Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinomial, incluyendo interpolación lineal, cuadrática, de Newton, de Lagrange, de Hermite y mediante tablas de diferencias. Explica cómo calcular polinomios de interpolación que aproximan funciones desconocidas basadas en conjuntos de puntos de datos.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Universidad Fermín Toro
Núcleo Portuguesa
Ing. en Computación
Estudiante
Kenj mourad
Cl:19903208
Araure 9 de febrero del 2013

2. INTERPOLACIÓN
Consiste en determinar el polinomio único de n-esimo grado que se ajuste a n+1
punto, este polinomio, entonces esto proporciona una formula para calcular valores
intermedio aunque hay uno y un solo polinomio de n-eximo grado que se ajusta a n+1 punto
existen una gran variedad de formula matemática en la cuales pueden expresarse este
polinomio. por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley
que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de
las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que
obtengamos será una aproximación del valor real.
INTERPOLACIÓN LINEAL
Consiste en unir dos puntos con una llinea recta y esta es su formula
x2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1
y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
En consecuencia una estrategia para mejora la estimación consiste en introducir
alguna convertura a la línea que une los puntos pero si tienen 3punto ya son un polinomio
de segundo grado y su formula es
FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON
El polinomio de n-ésimo grado es
fn(x) = b0 + b1(x – x0) + · · · + bn(x – x0)(x – x1)· · ·(x – xn–1)
Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos
asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para un polinomio
den-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamos
estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:
b0 = f(x0)
b1 = f[x1, x0]
b2 = f[x2, x1, x0]

3. ·
bn = f[xn, xn–1, · · ·, x, x0]
donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas
finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa
como
F(xi,xj)=
ERRORES DE LA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones
de las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurrió con la serie de Taylor, si
la función verdadera es un polinomio de n-ésimo grado, entonces el polinomio de
interpolación de n-ésimo grado basado en n + 1 puntos dará resultados exactos. También,
como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error de
truncamiento
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA
Existen métodos de Interpolación segmentaria que nos permiten aproximar funciones
de un modo eficaz. Entre ellos cabe destacar la interpolación de Taylor y la interpolación por
Splines Tiene dos ventajas esenciales sobre otras formas de interpolación: Requiere sólo de
un punto conocido de la función para su cálculo, si bien se pide que la función sea
suficientemente diferenciable en un entorno de ese punto.
El cálculo del Polinomio de Taylor es sumamente sencillo comparado con otras formas de
interpolación polinómica:
Sin embargo, en ocasiones no será deseable su uso dado que el error de interpolación puede
alcanzar cotas demasiado elevadas.tambien existe varios tip como la lineal, cuadrática y
cubico
TRAZADORES LINEALES
La unión más simple entre dos puntos es una línea recta. Los trazadores de primer
grado para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones
lineales,

4. f(x) = f(x0) + m0(x – x0) x0< x < x1
f(x) = f(x1) + m1(x – x1) x1 < x < x2
.
.
f(x) = f(xn–1) + mn–1(x – xn–1) xn–1< x < x
TRAZADORES (SPLINES) CUADRÁTICOS
Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuas en los nodos, se debe
emplear un trazador de un grado de, al menos, m + 1. En la práctica se usan con más
frecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguran primera y segunda
derivadas continuas. Aunque las derivadas de tercer orden y mayores podrían ser
discontinuas cuando se usan trazadores cúbicos, por lo común no pueden detectarse en
forma visual y, en consecuencia, se ignoran.
Debido a que la deducción de trazadores cúbicos es algo complicada, la hemos
incluido en una sección subsecuente. Decidimos ilustrar primero el concepto de
interpolación mediante trazadores usando polinomios de segundo grado. Esos
“trazadores cuadráticos” tienen primeras derivadas continuas en los nodos. Aunque los
trazadores cuadráticos no aseguran segundas derivadas iguales en los nodos, sirven muy
bien para demostrar el procedimiento general en el desarrollo de trazadores de grado
superior. El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo grado
para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio en cada intervalo se
representa como
TRAZADORES CÚBICOS
El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado para
cada intervalo entre los nodos:
Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4n
incógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos, se requieren 4n condiciones para
evaluar las incógnitas. Éstas son:
1. . Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2
condiciones).
2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2
condiciones).

5. 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1
condiciones).
4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1
condiciones).
5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones)
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del
polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa de
manera concisa como
donde son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:
COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN
Aunque el polinomio de Newton y el de Lagrange son adecuados para determinar
valores intermedios entre puntos, no ofrecen un polinomio adecuado de la forma
convencional f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn
Un método directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en el
hecho de que se requieren n + 1 puntos para determinar los n + 1 coeficientes. Así, se utiliza
un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para calcular las a. Por ejemplo,
suponga que usted desea calcular los coeficientes de la parábola

6. INTERPOLACIÓN DE HERMITE
Son polinomios por partes Hn(x)ya sea cubico en cada su intervalo en la
interpolación f(x) y f'(x) en los puntos su función queda establecida en forma única por esta
condiciones y su calculo se tiene que hacer por sistema lineales de 4x4 cada una tiene como
desventajas que necesita de la disposición de muchas aplicaciones
TABLA DE DIFERENCIAS
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, el
propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x,
f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi,
f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma
manera, en el intervalo en cuestión. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias
(ejemplo):
x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)
0,0 0,000
0,203
0,2 0,203 0,017
0,220 0,024
0,4 0,423 0,041 0,020
0,261 0,044
0,6 0,684 0,085 0,052
0,346 0,096
0,8 1,030 0,181 0,211
0,527 0,307
1,0 1,557 0,488
1,015
1,2 2,572