slide 16

1. ЗмістМОДУЛЬ 1
 Лекція 1. Задачі науки про опір матеріалів. Класифікація тіл по геометричних ознаках. Об'єкти вивчення в
курсі з опору матеріалів. Зв'язок науки про опір матеріалів з іншими науками. Реальний об'єкт та розрахункова
схема. Основні гіпотези. Зовнішні сили та класифікація навантажень. Визначення внутрішніх зусиль. Метод
уявних перерізів.
 Лекція 2. Розтяг та стиск прямого бруса. Повздовжні сили, їх епюри. Напруження в поперечному і нахиленому
під довільним кутом перерізі бруса. Повздовжні та поперечні деформації. Закон Гука при розтязі та стиску.
 Лекція 3. Механічні характеристики матеріалів при розтязі та стиску. Розтяг та стиск пластичних матеріалів.
Основні механічні властивості. Особливості деформування та зруйнування пластичних матеріалів. Розтяг та
стиск крихких матеріалів, їх основні характеристики.
 Лекція 4. Поняття про повзучість, релаксацію та тривалу міцність. Потенційна енергія деформації при розтязі
та стиску. Повна та питома робота, що витрачається на деформування матеріалів. Особливості їх поведінки
під навантаженням. Вплив швидкості навантаження, температури та других факторів на характеристики
міцності матеріалів.
 Лекція 5. Розрахунки на міцність і жорсткість при розтязі та стиску. Основні поняття про міцність, надійність,
довговічність конструкцій. Методи розрахунків по допустимих напруженнях, допустимих навантаженнях.
Основні типи задач в опорі матеріалів. Поняття концентрації та коефіцієнта концентрації.
 Лекція 6. Врахування власної ваги при розтязі та стиску. Поняття про брус рівного опору. Переміщення під
дією власної ваги.
 Лекція 7. Основні поняття про геометричні характеристики перерізів. Статичний момент інерції. Центр ваги
фігури. Моменти інерції простих фігур.
 Лекція 8. Зміна осьових та відцентрових моментів при паралельному переході від центральних осей до
довільних. Зміна осьових та відцентрових моментів при повороті координатних осей. Поняття про головні осі,
головні центральні осі. Визначення головних моментів та моментів інерції для складних перерізів. Моменти
опору. Радіус інерції.
МОДУЛЬ 2
 Лекція 9. Основні поняття про напружений стан тіла в точці. Способи визначення напруженого стану. Закон
парності дотичних напружень.
 Лекція 10. Типи напружених станів тіла в точці. Лінійний напружений стан. Зміна напружень при повороті
площадок. Визначення головних напружень через напруження взаємно перпендикулярних площадок.
Графічне відображення плоского напруженого стану. Траєкторія головних напружень.
 Лекція 11. Поняття про об’ємний напружений стан. Об’ємна деформація. Зв'язок між напруженням та
деформаціями. Загальний закон Гука. Залежність між пружними постійного матеріалу. Відносна зміна об'єму.
Потенційна енергія пружної деформації. Питома енергія та енергія зміни об'єму та форми.
 Лекція 12. Призначення теорії міцності. Поняття про еквівалентне напруження. Класифікація теорій міцності.
Теорія Мора, енергетична теорія та інші. Загальні відомості про нові теорії та гіпотези міцності та
пластичності.
3

2.  Лекція 13. Напруження і деформації при зсуві. Чистий зсув. Розрахунки на міцність і умови міцності при зсуві.
 Лекція 14. Основні типи опор і балок. Чистий і поперечний згин. Внутрішні зусилля при згині. Диференціальні
залежності. Побудова епюр поперечних сил і згинальних моментів.
 Лекція 15. Нормальні та дотичні напруження при згині. Основні припущення. Залежність між згинаючим
моментом та кривизною осі зігнутого брусу. Жорсткість при згині. Напружений стан при згині. Розрахунок при
згині на міцність по допустимих напруженнях. Потенційна енергія деформації при згині.
 Лекція 16. Зовнішні сили, що визивають кручення бруса. Кручення прямого брусу круглого поперечного
перерізу. Основні припущення. Напруження в поперечних перерізах бруса. Кут закручення. Жорсткість та
міцність при крученні. Основні результати теорії кручення брусів прямокутного перерізу. Кручення стержнів,
перерізи яких складаються з декількох вузьких прямокутників. Поняття про мембранну аналогію.
 Лекція 17. Розрахунки циліндричних кругових пружин. Потенційна енергія деформації. Умови міцності та
жорсткості при крученні пружин.
 Лекція 18. Статична невизначеність стержневих систем. Статично невизначені задачі при розтязі та стиску,
температурному впливу, конструкційних особливостях та інше. Порогові навантаження статично
невизначених стержневих систем та напруження в них.
Рекомендована література
1. Смирнов А.Ф. Опір матеріалів. – М., 1976.
2. Писаренко Г.С. Опір матеріалів. – К., 1986.
3. Біляєв Н.М. Опір матеріалів. – М.: Наука, 1976.
4. Качурин В.К., Біляєв Н.М. та ін. Збірник задач з опору матеріалів / Під ред. В.К. Качурина. – М.: Наука, 1972.
5. Писаренко Г.С., Яковлев А.П. та ін. Довідник з опору матеріалів. – К. Наукова думка, 1975.
Методичне забезпечення
1. Методичні вказівки та завдання до виконання розрахунково-проектувальних робіт із курсу “Опір матеріалів”
для студентів електромеханічного факультету / Укладачі: К.І. Залужна, В.А. Кириченко, В.В. Муравльов,
В.М. Чередніков – Полтава : ПолтНТУ, 2005. – 30 с.
2. Методичні вказівки та завдання до виконання курсової роботи із курсу “Опір матеріалів” для студентів
електромеханічного факультету / Укладачі: К.І. Залужна, В.А. Кириченко, В.В. Муравльов, В.М. Чередніков. –
Полтава : ПолтНТУ, 2006. – 28 с.
3. Журнал лабораторних робіт з опору матеріалів / Укладачі: В.А. Кириченко, В.В. Муравльов, В.М. Чередніков.
– Полтава : ПолтНТУ, 2004. – 33 с.
4. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з опору матеріалів для студентів усіх напрямів
підготовки / Укладачі: А.В. Гасенко, О.Г. Фенко. – Полтава : ПолтНТУ, 2011. – 39 с.
5. Методичні вказівки для самостійної роботи з дисципліни “Опір матеріалів” для студентів денної та заочної
форм навчання за спеціальністю “Технологія машинобудування” / Укладачі: О.Г. Фенко. – Полтава: ПолтНТУ,
2005. – 29 с.
4

3. Лекція 1
 Вступ
Опір матеріалів є частиною більш загальної науки - механіки твердого деформівного тіла, в яку входять: теорія пружності, теорії пластичності і
повзучості, теорія споруд, будівельна механіка, механіка руйнування та ін. Завданням опору матеріалів є вивчення методів розрахунку
найпростіших елементів конструкцій і деталей машин на міцність, жорсткість і стійкість.
Міцністю називається здатність елемента конструкції чинити опір дії прикладених до нього сил не руйнуючись.
Жорсткістю називається здатність елемента конструкції чинити опір дії прикладених до нього сил, отримуючи лише малі пружні деформації.
Стійкістю називається здатність елемента конструкції зберігати первинну форму рівноваги під дією прикладених сил.
Реальні тіла не є абсолютно твердими і під дією прикладених до них сил змінюють свою первинну форму і розміри, тобто деформуються.
Деформації тіла, що зникають після зняття зовнішніх сил, називаються пружними, а не зникають - залишковими або пластичними.
Визначення розмірів деталей або зовнішніх навантажень, при яких виключається можливість руйнування деталей, є метою розрахунку на
міцність.
Визначення розмірів деталей або зовнішніх навантажень, при яких виключається можливість появи неприпустимих з точки зору нормальної роботи
конструкції деформацій цих деталей, є метою розрахунку на жорсткість.
Механіка твердого тіла, що деформується
Будівельні конструкції Теорія пластичності і повзучості
Теорія споруд Механіка підземних споруд
Будівельна механіка
Механіка ґрунтів
Опір матеріалів Деталі машин Прикладна механіка
Теорія пружності Механіка руйнування
 Реальний об'єкт і розрахункова схема
Реальний об'єкт, звільнений від несуттєвих особливостей, які не впливають помітним чином на роботу системи в цілому, називається
розрахунковою схемою. Перехід від реального об'єкта до розрахункової схеми здійснюється шляхом схематизації властивостей
матеріалу, системи прикладених сил, геометрії реального об'єкта, типів опорних пристроїв і т.д.
 Схематизація властивостей матеріалу
Реальні матеріали володіють різноманітними фізичними властивостями і характерною для кожного з них структурою. З метою спрощення
розрахунків в опорі матеріалів використовуються наступні припущення про властивості матеріалу.
1. Матеріал вважається однорідним, якщо його властивості у всіх точках однакові.
2. Матеріал вважається ізотропним, якщо його властивості у всіх напрямках однакові.
5
Ізотропними є аморфні матеріали, такі як скло і смоли.
Анізотропними є пластмаси, текстоліт і т.п.
Метали є полікристалічний тілами, що складаються з великої
кількості зерен, розміри яких дуже малі (близько 0,01 мм).
Кожне зерно є анізотропним, але внаслідок малих розмірів зерен
і безладного їх розташування метали проявляють властивість ізотропії.

4. Лекція 1 (продовження – 1.2)
3. Матеріал має властивість ідеальної пружності, внаслідок якої деформоване тіло повністю відновлює свою форму і розміри після
зняття навантаження незалежно від величин навантажень і температури тіла.
4. Форма і розміри пружного тіла змінюються прямо пропорційно зміні навантажень, тобто підпорядковується закону Гука (1660 р.).
6
5. Матеріал має властивість суцільності, тобто здатністю суцільно (без порожнин) заповнювати простір, обмежений поверхнею тіла.
Внаслідок цього матеріал вважається безперервним, що дозволяє використовувати для визначення напружень і деформацій математичний апарат
диференціального й інтегрального числення.
6. Пружні тіла є відносно жорсткими, завдяки чому переміщення точок тіла дуже малі в порівнянні з розмірами самого тіла. Ця гіпотеза
служить підставою для використання при розрахунку початкових (вихідних) розмірів тіла (по недеформованій схемі).
 Схематизація геометрії реального об'єкта - спрощує геометрію реально існуючих тіл, що складають конструкцію.
Більшість споруд, механізмів і машин можна розчленувати на окремі тіла простої геометричної форми:
Брус - тіло, два розміри якої малі в порівнянні з третім (стрижні, стійки, вали, балки). Брус може мати різну форму поперечного перерізу
(круглий, кільцевий, прямокутний, коробчастий, двотавровий та ін.) Поперечний переріз утворюється при розрізі бруса площиною,
перпендикулярної поздовжньої осі, а поздовжня вісь є лінією, що з'єднує центри ваги поперечних перерізів, і може бути прямою або
криволінійної. Брус є основним об'єктом, що розглядається в курсі опору матеріалів.
Наступні тіла є об'єктами розгляду в інших розділах механіки твердого тіла, що деформується (теорія пластин та оболонок, теорія пружності та
ін):
Оболонка, пластина - тіло, один вимір якого малий в порівнянні з двома іншими (тонкостінні резервуари, оболонки перекриття, плити,
стінки).
Масив - тіло, всі три виміри якого мало відрізняються один від одного (фундаментні блоки, кулька підшипника,
тіло гравітаційної греблі).
 Схематизація силового впливу - представляє модель механічної дії зовнішніх сил на об'єкт
від інших тіл або середовищ. До зовнішніх сил належать також і реакції зв'язків, що визначаються методами теоретичної механіки.
Схематизація силового впливу зводиться до розгляду трьох типів навантаження:
Зосереджена сила - сила, що розглядалася в курсі теоретичної механіки як вектор, що характеризується модулем (величиною),
напрямком дії і точкою прикладання. Тут така сила є умовною, оскільки механічна взаємодія деформованих тіл не може здійснюватися
в точці (площа контакту не дорівнює нулю). Умовність полягає в тому, що в разі малості площини контакту у
порівнянні з розмірами об'єкта, сила вважається прикладеної в точці. Якщо ж визначаються контактні напруження, наприклад, в головці
рейки, то враховується фактичний розподіл навантаження на рейку по площадці контакту, розміри якої залежать від величини стискаючої
сили (рівнодійної тиску). Зосереджена сила вимірюється в ньютонах (Н).
Об'ємні сили - сили, розподілені по об'єму (сили тяжіння, сили інерції), прикладені в кожній частині об’єму. Для цих сил
схематизація часто полягає в завданні простого закону зміни цих сил за об’ємом.
Об'ємні сили визначаються їх інтенсивністю, як границі відношення рівнодіючої
сили в розглянутому елементарному об’ємі до величини цього об’єму, що прагне до нуля: і вимірюються в Н/м3
.V
F
f
V ∆
∆
=
→∆ 0
lim

5. Лекція 1 (продовження – 1.3)
7
Поверхневі сили - сили, розподілені по поверхні
(тиск рідини, газу або іншого тіла), що характеризуються
інтенсивністю тиску, як границя відношення рівнодіючої
сили на розглянутій елементарній площадці до величини площі
Цієї площадки, що прагне до нуля:
і вимірюються в Н/м2
.
Для цих сил схематизація часто
полягає в завданні простого закону
зміни цих сил по поверхні.
A
F
p
A ∆
∆
=
→∆ 0
lim
Лінійно розподілене навантаження - сили, розподілені по деякій
лінії (довжині), що характеризується інтенсивністю навантаження, як
границя відношення рівнодіючої сили на розглянутій елементарній
довжині лінії до величини довжини цієї лінії,
Що прагне до нуля:
і вимірюються в Н / м.
Для цих сил умовність полягає у
представленні області контакту
у вигляді лінії нульової товщини.
Характер зміни часто задається
у вигляді простого закону (постійного, лінійного).
s
F
q
s ∆
∆
=
→∆ 0
lim
∆∆FF
∆A
∆s
∆∆FF
q=q(s)
За характером впливу на споруди зовнішні сили діляться на статичні і динамічні. Динамічне навантаження швидко змінюється
в часі (при русі рухомого складу, коливання, удар). При повільній зміні навантаження, можна знехтувати силами інерції і
деформаціями, що виникають в об'єкті, і таке навантаження може умовно вважатися статичним. За час дії на споруди навантаження
ділиться на постійне (вага несучих конструкції будівлі, вага мостового полотна) і тимчасове (навантаження від рухомого складу, вітрове
або снігове навантаження). Тимчасові навантаження регламентуються спеціальними документами (СНиП, ТУ).
 Внутрішні зусилля. Під дією зовнішніх сил на об'єкт відбувається зміна відстаней між частинками (атомами) розглянутого тіла і сил
взаємодії між ними. В результаті виникають так звані внутрішні сили, які можна визначити методом перерізів :
F3
F4
F1
F2
.0;0
;0;0
;0;0
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
zii
уii
xii
MZ
MY
MX1. Нехай брус під дією сил F1, F2, ... перебуває
в рівновазі. Для даного об'єкту
задовольняються рівняння рівноваги:
2. Проведемо переріз площиною, що співпадає з
поперечним перерізом брусу, в якому необхідно знайти
внутрішні сили.
3. Відкинемо одну з частин (наприклад, ліву) і замінимо її дію на частину бруса, що
залишилась, сукупністю реактивних сил, розподілених деяким чином по поверхні
поперечного перерізу.
4. Отриману систему внутрішніх сил можна спростити приведенням до головного вектору і
головного моменту, вибравши як центр приведення центр ваги поперечного перерізу.
5. Розкладемо головний вектор і головний момент на складові по осях x, y, z: Rx, Ry, Rz і Mx, My, Mz.
z
x
y
O
RRx
Ry
Rz
M0
Mz
Mx
My
6. Отримані компоненти мають в опорі матеріалів спеціальні назви, що відповідають видам деформації:
Rz = N - поздовжняа сила, Rx = Qx, Ry = Qy - поперечні сили і Mz - крутний момент, Mx, My - згинальні моменти.
N Qy
Qx
7. Оскільки залишена частина бруса повинна залишитися в рівновазі, отримані внутрішні силові фактори можуть бути визначені:
з рівнянь рівноваги, складених для цієї частини:
.0;0
;0;0
;0;0
залиш.частзалиш.част
залиш.частзалиш.част
залиш.частзалиш.част
=+=+
=+=+
=+=+
∑∑
∑∑
∑∑
zizi
уiyiy
xixix
MMZN
MMYQ
MMXQ
Або, як легко можна довести:
.;
;;
;;
твідкин.частвідкин.час
твідкин.частвідкин.час
твідкин.частвідкин.час
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
zizi
уiyiy
xixix
MMZN
MMYQ
MMXQ

6. Лекція 2
8
 Напруження - величина, що характеризує розподіл внутрішніх сил по перерізу.
Оскільки внутрішні зусилля представляють собою поверхневі сили, прикладені до поперечного перерізу
залишеної частини, то інтенсивність цих сил, назване повним напруженням, визначається як зазначено раніше:
Розмірність цього напруження збігається з розмірністю поверхневого навантаження (Н/м2
, МПа = 106
Н/м2
). A
R
p
A ∆
∆
=
→∆ 0
lim
Повне напруження, як і рівнодіюча внутрішніх сил, прикладених на елементарній площадці, є векторною величиною
і може бути розкладене на дві складові: перпендикулярне до розглядуваної площадки - нормальне напруження σn і
дотичне до площадки - дотичне напруження τn :
p
σn
τn
n
Дотичне напруження, в свою чергу, може бути розкладено на дві складові,
паралельні координатним осям x та y, пов'язаних з поперечним перерізом - τnx , τny :
τny
τnx
z
x
y
Під час аналізу напружень навколо розглянутої точки, виділяється нескінченно малий
об'ємний елемент (паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz), по кожній грані якого діють,
в загальному випадку, три напруження, наприклад, для грані, перпендикулярній осі x (площадка x) -σx, τxy, τxz :
x
y
z
σz
τzy
τzx
σx
σy
τxy
τxz
τyz
τyx
Компоненти напружень по трьом перпендикулярним граням елемента утворюють
систему напружень, описувану так званим тензором напружень:










=
zyzxz
zyyxy
zxyxx
T
σττ
τστ
ττσ
σТут перший стовпець представляє компоненти напружень на площадках,
нормальних до осі x, другий і третій - до осі y та z відповідно. перший
індекс вказує площадку ("місце") дії, другий - напрям. Для
нормальних напружень індекси збігаються і один індекс опускається.
 Зв'язок внутрішніх зусиль і напружень - Внутрішні зусилля в перерізі, як було показано вище,
пов'язані рівняннями рівноваги з зовнішніми силами, прикладеними до залишеної частини бруса при його перетині. З іншого боку, внутрішні
зусилля є результат приведення до центру поперечного перерізу внутрішніх сил, прикладених до елементарних майданчиків (напружень), що
виконується додаванням, яке для елементарних сил зводиться до інтегрування за площею поперечного перерізу.
;;
;
∫∫
∫
==
=
A
zyy
A
zxx
A
z
dAQdAQ
dAN
ττ
σ
x
yВиконання цієї операції
для кожного з внутрішніх зусиль
приводить до наступних
інтегральних виразів :
σz
τzy
τzx
O
x
yz N
Qy
Qx
∫
∫∫
−=
−==
A
zxzyz
A
zy
A
zx
dAyxM
xdAMydAM
.)(
;;
ττ
σσ
Mz
Mx
My
Таким чином, в цілому зв'язок зовнішніх сил, внутрішніх зусиль і напружень такий :
Зовнішні сили Внутрішні зусилля Напруження
Рівняння рівноваги Інтегральні співвідношення
Нагадаємо, що опорні реакції конструкції включаються в число зовнішніх сил.
Для визначення цих реакцій в статично невизначених системах рівнянь
рівноваги недостатньо і слід додатково розглядати переміщення,
пов'язані з внутрішніми зусиллями і напруженням, а також фізичні співвідношення
пружності.
Задача визначення напружень в силу інтегральності співвідношень з внутрішніми
Зусиллями, завжди статично невизначена і необхідно додатково розглядати
деформації тіла з метою визначення закону розподілу напружень по перерізу.

7. Лекція 2 (продовження – 2.2)
9
 Переміщення – перехід точок тіла в нове положення внаслідок зміни форми і розмірів тіла під дією навантаження.
Повне переміщення точки в просторі розкладається на компоненти u, v і w, паралельні осям x, y і z, відповідно.
Переміщення розглядуваної точки залежить від деформації всіх навантажених областей тіла і включає в себе переміщення як жорсткого
цілого ненавантажених областей. Таким чином, переміщення не може характеризувати ступінь деформування навколо
розглядуваної точки.
■ Деформація в точці - міра деформування матеріалу навколо точки. Виділимо в даній точці тіла елементарний
об’єм (паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz) і розглянемо його можливі зміни розмірів і форми.
y
z
x
Нехай за рахунок деформації довжини його ребер отримають абсолютні видовження ∆dx, ∆dy та ∆dz:
dx
dz
dy
∆dx
∆dz
∆dy
Відносні лінійні деформації в точці :
.;;
dz
dz
dy
dy
dx
dx
zyx
∆
=
∆
=
∆
= εεε
Крім лінійних деформацій, пов'язаних зі зміною розмірів лінійних
елементів, виникають кутові деформації або
кути зсуву, пов'язані зі зміною форми.
Наприклад, у площині xy можуть виникати малі
зміни прямих кутів паралелепіпеда :
.xyxytg
dy
x
γγ ≈=
∆
y
x
dy
dx
∆x
γxy
Такі кутові деформації в загальному випадку можуть мати місце у всіх трьох
площинах. Всі відносні деформації досить малі і мають для реальних
матеріалів порядок ≈10-4
-10-3
.
Таким чином, сукупність відносних лінійних і кутових деформацій визначають деформований
стан в точці і утворюють тензор деформацій, подібний тензора напружень:
Примітка: Половинні кути зсуву використовуються з метою отримання аналогічних формул перетворення з
тензором напружень. 















=
zyzxz
zyyxy
zxyxx
T
εγγ
γεγ
γγε
ε
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Залежно від того, які з компонент відносних деформацій мають нульове значення
в даній області або для всього тіла, розрізняють такі прості види деформацій:
1. Лінійна деформація - εz ≠ 0, кути зсуву дорівнюють нулю, іншими лінійними відносними деформаціями нехтується
(Характеризується абсолютним і відносним подовженням).
2. Плоска деформація - εz ≠ 0, εx ≠ 0 або εy ≠ 0, інші відносні деформації дорівнюють нулю (характеризується абсолютним і
відносним звуженням площі поперечного перерізу). Ці види деформацій зазвичай реалізуються при розтязі-стиску.
3. Об'ємна деформація - εz ≠ 0, εx ≠ 0, εy ≠ 0, кути зсуву дорівнюють нулю (характеризується абсолютною і відносною зміною об’єму).
4. Чистий зсув - лінійні відносні деформації дорівнюють нулю, кути зсуву не рівні нулю (характеризується зміною форми,
зміна об’єму не відбувається). Цей вид деформації також виникає при крученні.
Відповідно до виду деформації спочатку послідовно вивчають такі найпростіші напружено-деформовані стани як
розтяг-стиск, чистий зсув і кручення, чистий згин. Далі вивчаються більш складні - поперечний згин, складний опір,
поздовжній згин.

8. F2
a b c
F1
Лекція 2 (продовження – 2.3)
10
 Внутрішні зусилля при розтязі-стиску - при розтязі-стиску в поперечному перерізі стержня виникає лише один силовий
фактор - поздовжня сила N. Відповідно до методу перерізів величина і напрям поздовжньої сили можуть бути знайдені з
рівняння рівноваги в проекції на вісь, що збігається з віссю стержня, складеного для залишеної частини:
 Поздовжня сила вважається позитивною, якщо вона викликає розтяг, тобто спрямована від перерізу (у бік зовнішньої нормалі), і
негативною, якщо вона викликає стиск, тобто направлено до перерізу.
;0
инизалиш.част
=+ ∑ iZN
■ Визначення внутрішніх зусиль - Внутрішні зусилля визначаються методом перерізів в сукупності точок по довжині бруса з метою
виявлення їх максимальних значень. Графік зміни внутрішнього зусилля по осі бруса називається епюрою.
Загальний порядок побудови епюр внутрішніх зусиль:
1. Якщо необхідно, то визначаються опорні реакції так, як це робиться в курсі теоретичної механіки (обрати об'єкт, відкинути
зв'язок, замінити відкинуті зв'язки реакціями, скласти рівняння рівноваги). Реакції можна не знаходити, якщо вони не входять до числа
зовнішніх сил, прикладених по одну сторону від розглядуваних перерізів.
2. Визначається число ділянок по довжині бруса, на яких навантаження або геометрія бруса не змінюється. Межею ділянки є будь-який
фактор, що впливає на різку (стрибкоподібну) зміну аналізованого внутрішнього зусилля (початок чи кінець бруса, перелом осі бруса,
місце розташування опори, точка прикладення зовнішньої зосередженої сили або іншого фактора, наприклад, зосередженого моменту,
початок або кінець розподіленого навантаження).
3. На кожній з ділянок проводиться переріз, віддалений від початку ділянки на деякій довільній (змінній) відстані. Для
кожного перерізу вказується поточна координата (z) від початку ділянки або від початку бруса і записуються межі зміни координати.
При виборі початку локальних координат на початку ділянки нижня межа завжди дорівнює нулю.
4. Для розглядуваного перерізу записується вираз внутрішнього зусилля у вигляді функції від координати z, розглядаючи рівновагу
залишеної частини або використовуючи встановлені визначення для обчислення внутрішнього зусилля по зовнішнім силам, розташованим по одну
сторону від перерізу.
5. За отриманими виразами будується епюра зміни зусилля підстановкою верхньої і нижньої меж, і якщо необхідно,
інших значень координат в дозволеному інтервалі, зазвичай в середині інтервалу.
Нехай прямолінійний брус навантажений поздовжніми зосередженими силами F1, F2:
1. Реакції лівої опори можна не визначати, тому що в цьому прикладі можна обмежитися розглядом
лише сил, прикладених до правих залишених частин (праворуч від перерізів).
2. Число ділянок - 3
3. Проведемо переріз I-I на першій ділянці та визначимо поточну координату перерізу й межі її зміни:
0 ≤ z1 ≤ a.
z1 I
I
4. Відкинемо ліву частину, замінимо її дію поздовжньої силою NI-I
і складемо рівняння рівноваги в проекції на вісь z:
NI-I
∑ =−+−= −
.0;0 21 FFNZ II
i
З рівняння рівноваги отримуємо вираз для поздовжньої сили на ділянці 1: .21 FFN II
−=−
Повторюємо кроки 3 та 4 для наступних ділянок:
3. Проведемо переріз II-II на другій ділянці і визначимо поточну координату перерізу і межі її
зміни: 0 ≤ z2 ≤ b.
z2 II
II
4. Відкинемо ліву частину, замінимо її дію поздовжньої силою NII-II
і складемо рівняння рівноваги в проекції на вісь z: ∑ =−−= −
.0;0 2FNZ IIII
i
NII-II
З рівняння рівноваги отримуємо вираз для поздовжньої сили на ділянці 2: .2FN IIII
−=−
Аналогічно отримуємо для ділянки 3 (0 ≤ z3 ≤ c):
F2F1
F2
∑ =−= −
.0;0 IIIIII
NZi .0=−IIIIII
N
z3 III
III
NIII-III
Отримані вирази показують, що поздовжня сила в перерізі дорівнює алгебраїчній сумі
проекцій на вісь бруса сил, взятих по одну сторону від перерізу!
.лiвправ
∑∑ == xixi FFN
Знак доданків позитивний, якщо розглянута сила спрямована
від перерізу, тобто будучи прикладена до перерізу викликає розтягування частини бруса по інший бік
від розрізу.
Використовуючи отримані вирази для поздовжньої сили побудуємо епюру поздовжніх сил:
При побудові епюри N, додатні значення зазвичай відкладаються вгору від базисної лінії
або вправо, якщо вона вертикальна.
Нехай F1 = 250 кН, F2 = 100 кН. Відкладаючи на кожній з ділянок значення поздовжньої сили в деякому
вибраному масштабі отримуємо епюру N:
Зверніть увагу, що стрибки на епюрі N розташовуються в точках прикладення зовнішніх
зосереджених сил і рівні величинам цих сил. Відповідно стрибок на лівому кінці
епюри дає величину опорної реакції.

9. Лекція 2 (продовження – 2.4)
11
 Центральний розтяг-стиск. У багатьох елементах конструкцій виникають тільки поздовжні зусилля, що викликають у них деформації
розтягу або стиску (стійки, елементи ферм, тяги, троси і т.п.). При цьому в місцях прикладення умовно зосереджених сил характер
розподілу деформацій досить складний і відрізняється від розподілу деформацій на деякій відстані від цієї локальної області. Розмір цієї
області дорівнює приблизно найбільшому з розмірів поперечного перерізу.
 Принцип Сен-Венана - Якщо сукупність деяких сил, прикладених до невеликої частини поверхні тіла, замінити статично еквівалентною
системою інших сил, то така заміна не викличе суттєвих змін в умовах навантаження частин тіла, досить віддалених від місць прикладання
вихідної системи сил.
 Як показує досвід, за межами цієї області деформації практично постійні і поперечні перерізи переміщуються паралельно своїм початковим
положенням. На підставі цього вводиться гіпотеза плоских перерізів (Я. Бернуллі):
Поперечні перерізи стержня, плоскі і перпендикулярні до осі стержня до деформації, залишаються плоскими і перпендикулярними після
деформації.
 Напруження і деформації - Як було раніше сказано, задача визначення напружень завжди є статично невизначеною.
Такі завдання вирішуються послідовним розглядом статичної, геометричної і фізичної сторін.
В даному випадку маємо статичне рівняння, що зв'язує внутрішнє зусилля - поздовжню силу з напруженням: ;∫=
A
z dAN σ
Для обчислення інтеграла необхідно знати закон зміни напружень по перерізу. Цей закон можна встановити
вивченням безпосередньо досліджуваних переміщень (деформацій). Оскільки приймається гіпотеза плоских перерізів, то при відсутності
зовнішнього розподіленого поздовжнього навантаження, деформації постійні по перерізу і по довжині стержня (геометрія). З введеного
раніше визначення деформацій у точці:
.const
dz
dz
z =
∆
=ε ,прод
l
l
z
∆
== εε де ∆l – абсолютна поздовжня деформація
(видовження), l - довжина (базова довжина) стержня.
Дослідним шляхом встановлений фундаментальний (фізичний) зв'язок зусиль і видовжень (Р. Гук) і в наступному, напруження і деформацій
(Коші, Навьє) у вигляді:
,εσ E= де Е – модуль пружності (фізична постійна матеріалу, що визначається експериментально).
Підстановка останнього співвідношення - закону Гука в інтегральне вираження з урахуванням сталості деформацій та напружень дає :
;AdAN z
A
z σσ == ∫ .
A
N
z =σ
Нормальні напруження в поперечному перерізі прямо пропорційно величині
поздовжнього зусилля і обернено пропорційно площі перерізу.
Абсолютну деформацію (видовження) стержня також можна визначити через поздовжнє зусилля
(отримана таким чином залежність називається законом Гука в розгорнутому вигляді):
.l
E
ll z
σ
ε ==∆ .
EA
Nl
l =∆
Формула для абсолютного видовження справедлива лише при постійній по довжині стержня поздовжній силі
і незмінній площі поперечного перерізу! У разі змінної поздовжньої сили, наприклад, при врахуванні власної
ваги вертикальних стержнів, та / або змінної площі необхідно використовувати інтегральний вираз:
.
0
∫=∆
l
EA
Ndz
l

10. Лекція 2 (продовження – 2.5)
12
 Коефіцієнт Пуассона - при розтягу стержня поряд з поздовжньою деформацією (видовженням), яке визначається законом Гука, виникає
поперечна деформація (звуження поперечного перерізу), що виражається в зменшенні поперечних розмірів стержня. Відносні поперечні
деформації обчислюються як де b, h - розміри поперечного перерізу.
,попер
b
b
x
∆
−== εε ,попер
h
h
y
∆
−== εε
Експериментально встановлено, що існує лінійний зв'язок
між поздовжньої і поперечної деформацією: де ν – коефіцієнт пропорційності, що називається
коефіцієнтом Пуассона.
Коефіцієнт Пуассона для певного матеріалу в межах пружних деформацій має постійне значення
і знаходиться в межах від 0 до 0,5.
поздпопер ενε ⋅−=
Матеріал ν
Сталь 0,25-0,33
Мідь, бронза 0,31-0,35
Чавун 0,23-0,27
Бетон 0,08-0, 18
Деревина:
вздовж волокон
поперек волокон
0,5
0,02
Алюміній 0,32-0,36
Резина, каучук 0,47-0,5
.
E
z
z
σ
ε =
За законом Гука, який визначає зв'язок нормальних напружень з поздовжніми деформаціями:
тоді
.
E
z
zyx
σ
µµεεε −=−==
Як згадувалося раніше, в загальному випадку навантаження, по гранях виділеного
елемента виникають нормальні і дотичні напруження. Останні,
викликаючи деформації зсуву і не впливають на лінійні деформації,
оскільки не змінюють довжин сторін елемента. Використовуючи принцип
незалежності дії сил, справедливий для ізотропного і лінійно пружного матеріалу,
можна записати узагальнений закон Гука, що враховує одночасну дію
нормальних напружень по всіх гранях елемента:
)].([
1
)];([
1
)];([
1
yxzz
xzyy
zyxx
E
E
E
σσνσε
σσνσε
σσνσε
+⋅−=
+⋅−=
+⋅−=
 Напруження на похилих площадках - при розтязі стержня в його
поперечному перерізі виникають тільки нормальні напруження. Визначимо,
які напруження виникають в перерізі, не перпендикулярному до осі стержня.
α
FF
1. Відкинемо праву частину та замінимо її дію головним вектором сил Rα :
Із рівнянь рівноваги, спроектувавши на вісь стержня Rα = F.
Rα
2. Розкладемо це внутрішнє зусилля на нормальну та дотичну до перерізу складову Nα и Qα:
Nα
Qα
α
.sinsin
;coscos
αα
αα
αα
αα
FRQ
FRN
==
==
3. Підрахуємо нормальні та
дотичні напруження на
похилому перерізу площею
Aα =A / cosα:
.cossin
cos
sin
;cos
cos
cos 2
αα
α
α
τα
α
α
σ
α
α
α
α
α
α
A
F
A
F
A
Q
A
F
A
F
A
N
======
Тут, як і раніше, передбачається рівномірний
розподіл напружень по перерізу.
З урахуванням того, що поздовжня сила N у поперечному перерізі
дорівнює зовнішній розтягувальній силі F, відношення F / A = N / A є
нормальним напруженням в поперечному перерізі. Тоді отримуємо: .2sin
2
1
;cos2
αστ
ασσ
α
α
=
=
Аналіз отриманих співвідношень показує:
1. При α = 0 (похила площадка збігається з поперечним перерізом):
дотичні напруження відсутні, а нормальні напруження максимальні.
2. При α = 450
: дотичні напруження максимальні,
а нормальні напруження дорівнюють дотичним.
3. При α = 900
: (поздовжня площадка) нормальні і дотичні напруження перетворюються
в нуль (поздовжні волокна не тиснуть один на одного і не зсуваються).
4. На двох взаємно перпендикулярних площадках дотичні напруження
рівні за абсолютною величиною.
.0; == αα τσσ z
.
2
;
2
zz σ
τ
σ
σ αα ==

11. Лекція 3
13
 Випробування матеріалів на розтяг - стиск - При проектуванні конструкцій, машин і механізмів необхідно знати міцнісні і деформаційні
властивості матеріалів. Їх визначають експериментально на спеціальних випробувальних машинах. З усіх властивостей (твердість,
опірність ударним навантаженням, протидія високим або низьким температурам і т.п.) основними є опір на розтягування і стиснення, що
дають найбільшу і найважливішу інформацію про механічні властивості металів.
 Випробування на розтяг – проводять на розривних або універсальних машинах, які мають спеціальні
захвати для передачі зусилля. Використовуються стандартні зразки спеціальної форми
(l0 – довжина робочої частини, l0/ a0 = 5 – короткі, l0/ a0 = 10 – довгі):
l0
d
l0
a0
b0
При випробуваннях на стиск застосовуються циліндричні зразки
з відношенням висоти до діаметра h/d = 1,5 – 3.
Зразки встановлюються на опорну поверхню
з використанням мастила для ослаблення впливу
сил тертя.
 Діаграми розтягу пластичних і крихких матеріалів – характерною
діаграмою пластичних матеріалів є діаграма розтягування маловуглецевої
сталі (< 0,25% С):
Всі машини обладнані пристроєм для автоматичного запису
в певному масштабі діаграми-графіка залежності величини
розтягуючої сили від подовження зразка.
Сучасні машини комп'ютеризовані і мають засоби управління процесом
навантаження по різним заданим програмам, виведення даних на екран
і збереження їх у файлах для подальшої обробки:
∆l
Fмакс
FТ
Fпр
Fпц
F
1. У початковій стадії (OA, до Fпц) навантаження подовження
зростає прямопропорційно величині навантаження
(на цій стадії справедливий закон Гука).
O
A
2. Далі (AB, до Fпр) деформації починають рости трохи
швидше і нелінійно, але залишаються малими і пружними
(деформації зникаючими після зняття навантаження).B
3. При подальшому навантаженні (BС, до Fт) криволінійна частина переходить
в горизонтальну площадку CD, на якій деформації ростуть без збільшення
навантаження (текучість). Зона BCD – зона загальної текучості.
С D
4. При подальшому навантаженні (DE, до Fмакс) змінюється структура металу і матеріал
знову може сприймати зростаюче навантаження (зміцнення) аж до максимального.
E
5. Далі (EK, до Fк) в найбільш слабкому місці виникає і розвивається локальне
зменшення поперечного перерізу (шийка). Зона EK – зона місцевої текучості.
K
Fк
В точці K зразок раптово руйнується
с різким ударним звуком, але без світлових ефектів.

12. Лекція 3 (продовження – 3.2)
 Характеристика міцності і пластичності – Розглянута вище діаграма розтягу зразка, що зв'язує навантаження з його видовженням не може
безпосередньо характеризувати міцність і пластичність матеріалу, оскільки навантаження залежить від площі поперечного перерізу зразка, а
видовження - від базової його довжини. Для отримання об'єктивних механічних характеристик матеріалу, що не залежать від перерізу і довжини
зразка, необхідно перейти до напружень і відносних видовжень. Для цього навантаження ділиться на початкову або поточну площу поперечного
перерізу зразка, а по осі абсцис відкладається відповідне відносне видовження для кожної їх характерних точок.
14
∆l
Fмакс
FТ
Fпр
Fпц
F
O
A
B
С D
E
K
Fк
В результаті отримуємо діаграму напружень, подібну діаграмі розтягування :
σк
ε
σв
σТ
σпр
σпц
σ
O
A
B
С D
E
K
На цій діаграмі характерні точки визначають наступні механічні властивості
матеріалу :
1. Межа пропорційності σпц – найбільше напруження, до якого
існує пропорційна залежність між навантаженням і деформацією
(для Ст3 σпц =195-200 МПа).
.
0
пц
пц
A
F
=σ
2. Межа пружності σпр – найбільше напруження, при якому в матеріалі
не виявляється ознак пластичної (залишкової) деформації
(для Ст3 σпр =205-210 МПа).
.
0
уп
уп
A
F
=σ
3. Межа текучості σт – найменше напруження, при якому зразок
деформується без помітного збільшення розтягуючого навантаження
(для Ст3 σт =220-250 МПа).
.
0
т
т
A
F
=σ
4. Межа міцності або тимчасовий опір σв – напруження, що
відповідає найбільшому навантаженню, що передбачає руйнування
зразка (для Ст3 σв =370-470 МПа).
.
0
макс
в
A
F
=σ
5. Дійсна межа міцності або дійсний опір розриву σд
– напруження, що відповідає руйнуючій силі FK, обчислене для
площі поперечного перерізу зразка в місці розриву A1 (для Ст3
σд =900-1000 МПа). Оскільки на ділянці EK утворюється шийка і площа
поперечного перерізу швидко зменшується, напруження збільшується (EK1)
при реєстрованому падінні зусилля.
.
1
и
A
FK
=σ
K1
σд
Механізм руйнування: в області шийки утворюються дрібні поздовжні тріщини,
які потім зливаються в одну центральну тріщину, перпендикулярну осі розтягування,
далі тріщина поширюється до поверхні шийки, розвертаючись приблизно на 450
,
і при виході на поверхню утворює конічну частину зламу.
У результаті виходить поверхня зламу у вигляді "конуса" і "чашки". Стадія
утворення конічної поверхні показує, що матеріал на вершині тріщини
починає руйнуватися за механізмом ковзання (по майданчиках максимальних
дотичних напружень), характерному для крихких матеріалів.

13. FТ
Fпц
F
O
A
B
∆l
Лекція 3 (продовження – 3.3)
15
 Діаграма стиску різних матеріалів – При стиску поводження матеріалу зразка відрізняється від його поведінки при розтягуванні.
 Діаграма маловуглецевої сталі – Початкова ділянка діаграми є прямолінійним (до точки A) і збігається з
аналогічною ділянкою діаграми розтягування. Це свідчить про те, що модуль пружності
у сталі можна приймати однаковим при розтягуванні і стисненні. Нелінійна ділянка до
площадки текучості також збігається з подібною ділянкою на діаграмі розтягування.
Значення межі пропорційності і межі текучості при розтягуванні і стисненні
практично однакові. Площадка текучості при стисненні виражена дуже слабо і після неї
крива йде все більш круто вгору внаслідок розвитку значних пластичних
деформацій, що приводять до збільшення площі поперечного перерізу. Зразок сплющується
приймаючи бочкоподібну форму. На цьому випробування закінчують, тому що зразок зруйнувати
не вдасться, не вдається визначити і межу міцності.
■ Діаграма стиску чавуну – Початкова ділянка діаграми має майже лінійну залежність,
на цій ділянці форма і розміри зразка змінюються незначно. При наближенні
до максимального навантаження крива стає більш пологою і зразок приймає трохи
бочкоподібну форму. При досягненні навантаженням найбільшого значення, з'являються тріщини
під кутом приблизно 450
і настає руйнування по майданчиках з найбільшими дотичними
напруженнями (крихке руйнування).
Інші крихкі матеріали (камінь, бетон) мають подібну діаграму і такий характер
руйнування. Крихкі матеріали працюють на стиск значно краще, ніж на розтяг,
наприклад, межа міцності сірого чавуну на стиск 560-900 МПа, а на розтяг - 120-190 МПа.
■ Діаграма стиску деревини – деревина – анізотропний матеріал. Опір при стисненні
залежить від розташування волокон щодо направлення стискаючої сили.
При стисненні вздовж волокон на ділянці OA деревина працює майже пружно, деформації ростуть
пропорційно збільшенню стискаючої сили. Далі деформації починають рости швидше,
ніж зусилля, внаслідок виникнення пластичних деформацій в окремих волокнах.
Руйнування відбувається при максимальному навантаженні в результаті втрати місцевої стійкості
ряду волокон, супроводжуваної зрушенням з утворенням поздовжніх тріщин.
F
∆l
Fmax
F
∆l
Fmax
O
A
При стисненні деревини поперек волокон на ділянці OB деревина працює майже
пружно, деформації ростуть пропорційно збільшенню стискаючої сили. далі
деформації починають рости дуже швидко при малому збільшенні сили, внаслідок
ущільнення (спресовування) окремих волокон. При наявності сучків і інших
пороків (тріщин) зразок може зруйнуватися розколюванням.
Руйнівне навантаження визначається умовно при досягненні деформації стиснення
при якій висота зразка зменшується на третину вихідної висоти.B

14. Лекція 4
 Характеристика пластичності – Пластичність матеріалу є важливим механічним властивістю матеріалу при його опорі змінним динамічним
навантаженням, а також технологічним властивістю при його обробці (штампування та ін.)
 До характеристик пластичності відносяться:
16
∆l
Fмакс
FТ
Fуп
Fпц
F
O
A
B
С D
E
K
Fк
1. Відносне видовження після розриву δ (%) – відносний приріст
розрахункової довжини зразка після розриву до її
первісного значення (для Ст3 δ = 25-27 %). %.100%100
0
0
0 l
ll
l
l KK −
=
∆
=δ
2. Відносне звуження після розриву ψ (%) – відносне
зменшення площі поперечного перерізу зразка
в місці розриву до початкової площі поперечного
перерізу (для Ст3 ψ =60-70 %).
Ідеалізовані діаграми – При вирішенні статично невизначених задач
розглядається фізична сторона задач, в якій необхідно мати
аналітичну залежність між напруженнями і деформаціями. Таку залежність,
представлену отриманою експериментально діаграмою напружень, складно
отримати в аналітичному вигляді та використовувати в розрахунках.
∆lK
%.100%100
0
0
0 A
AA
A
A KK −
=
∆
=ψ
У зв’язку з цим, використовують спрощені (ідеалізовані) діаграми, що відображають
основні закономірності. Наприклад, для пластичних матеріалів часто використовується
діаграма Прандтля, що складається з двох прямолінійних ділянок. Як видно, діаграма
Прандтля поширює зону дії закону Гука до межі текучості, після чого передбачається
(задається), що матеріал піддається далі текучості аж до руйнування.
ε
σв
σТ
σуп
σпц
σ
O
A
B
С D
E
K
K1
σи
Потенціальна енергія деформації – Ця величина характеризує здатність
матеріалу зробити роботу при переході його з деформованого стану
у вихідний. При деформації зовнішні сили здійснюють роботу W, яка перетворюється
в потенційну енергію внутрішніх пружних сил U (наприклад, при стисненні пружини).
При знятті навантаження внутрішні сили повертають матеріал у вихідний
(недеформований) стан (пружина розпрямляється).
Таким чином, для пружних матеріалів процес повністю обернений: .WU =При статичному розтягуванні зразка силою F
елементарна робота на малому переміщенні
дорівнює : .lFddW ∆=
d∆l
Повна робота рівна:
.
0
∫
∆
∆=
l
lFdW - площа, обмежена кривою
розтягування
У межах дотримання закону
Гука потенційна енергія
деформації дорівнює :
.
22
1
2
1 2
EA
lF
EA
Fl
FlFWU =





=∆==
∆l
У разі змінної величини поздовжньої сили та/або площі
поперечного перерізу за довжиною стрижня :
.
2
2
EA
dzF
dU = .
20
2
∫=
l
EA
dzN
U
Питома потенційна енергія (на од. об’єму) характеризує здатність поглинання
механічної енергії при деформації (в'язкість) матеріалу
(де V – об’єм стержня):
.
2
1)(
2
1
2
11
2
22
σε
εσσ
===⋅==
E
E
EAlEA
lN
V
U
u
Таким чином, питома потенційна енергія чисельно дорівнює площі трикутника на
діаграмі напружень (в межах дотримання закону Гука).

15. Лекція 4 (продовження – 4.2)
 Поняття про повзучість та релаксацію – Багато будівельних конструкцій при експлуатації деформуються при тривалій дії постійних
навантажень. Це обумовлюється здатністю матеріалів деформуватися в часі при дії постійних навантажень. Цей процес і названий
повзучістю. Повзучість притаманна таким матеріалам, як цегла, деревина, полімери, камінь, гума, ґрунти і т.п. Метали також виявляють
повзучість при високих температурах, а кольорові метали - і при звичайній (кімнатній) температурі. Повзучість може виникати і при малих
навантаженнях, які при короткочасному дії викликають тільки пружні деформації.
17
Результати випробувань на повзучість представляють графіки зміни деформацій у часі (криві
повзучості). У початковий момент часу деформації мають нульове значення ε(0), рівне пружній
деформації або сумі пружною і пластичної деформацій. Вважається, що час попереднього навантаження
(або розвантаження) дуже малий в порівнянні з часом витримування навантаження, тому можна
прийняти, що деформації ε(0) і напруження з'являються як би миттєво.
При визначенні характеру процесу повзучості аналізується швидкість деформації, що обчислюється як
похідна за часом.
Якщо швидкість деформації монотонно зменшується з часом, то деформація повзучості прагне до
деякої межі (крива 1). Це характерно, наприклад, при деформаціях, пов'язаних з ущільненням
матеріалу з часом під навантаженням (осідання ґрунту під фундаментом, бетон).
t
0
1
2
A
B
C
D
ε
ε(0)
εп ε∞
Повзучість, представленакривою 2, характеризується на першій ділянці (​ AB) зменшенням швидкості
деформації, відповідного обтиснення локальних зон, на другій ділянці (BC) стабілізацією швидкості
деформації (стабільна повзучість). Для крихких матеріалів в точці C випробування закінчується
крихким руйнуванням, для пластичних матеріалів - в'язким руйнуванням з утворенням локальних
пластичних деформацій (третя ділянка CD, на якій зростає швидкість деформації).
Варто зауважити, що кривою типу 2 описується процес накопичення ушкоджень, в тому числі зносу,
в механіці руйнування, діагностики та матеріалознавстві.
Характер повзучості залежить від діючих напружень. Наприклад, сталь при різних рівнях напружень
може мати криві повзучості як типу 1, так і типу 2.
Якщо деформації повзучості збільшуються пропорційно збільшенню напружень (бетон, пластмаса при
малих напруженнях), то повзучість - лінійна, в іншому випадку (метал при високих температурах) -
нелінійна.
У деяких матеріалах (бетон, пластмаси, каучук) відбуваються тривалі, повільно протікаючі
хімічні або окислювальні процеси, в результаті яких матеріали втрачають свої первинні
властивості, так зване "старіння". У таких матеріалах деформації повзучості звичайно залежать від "віку"
матеріалу.
При знятті навантаження пружна частина деформацій матеріалу зникає, накопичена деформація повзучості
починає зменшуватися, асимптотично прагнучи до деякої межі, подібно перевернутої кривої 1. таке
явище носить назву зворотної повзучості. Якщо при необмеженому збільшенні часу зразок повністю відновлює
свої початкові розміри, то це явище називається пружною післядією.
t
0
ε
ε(0)
εп
ε∞
ε(0)

16. Лекція 4 (продовження – 4.3)
 Релаксація напружень – Якщо зразок витримується протягом деякого тривалого часу в стані, при якому деформація залишається постійною, то
напруження в матеріалі, що мали в початковий момент значення σ(0), понижуються асимптотично до деякого значення. Явище повільного
зменшення напружень у зразку при постійній деформації називається релаксацією.
18
σ∞
t
0
σ
σ(0)
Таким чином, явище релаксації в деякій мірі зворотне повзучості, але природа цих двох явищ одна -
енергія теплових пружних коливань атомів додається до енергії, яка забезпечується зовнішніми силами,
що викликають деформацію.
При вільній деформації під дією прикладених сил відбувається додатковий рух дислокацій (дислокації-
дефекти кристалічної решітки) і деформація зростає. Оскільки при звичайній температурі ця енергія
незначна, то повзучість (приріст деформацій) відбувається в цьому випадку повільно.
При постійній деформації надходження додаткової енергії теплових коливань атомів призводить до
перерозподілу дислокацій з частковим відновленням регулярності кристалічної решітки. При цьому енергія
деформації зменшується, що призводить до зменшення напружень, якщо деформація залишається
постійною.

17. Лекція 5
19
 Основні відомості про розрахунок конструкцій. Методи допустимих напружень та граничних станів – Основним завданням
розрахунку конструкції є забезпечення її міцності в умовах експлуатації. Міцність конструкції, виконаної з крихких матеріалів, вважається
забезпеченою, якщо у всіх поперечних перерізах фактичні напруження менше межі міцності матеріалу. Величини навантаження,
напруження в конструкції та механічні характеристики матеріалу не можуть бути встановлені зовсім точно через те, що мають місце такі
чинники, як випадковий характер навантаження, наближеність розрахунку, похибка випробувань, розкид механічних властивостей
реальних матеріалів і т.д.
 Тому необхідно, щоб найбільші напруження, отримані в результаті розрахунку (розрахункові напруження) не перевищували деякої
величини, меншої межі міцності. Ця величина називається допустимими напруженнями і встановлюється діленням межі міцності на
коефіцієнт, більший одиниці, названий коефіцієнтом запасу міцності.
Відповідно до цього умова міцності :
де - найбільші розрахункові розтягуючі і стискаючі напруження в конструкції;
- допустимі напруження при розтягуванні і стисненні відповідно.
[ ],max
max σσ ≤=
A
N
[ ] [ ] ,;
В
ст
В
ст
В
розт
В
розт
nn
σ
σ
σ
σ ==
Отже, умова міцності за методом допустимих напружень
при перевірці напружень при розтягуванні-стисненні стрижнів має вигляд :
Допустимі напруження пов'язані з межею міцності
на розтягування і стиснення відношеннями :
де nВ – нормативний (необхідний) коефіцієнт запасу міцності по відношенню до межі міцності, який визначається в залежності від
класу конструкції (капітальна, тимчасова і т.п.), від передбачуваного (заданого) терміну служби, від характеру навантаження
(статична, динамічна і т.п. ), від умов роботи конструкції, від якості виготовлення матеріалів та інших факторів. Величина nВ в
більшості випадків приймається в діапазоні від 2, 5 до 5.
],[
];[
ст
max
ст
розт
max
розт
σσ
σσ
≤
≤
maxmax
строзт
,σσ
][],[ строзт σσ
Для конструкцій з пластичних матеріалів, що мають однакові
межі міцності на розтягування і стиснення, умова міцності :
],[max
σσ ≤
Допустимі напруження : де nТ – нормативний (необхідний) коефіцієнт запасу міцності по відношенню
до межі текучості (nТ = 1,5 – 2,5).
де σmax
– найбільші за абсолютною величиною
стискаючі або розтягуючі напруження в конструкції.
[ ] ,
Т
Т
n
σ
σ =
При підборі перерізу, прийняті розміри перерізу повинні забезпечувати
нерівність, що випливає з умови міцності :
[ ]
.max
σ
N
A ≥
При визначенні вантажопід’ємності обчислюється
допустима поздовжня сила
в найбільш навантаженому стержні : ].[][ σAN ≥
За отриманою допустимої силі визначається далі величина
допустимого навантаження [F]. Умова міцності приймає вид : ].[FF ≤

18. Лекція 5 (продовження – 5.2)
 Визначення граничних навантажень в статично невизначених системах з ідеального пружно-пластичного матеріалу – Раніше на лекціях
було розглянуто розрахунок статично невизначених стержневих систем при їх роботі в пружній стадії. Метою розрахунку було визначення зусиль,
що виникають в стержнях, знання яких дозволяє підібрати переріз. Оскільки в пружному розрахунку співвідношення жорсткостей (а, отже, площ)
задається заздалегідь, то завжди виявляється, що в деяких стержнях, або ділянках стержнів змінного перерізу, напруження будуть менше
граничних (або допустимих), ніж в стержні (або на ділянці), в якому напруження максимальні і які були використані при складанні умови міцності
та визначення необхідної площі поперечного перерізу. Все це становить основу методу розрахунку по допустимих напруженнях.
Статично невизначені системи мають "зайві" зв'язки і вихід одного з них з ладу при збільшенні навантаження не означає, що система
більше не може залишатися в рівновазі. Таким чином, граничним станом для статично невизначених систем не є виникнення напружень
більше розрахункових (допустимих) в самому навантаженому стержні (або на ділянці ступінчастого стержня).
20
 Метод руйнуючих навантажень – Оскільки при досягненні в одному із стержнів напружень більше розрахункових (границі текучості)
несуча здатність статичної системи не вичерпується, то слід прийняти за небезпечний стан такий, при якому у всіх стержнях, що
забезпечують незмінність системи (рівновагу при відсутності будь-яких переміщень) виникають напруження, рівні межі текучості. Для
такого стану система перестає бути статично невизначеної, так як тепер відомі зусилля в цих стержнях. Вони дорівнюють добутку
поперечної площі перерізу на напруження, рівні межі текучості.
Все це справедливо при використанні ідеалізованої діаграми розтягування-стиснення (діаграми Прандтля), яка не враховує зміцнення
матеріалу після проходження площадки текучості.
Таким чином, граничне навантаження може бути визначене з умов рівноваги. Очевидно, що таке навантаження не може бути
допущене щоб уникнути руйнування системи. Тому його величину ділять на коефіцієнт запасу n, подібно до того, як граничні напруження
при пружному розрахунку ділилися на цей коефіцієнт по відношенню до межі міцності або межі текучості.
У випадку дії декількох сил передбачається, що сили одночасно збільшуються пропорційно деякого параметру.
Тоді знаходиться граничне значення цього параметра, що характеризує граничне навантаження.
[ ] .гран
n
F
F =
Умова міцності за методом руйнуючих навантажень
при розтягуванні-стисненні стрижнів статично невизначеної системи має вигляд : де[ ],max FF ≤
 Приклад – Стержень ступінчастого перерізу знаходиться під дією сили F. Ця статично невизначена задача була розглянута і вирішена раніше
на лекціях. Отримане пружне рішення : σmax
= 0.375F/A. Необхідно визначити
вантажопідйомність за методом допустимих напружень і методу руйнуючих навантажень.RA RB
z
F
a a a
A
B
σ
0,375F/A
0,25F/A
0,125F/A
+
-
-
Умова міцності
по допустимим напруженням: [ ] .
375,0 Т
max
nA
F σ
σσ =≤= .
375,0
Т
n
A
F
σ
≤
умова міцності
по руйнуючим
навантаженням: [ ] .гран
max
n
F
FF =≤
Тоді при Fгран = Fn виникає текучість на першій ділянці, але система може ще сприймати
навантаження, тому що на інших ділянках напруження менше σТ.
.
25,0
][ Т
n
A
FF
σ
=≤.
25,0 гран
Т
A
F
=σ
Тепер при Fгран = [F]n виникає текучість ще й на третій ділянці і
система вже не може сприймати навантаження (друга ділянка буде
переміщуватися внаслідок текучості на першій та третій ділянках).
Вантажопід’ємність, визначена по методу руйнівних навантажень,
більше, ніж визначена по методу допустимих напружень на (0,375-
0,25)/0,25)100%=50%, тобто в півтора рази.

19. Три види розрахунків на міцність при розтягу та стиску
Умова міцності при розтязі та стиску
Лекція 5 (продовження – 5.3)
][σσ ≤=
A
N
1. Перевірочний розрахунок (перевірка умови міцності):
відоме навантаження (поздовжня сила) - N;
відомі розміри перерізу (площа поперечного перерізу) – А;
відомий матеріал (допустимі напруження) - [σ].
][σσ ≤=
A
N
2. Підбір розмірів поперечного перерізу:
відоме навантаження (поздовжня сила) - N;
відомий матеріал (допустимі напруження) - [σ];
відомий тип площі поперечного перерізу.
][σ
N
Aнеобх =
3. Визначення найбільшого допустимого навантаження:
відомі розміри перерізу (площа поперечного перерізу) – А;
відомий матеріал (допустимі напруження) - [σ].
][σ⋅== АNF допдоп
a a N2
N1
d = 2 ñ ìd = 2 ñ ì
F
x
y
ПРИКЛАД:
α
α
αα
ααα
Cos
F
NFNCos
FCosNCosNY
NNN
NNSinSinNSinNХ
2
;2
0
0)(
21
12
1212
==
=−+=
==
=−=−=
∑
∑
Умова міцності: , , .][σ≤
A
N
][
cos2
σ
α
≤
⋅⋅A
F
ασ cos2][ ⋅⋅⋅≤ AF
21