo si k < 0.

47. 3.11 Desplazamiento horizontal de las funciones trigonométricas

48. 3.11 Desplazamiento horizontal de las funciones trigonométricas
La gráfica de f(θ) = sen(θ – α) es un desplazamiento horizontal de α unidades de la gráfica de sen θ.
En general, la gráfica de f(x – h) es un desplazamiento horizontal de h unidades de la gráfica de f(x):
Hacia la derecha si h > 0.
Hacia la izquierda si h < 0.
x – h = 0
x = h
x + h = 0
x = -h

49. 3.11 Desplazamiento horizontal de las funciones trigonométricas
Grafica f(θ) = sen(θ + 90°) funciones, en el intervalo [0, 360°], utilizando los desplazamientos:
0 1 0 -1 0 1
Y = sen(θ + 90°) 1 0 -1 0 1 -1
Senθ
sen(θ + 90°)
θ + 90° = 0
θ = - 90°

50. 3.13 Sistema circular de ángulos

51. 3.13 Sistema circular de ángulos

52. 3.13 Sistema circular de ángulos
Un radián es el ángulo central de una
circunferencia que abarca un arco de igual
longitud que el radio de la misma.
Un radián es una unidad de medida de un
ángulo.

53. 𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏 = 𝟏𝟖𝟎°
EJEMPLO 1. Convertir 210° en radianes:
210°
180°
𝝅
=
𝟕
𝟔
𝝅 rad
EJEMPLO 2 . Convertir 315° en radianes:
315°
180°
𝝅
=
𝟕
𝟒
𝝅 rad
315°÷ 3 = 105
180 °÷ 3 = 60
÷ 3 = 35
÷ 3 = 20
÷ 5 = 7
÷ 5 = 4

54. 𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏 = 𝟏𝟖𝟎°
EJEMPLO 3. Convertir
𝟐
𝟗
𝝅 a grados
𝟐
𝟗
𝝅
𝜋
180°
=
𝟐(𝟏𝟖𝟎°)
𝟗
= 𝟐 𝟐𝟎 = 𝟒𝟎°
EJEMPLO 4 . Convertir
𝟓
𝟒
𝝅 a grados :
𝟓
𝟒
𝝅
𝜋
180°
=
𝟓(𝟏𝟖𝟎°)
𝟒
= 𝟓 𝟒𝟓° = 𝟐𝟐𝟓°
180 °÷ 4 = 45°
180° ÷ 9 = 20°

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66. 1.1 Patrones

67. Observa las siguientes secuencias de figuras y
números. Responde lo pedido en cada caso.
• a) Determina las figuras 5, 6 y 7 que corresponden a la
secuencia e identifica la regla que se ha utilizado para
generarla

68. • b) ¿Cuál figura corresponde a la Figura 7?

70. 1.2 Patrones generalizados
• c) Determina el número faltante y la regla que se ha utilizado
para generar la secuencia.

71. 1.2 Patrones generalizados
• Para cada sucesión, encuentra el término general y los términos
que se piden.
• 2n
• 2(42) = 84
a) 2, 4, 6, 8, ... ¿cuál es el término 42?

72. • c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ... ¿cuál es el término
11?

73. 1.2 Patrones generalizados
• 2. Enlista los primeros cinco términos de la sucesión que tiene
término general an, en cada uno de los siguientes casos:

74. • EJERCICIO 1. Para la serie 3, 5,7, 9…… el término
general que la representa es:
• A. an = 2n + 1 C. an = 12 - 2n
• B. an = 2n – 12 D. an = 2n – 3

75. 1.3 Sucesiones aritméticas: definición
la sucesión se obtienen sus términos pueden obtenerse sumando un mismo número al término anterior se llama sucesión
aritmética.
Una sucesión aritmética tiene la propiedad que al restarle a un término su anterior siempre se obtendrá el mismo
resultado. A este resultado se le llama diferencia
f) 11, 7, 3, –1 , –5, –9, ...
e) –4, –4, –4, –4, –4, –4, ...
2,
𝟓
𝟐
, 3,
𝟕
𝟐
, 4,
𝟗
𝟐
, 5, , ...
Identifica si cada sucesión es una sucesión aritmética En caso de serlo, determina su diferencia.
-4 – (-4)
- 4 + 4 = 0
-4 – (-4)
- 4 + 4 = 0
Es aritmética con d= 0
2, 2.5 , 3, 3.5 , 4, 4.5 , 5, , ...
5 – 4.5 = 0.5
3 – 2.5 = 0.5
Es aritmética con d= 0.5
3 – 7
- 4
-9 – (- 5)
- 9 + 5
- 4
Es aritmética con d= -4

76. 1.3 Sucesiones aritmética definición
𝒂𝟐
𝒂𝟏
𝒂𝟑 𝒂𝟒
2 𝟓
𝟐
3 𝟕
𝟐
4 𝟗
𝟐
5
𝒂𝟓
𝒂𝟔
𝒂𝟕

77. EJERCICIO 2. La progresión 1, 3, 5, 7 … es una progresión
A. Geométrica con r = 4
B. Aritmética con, d = 4
C. Geométrica con r = 2
D. Aritmética con, d = 2

78. 1.4 Sucesiones aritméticas: término general

79. 1.4 Sucesiones aritméticas: término general
1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta.
a) 𝒂𝒏 = 5 + 4(n – 1)
𝑪) 𝒂𝒏 = 2 – 3(n – 1)
f) 𝒂𝒏 = 5 –
1
3
(n – 1)
Ejemplos

80. 1.4 Sucesiones aritméticas: término general
1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1)
Ejemplos
1. Establece el término general de las sucesiones aritméticas de los problemas de la Clase 1.3.
f) 11, 7, 3, –1 , –5, –9, ...
7 – 11
- 4
-9 – (- 5)
- 9 + 5
- 4
Es aritmética con d= -4
𝒂𝒏 = último valor / término general
𝒂𝟏 = 1er valor de la serie
𝐝 = diferencia
n = posición / cantidad
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1)
𝒂𝒏 = 11 + −𝟒 (n – 1)
𝒂𝒏 = 11 −𝟒𝒏 + 𝟒
𝒂𝒏 = 15 −𝟒𝒏

81. 1.4 Sucesiones aritméticas: término general
1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1)
Ejemplos
1. Establece el término general de las sucesiones aritméticas de los problemas de la Clase 1.3.
Es aritmética con d= 0.5
𝒂𝒏 = último valor / término general
𝒂𝟏 = 1er valor de la serie
𝐝 = diferencia
n = posición / cantidad
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1)
𝒂𝒏 = 2 + 𝟎. 𝟓 (n – 1)
𝒂𝒏 = 2 + 𝟎. 𝟓 𝒏 − 𝟎. 𝟓
𝒂𝒏 = 1.5 +𝟎. 𝟓 𝒏
2,
𝟓
𝟐
, 3,
𝟕
𝟐
, 4,
𝟗
𝟐
, 5, , ...
5 – 4.5 = 0.5
3 – 2.5 = .05
2, 2.5 , 3, 3.5 , 4, 4.5 , 5, , ...

82. EJERCICIO 1) ¿Cuál es el término general de la siguiente
sucesión: 3, 7, 11, 15,…….? d=4
A. a n = 6n - 3
B. a n = 4n - 1
C. a n = 3n
D. a n = n + 3
a n = 4n - 1
a n = 4(1) - 1= 3
a n = 4(2) - 1 = 7
a n = 4(3) - 1 = 11

83. 1.4 Sucesiones aritméticas: término general
1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta.
f) 𝒂𝒏 = 5 –
1
3
(n – 1)
2. Determina los términos 1, 7, 11, 20 y 100 de cada una de las siguientes sucesiones aritméticas:
𝒂𝟐𝟎 = 5 –
1
3
(20 – 1)
𝒂𝟐𝟎 = 5 –
1
3
(19)
𝒂𝟐𝟎 = 5 –
𝟏𝟗
𝟑
𝒂𝟐𝟎 =
𝟏𝟓− 𝟏𝟗
𝟑
𝒂𝟐𝟎 =
−𝟒
𝟑
f) 𝒂𝒏 = 5 –
1
3
(n – 1)
𝒂𝟏𝟏 = 5 –
1
3
(11 – 1)
𝒂𝟏𝟏 = 5 –
1
3
(10)
𝒂𝟏𝟏 = 5 –
𝟏𝟎
𝟑
𝒂𝟏𝟏 =
𝟏𝟓− 𝟏𝟎
𝟑
𝒂𝟏𝟏 =
𝟓
𝟑

84. 1.4 Sucesiones aritméticas: término general
1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta.
a) 𝒂𝒏 = 5 + 4(n – 1)
2. Determina los términos 1, 7, 11, 20 y 100 de cada una de las siguientes sucesiones aritméticas:
𝒂𝟏 = 5 + 4(1 – 1)
𝒂𝟏 = 5 + 4(0)
𝒂𝟏 = 5 + 0
𝒂𝟏 = 5
𝒂𝒏 = 5 + 4(n – 1)
𝒂𝟏𝟎𝟎 = 5 + 4(100 – 1)
𝒂𝟏𝟎𝟎 = 5 + 4(99)
𝒂𝟏𝟎𝟎 = 5 + 396
𝒂𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟏
C ) 𝒂𝒏 = 2 -3 (n – 1)
𝒂𝟕 = 2 - 3(7 – 1)
𝒂𝟕 = 2 − 3(6)
𝒂𝟕 = 2 - 18
𝒂𝟕 = −16
𝒂𝟏 = 5 ; 𝒂𝟕 = 29 , 𝒂𝟏𝟏 = 45 ,𝒂𝟐𝟎 = 81 𝒂𝟏𝟎𝟎 = 401 C ) 𝒂𝒏 = 2 -3 (n – 1)
𝒂𝟏𝟏 = 2 - 3(11 – 1)
𝒂𝟏𝟏 = 2 − 3(10)
𝒂𝟏𝟏 = 2 - 30
𝒂𝟏𝟏 = −28
𝒂𝟏 = 2 ; 𝒂𝟕 = −16 , 𝒂𝟏𝟏 = −28 ,𝒂𝟐𝟎 = −55 𝒂𝟏𝟎𝟎 = −295

85. • EJERCICIO 3 Karla acepta su primer empleo con un salario inicial de $300. Le prometen le
mantendrán un aumento de $20 mensuales, si hace bien su labor, durante los primeros 12 meses.
¿cuál es el salario que Karla obtuvo al octavo mes de trabajo?
• A. 320 C. 460
• B. 500 D. 440
300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440.

86. • EJERCICIO 4. Emilio conviene en cobrar $1 por el primer dia de trabajo, $2 por el
segundo dia y cada día sucesivo su salario se duplicará, ¿Cuánto deberá cobrar por el
día 20?
• A. 5, 242.88 B. 10,485.75
• C. 20 D. 40
• 1, 2, 4, 8,16, 32, 64, 128, 256, 512,

87. 1.5 Sucesiones aritméticas: suma parcial, parte 1

88. 1.5 Sucesiones aritméticas: suma parcial, parte 1
1.5 Calcula la suma parcial de una sucesión aritmética.
𝑺𝒏 =
𝒏 ( 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 )
𝟐
𝒂𝒏 = −4 + 5 (n – 1)
Solución .
𝒏 = 77
𝒂𝟏 =
𝒂𝟕𝟕 =
Paso 1 .
𝒂𝟏 = −4 + 5 (1 – 1)
𝒂𝟏 = −4 + 5 (0)
𝒂𝟏 = −4 + 0
𝒂𝟏 = −4
−4
𝒂𝒏 = −4 + 5 (n – 1)
𝒂𝟕𝟕 = −4 + 5 (77 – 1)
𝒂𝟕𝟕 = −4 + 5 (76)
𝒂𝟕𝟕 = −4 + 380
𝒂𝟕𝟕 = 𝟑𝟕𝟔
𝟑𝟕𝟔
𝑺𝟕𝟕 =
𝟕𝟕 (−𝟒+𝟑𝟕𝟔)
𝟐
𝑺𝟕𝟕 =
𝟕𝟕 (𝟑𝟕𝟐)
𝟐
𝑺𝟕𝟕 =
𝟕𝟕 (𝟏𝟖𝟔)
𝑺𝟕𝟕 =
𝟏𝟒 𝟑𝟐𝟐

89. 1.6 Sucesiones aritméticas: suma parcial, parte 2

90. 1.6 Sucesiones aritméticas: suma parcial, parte 2
1.6 Calcula el número de términos que deben sumarse de una sucesión aritmética si se conoce la suma parcial.
𝒏 =
𝒂𝟏 =
𝒂𝒏 =
𝑺𝒏 = −𝟏𝟐𝟗
𝑺𝒏 =
𝒏 ( 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 )
𝟐
𝒂𝒏 = −4 - 7 (n – 1)
Solución .
Paso 1 .
𝒂𝟏 = −4 - 7 (1-1)
𝒂𝟏 = −4 + 0
𝒂𝟏 = −4
𝒂𝟏 = −4 - 7 (0 )
−4
𝒂𝒏 = −4 - 7 (n – 1)
𝒂𝒏 = −4 - 7 n + 7
𝒂𝒏 = - 7 n + 3
- 7 n + 3
−𝟏𝟐𝟗 = 𝒏 ( −𝟒 − 𝟕𝒏 + 𝟑 )
𝟐
−𝟏𝟐𝟗 𝟐 = 𝒏 ( −𝟏 − 𝟕𝒏 )
−𝟐𝟓𝟖 = −𝒏 - 7 n2
Paso 2 .

91. 𝟕𝒏
6
- 6
258 2
43
−𝟐𝟓𝟖 = −𝒏 - 7 n2
𝟕𝒏𝟐
+ 𝒏 − 𝟐𝟓𝟖 = 𝟎
𝟕𝒏𝟐
−𝟐𝟓𝟖
𝒏
129 3
43 43
1
= - 42𝒏
= 43𝒏
𝒏
( 7n + 43 ) ( n - 6 ) = 𝟎
7n + 43 = 0
7n = - 43
n =
− 𝟒𝟑
𝟕
n - 6 = 0
n = 6
𝒂𝒏 = −4 - 7 (n – 1)
d = -7
𝒂𝟏 = - 4
- 4 , - 11 , - 18 , - 25 , - 32 , - 39
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1)
forma 2 : buscamos la cantidad de términos por ensayo y error
𝑺𝟔 = −𝟏𝟐𝟗
Se deben sumar 6 términos para la 𝑺𝟔 = −𝟏𝟐𝟗

92. 1.7 Sucesiones aritméticas: problemas

93. 3. De una sucesión aritmética se sabe que 𝒂 𝟗 = – 5 y que 𝒂 𝟏𝟓 = 31. Calcula 𝒂 𝟐𝟎 .
1.7 Resuelve problemas sobre sucesiones aritméticas si se conocen algunos datos de estas.
1.7 Sucesiones aritméticas: problemas
𝒂 𝟕
𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 ,𝒂𝟒 , 𝒂𝟓 𝒂𝟔 , 𝒂𝟖 , − 𝟓, 31,
𝒂𝟏𝟎 , 𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 ,𝒂𝟏𝟑 , 𝒂𝟏𝟒
d=
(𝒂𝒏 −𝒂𝟏)
𝒏−𝟏
7−𝟏 = 𝟔
d=
(𝟑𝟏−(−𝟓)
𝟔
d=
(𝟑𝟏+𝟓)
𝟔
d=
𝟑𝟔
𝟔
= 6
d= 6
37 , 43 ,
𝒂𝟗
𝒂 𝟏𝟓
49, 55 , 61 ,
𝒂 𝟐𝟎
𝑹/ 𝒂 𝟐𝟎 = 61
𝟑𝟏 − (−𝟓)

94. El octavo término de una sucesión aritmética es 8 y el vigésimo es 44. Determina el término general de la sucesión.
𝒂𝟖 = 𝟖 𝒂 𝟐𝟎 = 44
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1)
𝒂𝟏 , ...........
𝒂𝟏𝟎 , 𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 ,𝒂𝟏𝟑 , 𝒂𝟏𝟒 , 𝒂 𝟏𝟓 ,
𝒂 𝟏𝟗 ,
, 𝒂𝟗 , 𝒂 𝟏𝟕 , 𝒂 𝟏𝟖 ,
𝒂 𝟏𝟔 ,
44- 8 = 𝟑𝟔
n= 13-1 = 𝟏𝟐
d=
𝟒𝟒−𝟖
𝟏𝟐
d=
𝟑𝟔
𝟏𝟐
Paso 1
44= 𝒂𝟏 + 𝟑 (20 – 1)
𝒂𝟏 + 𝟑 (19 )
44=
𝒂𝟏 + 𝟓𝟕
44=
44 −𝟓𝟕 = 𝒂𝟏
-13 = 𝒂𝟏
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1)
𝒂𝒏 = -13 +𝟑 (n – 1)
𝒂𝒏 = -13 +𝟑 𝐧 – 3
𝒂𝒏 = -16 +𝟑 𝐧
𝒂𝟖 = 𝟖
𝒂𝟕 = 𝟓
𝒂𝟔 = 𝟐
𝒂𝟓 = −𝟏
𝒂𝟒 = −𝟒
𝒂𝟑 = −𝟕
𝒂𝟐 = −𝟏𝟎
𝒂𝟏 = −𝟏𝟑
d= 𝟑
Paso 2 Paso 3
d= 𝟑

95. 2.1 Sucesiones geométricas: definición*
2.1 Determina si una sucesión es geométrica utilizando su definición

96. 2.1 Sucesiones geométricas: definición*
Una sucesión donde sus términos pueden obtenerse multiplicando por un mismo número el término anterior
se llama sucesión geométrica.
Ejemplo:
2, 4, 8, 16, 32, 64……… r = 2
2, 6, 18, 54, 162, 486 ……… r = 3
100, 50, 25 , 12.5, 6.25……… r =
𝟏
𝟐
Una sucesión geométrica tiene la propiedad que al dividir un término entre su anterior, el resultado siempre es el
mismo. A este resultado se le llama razón.
5, 15, 45, 135, 405….., r = 3
÷
÷
Geométrica
Geométrica
Geométrica

98. 2.2 Sucesiones geométricas: término general*
2.2 Encuentra el término general de una sucesión geométrica.

99. 2.2 Sucesiones geométricas: término general*
Ejemplo:
𝒂𝒏 =
𝟏
𝟒
𝒏
𝒂𝒏 = 𝟑 𝟐 𝒏−𝟏
𝒂𝒏 = 𝟑𝒏−𝟏
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏
𝒂𝒏 = término general / último valor de la serie
𝒂𝟏= primer valor de la serie
𝒓 = razón
𝒏 = 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅/𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏
Establece el término general de las sucesiones geométricas del problema de la clase 2.1.

100. 2, 4, 8, 16, 32, 64……… r = 2
Establece el término general de las sucesiones geométricas del problema de la clase 2.1.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏
5, 15, 45, 135, 405….., r = 3
÷
÷
÷
÷
𝒂𝒏 = 𝟐𝟏 𝟐 𝒏 −𝟏
𝒂𝒏 = 𝟐 𝒏 −𝟏+𝟏
𝒂𝒏 = 𝟐 𝒏
𝒂𝒏 = 𝟓 𝟑 𝒏 −𝟏 Término general
Término general

101. 2.3 Sucesiones geométricas: suma parcial, parte 1
2.3 Calcula la suma parcial de una sucesión geométrica.

102. 2.3 Sucesiones geométricas: suma parcial, parte 1
2. Calcula la suma de los primeros 6 términos de la sucesión 𝒂𝒏 = 𝟑 −𝟐 𝒏 −𝟏
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏
𝒓𝒏 −𝟏
𝒓 −𝟏
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏
𝒂𝟏 = 3
𝒓 = −𝟐
𝑺𝟔 = 𝟑
−𝟐 𝟔 −𝟏
−𝟐 −𝟏
n = 𝟔
𝑺𝟔 = 𝟑
𝟔𝟑
−𝟑
𝑺𝟔 = −𝟏 𝟔𝟑
Otra forma ….
3, -6, 12, -24, 48, -96,
𝑺𝟔 = −𝟔𝟑

103. 2.5 Sucesiones geométricas: problemas

104. 2. El primer término de una sucesión geométrica es 3 y el tercer término es 4/ 3. Determina el
término general y el cuarto término
2.5 Sucesiones geométricas: problemas
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏
r =
𝒏−𝟏 𝒂𝒏
𝒂𝟏
𝒂𝟏= 3 𝒂𝟐 𝒂𝟑 =
𝟒
𝟑
r =
𝟑−𝟏
𝟒
𝟑
𝟑
𝟏
r =
𝟐 𝟒
𝟗
r = ±
𝟐
𝟑
𝒂𝒏 = 𝟑
𝟐
𝟑
𝒏 −𝟏
𝒂𝟒 =
𝟖
𝟗
𝒂𝟑 =
𝟒
𝟑
×
𝟐
𝟑
Término general
cuarto término
𝒂𝒏 = 𝟑 −
𝟐
𝟑
𝒏 −𝟏
𝒂𝟒 =
−𝟖
𝟗
𝒂𝟑 =
𝟒
𝟑
×
−𝟐
𝟑
cuarto término

105. 2.5 Sucesiones geométricas: problemas
r =
𝒏−𝟏 𝒂𝒏
𝒂𝟏
𝒂𝟓= 48 𝒂𝟔 𝒂𝟖 = 𝟑𝟖𝟒
r =
𝟒−𝟏 𝟑𝟖𝟒
𝟒𝟖
r =
𝟑
𝟖
r = 𝟐
𝒂𝟗 = 𝟕𝟖𝟔
𝒂𝟖 = 𝟑𝟖𝟒 × 𝟐
3. En una sucesión geométrica, el quinto término es 48 y el octavo es 384. Determina el décimo segundo
término
𝒂𝟕
𝒂𝟏𝟐 = ?
× 𝟐
× 𝟐
× 𝟐
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏𝟓𝟑𝟔
𝒂𝟏𝟏 = 𝟑𝟎𝟕𝟐
𝒂𝟏𝟐 = 𝟔𝟏𝟒𝟒

106. 2.5 Sucesiones geométricas: problemas
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏
𝒂𝟏= 2 𝒂𝟐= 6 𝒂𝟑 = 𝟏𝟖
r = 𝟑
13122 = 𝟐 𝟑 𝒏 −𝟏
4. ¿Qué término de la sucesión geométrica 2, 6, 18, ... es 13 122?
𝒂𝒏 = 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟐
𝟏𝟑𝟏𝟐𝟐
𝟐
= 𝟑 𝒏 −𝟏
6561 = 𝟑 𝒏 −𝟏
6561 3
2187 3
729 3
243 3
81 3
27 3
9 3
3 3
1
𝟑𝟖
= 𝟑 𝒏 −𝟏
Igualando potencias.
8 = n – 1
8 + 1 = n 9 = n
……………………………………
÷
𝒂𝟑 = 𝟏𝟖 × 𝟑
𝒂𝟒 = 𝟓𝟒 × 𝟑
× 𝟑
× 𝟑
× 𝟑
× 𝟑
𝒂𝟓 = 𝟏𝟔𝟐
𝒂𝟗 = 𝟏𝟑, 𝟏𝟐𝟐
𝒂𝟔 = 𝟒𝟖𝟔
𝒂𝟕 = 𝟏𝟒𝟓𝟖
𝒂𝟖 = 𝟒𝟑𝟕𝟒
Método 1: usando la razón
13 122 es el noveno término.
Método 2: usando la fórmula

107. 1.2 Operaciones con conjuntos

108. 1.1 Teoría de conjuntos
• La cantidad de elementos que tiene un conjunto se conoce como cardinalidad del conjunto
y dado un conjunto A se denota la cardinalidad de A por n(A) (o en ocasiones como|A|).
• Si los elementos están expresados por una regla o característica de todos los elementos, se
dice que el conjunto está expresado por comprensión,
• Ejemplo: A: { días de la semana}
• Si los elementos están expresados en forma de lista, se dice que el conjunto está expresado
por extensión, por ejemplo: A = {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado}
• La cardinalidad de A se denota por n(A) = 7
• El conjunto que no posee elementos se conoce como conjunto vacío, se denota por ∅,

109. 1.2 Operaciones con conjuntos
1. La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los
elementos que están en A o en B
A⋃B, y se lee “A unido B”.
2. intersección de conjuntos, se denota A⋂B, y se lee “A intersectado
B”.
3. el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B se conoce
como diferencia de conjuntos, y se denota A – B
4. La operación entre dos conjuntos A y U que cumplen que A ⊂ U y toma los
elementos de U que no están en A se conoce como complemento del conjunto A, y
se denota Ac
5. Al conjunto U a menudo se le conoce como conjunto universo o
simplemente universo.

110. 2. Para cada diagrama de Venn, determina los conjuntos A, B, A⋃B, A⋂B, A – B, B – A, Ac y Bc
A:
B:
A⋃ B :
A⋂B : ____________
A – B : ∅
B – A : _____________
Ac : ________________
Bc : ___________________
𝟑, 𝟓, 𝟕
𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕
𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕
𝟑, 𝟓, 𝟕
𝟐, 𝟒
𝟏, 𝟐 𝟒, 𝟔
𝟏, 𝟔

111. 1.3 Calcula la cardinalidad de conjuntos y de sus operaciones

113. PASO 1. CALCULAR. n(A) = _____ n(B) = ________ y n(A⋂B) = ______
Paso 2. a) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
b) n(U) = 9
c) n(Ac ) = n(U) – n(A)
4 5 2
n(A⋃B) = 4 + 5 – 2
n(A⋃B) = 7
c) n(Ac ) = 9 – 4
c) n(Ac ) = 5
Definición: La cantidad de elementos que tiene un conjunto
1.3 Calcula la cardinalidad de conjuntos y de sus operaciones
d) n(B c ) = n(U) – n(B)
e) n[(A⋃B) ] c = n(U) – n(A⋃B)
= 9 – 7
= 2
n[(A⋃B) ] c
f) n(Ac⋂Bc) = (A⋃B) c = 2
g) n[(A⋂B)c ] = n(U) – n(A⋂B)
= 9 – 2
= 7
n[(A⋂B)c ]
h) n(Ac ⋃ Bc) = n(Ac ) + n(Bc ) – n(Ac⋂Bc)
n(B c ) = 9 - 5
n(B c ) = 4
h) n(Ac ⋃ Bc) = 5 + 4 – 2
h) n(Ac ⋃ Bc) = 7

114. 1.4 Aplicaciones de la cardinalidad de conjuntos

115. 1.4 Resuelve problemas aplicando las propiedades de la cardinalidad de las operaciones con conjuntos.
Considerando los números naturales del 1 al 100, resuelve:
a) ¿Cuántos múltiplos de 4 hay?
A = {4(1),4), 4(3), ... , 4(23), 4(24), 4(25)}
n(A) = 25.
b) ¿Cuántos que no son múltiplos de 5 hay?
B = {5(1), 5(2), 5(3), ... , 5(18), 5(19), 5(20)}
n(Bc ) = n(U) – n(B) = 100 – 20 = 80.
c) ¿Cuántos múltiplos de 4 y de 5 hay?
El conjunto formado por los múltiplos de 4 y de 5
es el mismo conjunto que el de los múltiplos de 20
que hay entre 1 y 100.
A⋂B = {20(1), 20(2), 20(3), ... , 20(5), }.
n(A⋂B) = 5
d) ¿Cuántos múltiplos de 4 o de 5 hay?
n(B) = 20
Esta dado por el conjunto A⋃B.
n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B).
= 25 + 20 – 5
= 40
e) ¿Cuántos números que no son múltiplos de 4 ni de 5 hay?
n[(A⋃B)c ]
n(A⋃B)
= n(U) – n(A⋃B)
= 100 – 40
= 60 .
n[(A⋃B)c ]
Tips:
𝟏𝟎𝟎
𝟒
= 𝟐𝟓
Tips:
𝟏𝟎𝟎
𝟓
= 𝟐𝟎
1.4 Aplicaciones de la cardinalidad de conjuntos

116. 2.1 Diagrama de árbol

117. María tiene 2 pantalones, 1 falda, 2 blusas y 3 pares de zapatos, todos diferentes. Utiliza diagrama de árbol para
determinar cuántas formas diferentes tiene María para vestirse
2.1 Utiliza el diagrama de árbol para resolver situaciones sobre conteo.
2.1 Diagrama de árbol
El diagrama en donde se listan todas las posibilidades de un suceso por casos y se representa por líneas rectas se
conoce como diagrama de árbol,
Hay 18 formas diferentes en que puede
vestirse María.

118. 2.1 Diagrama de árbol
2. Utiliza un diagrama de árbol para calcular cuántas formas hay para repartir 4 dulces de diferente sabor entre 4
personas, si ninguna puede quedar sin dulces.
Hay 24 formas diferentes de repartir los dulces.

119. 2.2 Principio de la suma

120. n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B),
n(A⋃B) = 35 + 21 – 14
n(A⋃B) = 42
n[(A⋃B)c ] = n(U) – n(A⋃B)
2. Considerando los conjuntos U, A y B en los que se cumple que n(U) = 60, n(A) = 35,
n(B) = 21 y n(A⋂B) = 14, determina:
n[(A⋃B)c ] = 60 - 42
n[(A⋃B)c ] = 18

121. n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B),
n(A⋃B) = 35 + 21 – 14
n(A⋃B) = 42
n[(A∩B)c ] = n(U) – n(A ∩B)
2. Considerando los conjuntos U, A y B en los que se cumple que n(U) = 60, n(A) = 35,
n(B) = 21 y n(A⋂B) = 14, determina:
n[(A ∩ B)c ] = 60 -
n[(A ∩ B)c ] =

123. TUTORIA N°2 LUNES 26 DE ABRIL
• AGENDA
• SALUDO/ASISTENCIA
• REFLEXIÓN
• REPASO
• PRESENTACIÓN DE LOS INDICADORES DE LOGRO
• REPASO TUTORÍA 1
• DESARROLLO DE TUTORÍA 2
• CIERRE

124. • 3.9 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = Asen θ y y = sen Bθ.
• 3.10 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen θ + k.
• 3.11Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen(θ – α).
• 3.12 Grafica las funciones trigonométricas del tipo y = Asen B(θ – α).
• 3.13 Convierte ángulos del sistema sexagesimal al sistema circular y
viceversa

126. REPASO
Determina los valores de seno, coseno y tangente de cada
ángulo.

127. • EJERCICIO 2. Utiliza la periodicidad de
las funciones trigonométricas para
calcular el valor de cos ( 420°)=
subraye la opción correcta.
A)Cos 45°
B)cos 30°
C)cos 60°

128. EJERCICIO 3. ¿ Cuál
es la función que
representa la gráfica
mostrada?
A) seno
B) coseno
C) tangente
D) secante

129. CONOCIMIENTO PREVIO . LEA LOS DOS CONCEPTOS QUE SE EXPONEN A
CONTINUACIÓN Y LUEGO RESPONDA LOS EJERCICIOS PROPUESTOS.
• 1. El periodo es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una
copia del patrón repetido. Se calcula de la forma siguiente:
• Para : f(𝜽) = 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝜽 Período es =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
• 2. Amplitud: Se llama amplitud de la función al valor del coeficiente que multiplica a la
misma. En la gráfica la vemos como la distancia que existe entre el eje x y el valor más
alto o más bajo que toma la función.

130. Indicadores de logro
• 1.3 Determino si una sucesión es aritmética utilizando su
definición.
• 1.4 Establezco el término general de una sucesión aritmética y lo
utiliza para calcular algunos términos de esta.
•
• 1.5 Calculo la suma parcial de una sucesión aritmética

131. CONOCIMIENTO PREVIO
• EJERCICIO 3. investigar 2 ejemplos resueltos
del Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2
• EJERCICIO 4. Investiga como se deduce la
identidad pitagórica: c2 = a2 + b2

132. REPASO TUTORIA 3

133. TUTORIA N°2 JUEVES 29 DE ABRIL
• AGENDA
• REPASO
• PRESENTACIÓN DE LOS INDICADORES DE LOGRO
• REPASO TUTORÍA 1
• DESARROLLO DE TUTORÍA 2
• CIERRE

134. • 3.11Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen(θ – α).
• 3.12 Grafica las funciones trigonométricas del tipo y = Asen B(θ – α).

139. 3.11 Desplazamiento horizontal de las funciones trigonométricas
La gráfica de f(θ) = sen(θ – α) es un desplazamiento horizontal de α unidades de la gráfica de sen θ.
En general, la gráfica de f(x – h) es un desplazamiento horizontal de h unidades de la gráfica de f(x):
Hacia la derecha si h > 0.
Hacia la izquierda si h < 0.
x – h = 0

140. 3.11 Desplazamiento horizontal de las funciones trigonométricas
Grafica f(θ) = sen(θ + 90°) funciones, en el intervalo [0, 360°], utilizando los desplazamientos:
0 1 0 -1 0 1
Y = sen(θ + 90°) 1 0 -1 0 1 -1
senθ
sen(θ + 90°)
θ + 90° = 0
θ = - 90°

141. • 3.9 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = Asen θ y y = sen Bθ.
• 3.10 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen θ + k.
• 3.11Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen(θ – α).
• 3.12 Grafica las funciones trigonométricas del tipo y = Asen B(θ – α).
• 3.13 Convierte ángulos del sistema sexagesimal al sistema circular y
viceversa