metodos de eliminacion de matrices

1. Universidad Politécnica del Golfo de
México
“Ciencia y Tecnología que Transforman
Carrera:
Ingeniería En Seguridad Y Automatización Industrial
Maestro:
José Alberto Lázaro Garduza
Materia:
Algebra lineal
Alumno:
CANDELARIO AREVALO CORDOVA
Grado/Grupo:
2° A
Carretera Federal Malpaso-El Bellote Km. 171 Monte Adentro C.P. 86600,
Paraíso, Tabasco, México
http://www.upgm.edu.mx/

2. METODOS DE ELIMINACION
ELIMINACION GAUSSIANA
En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el
sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez
resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de
todas las variables.
Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: Lo que buscamos son 3
números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será
simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar
con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:
Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera
ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:
Sumándolas resulta
La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

3. Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:
Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:
En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a
hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores
de las otras incógnitas. Se obtendrá:
Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número
diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.
Por otra parte, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo
sistema, el resultado es otra ecuación válida. Por último, si se intercambian dos
ecuaciones de un sistema, lo que se obtiene es un sistema equivalente. Estas tres
operaciones, cuando se aplican a los renglones de una matriz aumentada, que

4. representa un sistema de ecuaciones, recibe el nombre de operaciones
elementales de renglón.
Operaciones elementales de renglón
a) Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero.
b) Sumar el múltiplo de otro renglón a otro renglón.
c) intercambiar dos renglones
Hasta aquí hemos supuesto una situación idealmente simple en la que ningún
pivote (o coeficiente diagonal), , se convierte en cero. Si cualquier pivote se
vuelve cero en el proceso de resolución, la eliminación hacia adelante no
procederá.
El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las ecuaciones de modo que el
coeficiente del pivote, , tenga la magnitud (en valor absoluto) mayor que
cualquier otro coeficiente que esté debajo de él en la misma columna y que por
tanto vaya a ser eliminado. Esto se repite con cada pivote hasta completar la
eliminación hacia adelante.
-DEFINICION
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones
lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas
operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya
respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana
es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente
siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada
variable.
Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer
las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación:

5. 1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante
diferente de cero.
2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra
ecuación
3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.
Una vez conocidas las operaciones que en mi afán por resolver un sistema de
ecuaciones puedo realizar procedo a ilustrar el método con un ejemplo:
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z= −2
7x + 8y + 10z = 5
Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3
ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.
Usando el método de eliminación Gaussiana.
Solución:
Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen
exclusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual también es
eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuación.
Quedando como sigue:
Diagonal principal
La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1)
la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las
operaciones básicas de renglón para las ecuaciones, de arriba hacia abajo y de
izquierda a derecha.
Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de la ecuación 2, de igual forma la
multiplico por −7 y la resto de la 3 obteniendo.

6. Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente de la
diagonal principal 1 quedando como sigue:
Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3).
Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo
de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el
signo igual de las ecuaciones obteniendo:
Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2,
tendríamos
y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:
y + 2(10) = 2
y + 20 = 2
y = 2- 20
y = −18
Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene:
1x + 2y + 3z = 1
Si z= 10 y y=−18, entonces el valor de x será:
1x + 2y + 3z = 1
x + 2(−18) + 3(10)= 1
x – 36 + 30 = 1
x – 6 = 1
x = 1 + 6
x = 7
La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7, y= −18, y z= 10.

7. El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema
de ecuaciones lineales del tipo 2×2, 3×3, 4×4 etc. siempre y cuando se respete la
relación de al menos tener el mismo número de ecuaciones que de variables.
DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS
(INGENIERÍA EN GENERAL)
Antecedentes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que
la distribución correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se
presentan al organizar inventarios de construcción, distribución de productos y
recursos en la ingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la
fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio
panorama de otros problemas.
Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras.
Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, metales, plásticos y
componentes electrónicos-.
En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos
recursos en la producción de cada tipo de computadoras. Si se dispone
diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg de metal, 970 kig de plástico y 601
componentes electronicos. ¿Cuántas computadoras de cada tipo se pueden
construir por dia?

8. SOLUCION:
La cantidad total producida de cada computadora está restringida al total de
recursos disponibles en cada categoría diariamente. Estos recursos disponibles
se distribuyen entre los cuatro tipos de computadoras.
3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504
Y asi sucesivamente con los demás recursos.
20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 1970
10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 970
10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601
Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultanea de otra
manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de
los cuatro tipos de computadoras. Si los recursos disponibles representados por
el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores, se reducen todos
a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por
el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de computadora producida

9. se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los
métodos de gauss.
Aplicando la eliminación Gaussiana se tiene que:
X1=10
X2=12
X3=18
X4=15
Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejemplo,
suponiendo las ganancias que corresponden a cada computadora están dadas por
P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un día de actividad está dada
por:
P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4
Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los
coeficientes del siguiente cuadro.

10. COMPUTADORA GANANCIA
1 1000
2 700
3 1100
4 400
P = 1000(10)+ 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) = 44
200
De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los
recursos especificados en el problema.
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra
soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número
exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se
conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de
redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se
pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero
este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de
ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de
matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes
de ecuaciones simultáneas.
Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes
números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método

11. de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente
satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre
converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin
embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del
coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea
suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes
de esa ecuación.
Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los
otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la
convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa
convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente
dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma
de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la
convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se
conoce como sistema diagonal.
Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero
no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales
que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen
siempre coeficientes dominantes.
La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:
1. 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si
es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no,
se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores
iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el
número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. 2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la
incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando
para las otras incógnitas los valores supuestos.

12. 3. 3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita
que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor
calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las
incógnitas restantes.
4. 4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor
calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada
ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para
las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben
utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un
valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando
un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una
iteración.
5. 5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en
una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en
una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El
procedimiento queda entonces completo.
Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado,
mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud delepsilon no
especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas,
ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea
la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de
las incógnitas para un dado.
Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando
un = 0.001
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

13. SOLUCIÓN:
Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten
los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40
Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:
Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1
Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados
obteniendo:

14. En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
Como podemos observar, no se cumple la condición
Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como
supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

15. Comparando de nuevo los valores obtenidos
Como se observa todavía no se cumple la condición
Así que hacemos otra iteración
Comparando los valores obtenidos

16. Dado que se cumple la condición, el resultado es:
X1 = 3.0
X2 = -2.5
X3 = 7.0
Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para
encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo
se necesitan más iteraciones.
Se deja de investigación al alumno alguna forma que haga que este método
converja más rápidamente.
Método de eliminación de Gauss Jordán
En cambio, el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, de Gauss - Jordán, tiene más aplicación, en problemas pequeños y
grandes, sobre todo en la solución de modelos de programación lineal. Para
resolver un sistema de ecuaciones con este método se emplea la eliminación
sucesiva de las incógnitas según este esquema: Considere las siguientes m
ecuaciones lineales:

17. Ahora se arregla una matriz B de este sistema, ampliada con los bi (línea vertical).
Después se hacen transformaciones elementales con los renglones de la matriz, lo
cual es equivalente a hacerlo con las respectivas ecuaciones:
1. Se permite cambiar el orden de las filas.
2. Se pueden multiplicar los renglones por cualquier número diferente de cero.
3. Sumar a un renglón de la matriz, otra fila multiplicada por cualquier número.
Así se obtiene una matriz ampliada de un nuevo sistema equivalente al original
pues se reduce la matriz B a la forma más sencilla posible que incluya la solución
del sistema. A continuación se presenta el procedimiento detallado:

18. 1. Intercambio de ecuaciones y de la posición de las incógnitas para que a11
0.
2. Multiplicación de la primera ecuación por una constante apropiada diferente
de cero, para lograr a11 = 1.
3. Para toda i > 1, se multiplica la primera ecuación por -ai1 y luego se suma a
la i-ésima ecuación, de tal manera que la primera incógnita queda
eliminada.
Considere el siguiente ejemplo con anotaciones del cálculo a la izquierda:
La matriz ampliada de este sistema es:

19. Se resta: el renglón (1) del (2) y el (3), el (1)(3) al (4), resultando la matriz:
Se permutan los renglones (2) y (3) para tener el coeficiente 1en renglón 2
El renglón (2) se duplica y se resta al (1) y al (4), el (2) se triplica y se resta al (3)

20. El (3) se divide entre (-14), el coeficiente 1 resultante se usa para operar con el
cálculo que se indica en la columna izquierda
La columna derecha de la última matriz tiene la solución del sistema propuesto: X1
= -1, X2 = 0, X3 = 1
Ecuación lineal degenerativa.- Así llamada cuando todos los coeficientes de las
incógnitas son cero. En el caso especial de un sistema en que todas las
ecuaciones son degenerativas ( aij = 0), se tienen dos casos:
1. El sistema tiene por lo menos una ecuación de la forma: 0x1 + 0x2 +...+ 0xn
= bi con bi 0, entonces esta ecuación y por lo tanto el sistema, no tiene
solución, (es inconsistente).
2. Todas las ecuaciones del sistema son de la forma: 0x1 + 0x2 +...+ 0xn = 0,
entonces cada ecuación y, por lo tanto el sistema tienen toda "n-ada" de
números reales como solución.
En el caso común cuando las ecuaciones no son todas degenerativas (aij 0), el
sistema de ecuaciones se reduce a uno más simple equivalente al original que
posee las mismas soluciones, el proceso se lleva hasta eliminación completa
(Gauss-Jordán) para obtener la solución.

21. Si se encuentra una ecuación de la forma 0x1 +... +0xn = 0 puede quitarse sin que
afecte la solución.
Continuando con el proceso anterior, con cada nuevo subsistema, se obtiene por
inducción, que el sistema o bien no tiene solución, ó bien es reductible a una
forma equivalente.
Para la solución de un sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada
(eliminación de Gauss-Jordán), hay dos casos:
1. Si hay tantas ecuaciones como incógnitas (m-=n) entonces el sistema tiene
una solución única.
2. Si hay menos ecuaciones que incógnitas (m < m + n) entonces se pueden
asignar arbitrariamente valores a las n variables llamadas en este caso
"libres" y obtener una solución del sistema. Si se asignan valores diferentes
a tales "variables libres", se pueden obtener muchas soluciones del
sistema.
Para el caso particular de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales reducido
a la forma escalonada se presentan dos posibilidades.
1. Tantas ecuaciones como incógnitas (m = n), entonces la solución es (0,
0,.....0) ó trivial.
2. Menos ecuaciones que incógnitas (m < m + n), entonces el sistema tiene
una solución no nula. En resumen

22. Ejemplo A-6. Sistema no homogéneo de ecuaciones lineales por eliminación de
Gauss-Jordán.