ilmu akan bermanfaat bila kita bagikan ilmu adalah suatu pahala :) berikut ini ilmu tentang suku banyak

1. Assalammualaikum.Wr.wb
“SUKUBANYAK & DALIL SISA”

2. Sukubanyak Dan Dalil Sisa
1. SukuBanyak
1.1 Pengertian SukuBanyak
1.2 Nilai SukuBanyak
1.3 Operasi Antar-sukubanyak
2 Pembagian SukuBanyak
2.1 Hubungan antara yang diBagi, Pembagi, Hasil Bagi Dan Sisa
Pembagi
2.2 Pembagian SukuBanyak dengan Pembagi Berbentuk Linear
2.3 Pembagian SukuBanyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat.
3 Teorema Sisa
3.1 Menentukan Sisa Pembagian Suatu SukuBanyak oleh Pembagi
Berbentuk Linear
3.2 Menentukan Sisa Pembagian Suatu SukuBanyak oleh Pembagi
Berbentuk Kuadrat
4 Soal-soal dan Pembahasan
4.1 Soal Sukubanyak
4.2 Soal Dalil Sisa

3. 1. SukuBanyak
1.1 Pengertian
•
Bentuk umum suku banyak dalam peubah/variable x yang berderajat n adalah:
an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
•
•
an , an −1,....a2 , a1 , ao adalah bilangan real dengan ≠0
an
n
n −1
adalah koefisien dari x , a n −1 adalah koefisien dari x
,….
Demikian seterusnya.
• a0 disebut suku tetep.
• Pangkat tertinggi dari x yaitu n merupakan derajat tertinggi suku banyak
tersebut.

4. 1.2 Nilai Suku Banyak
A. Metode Subsititusi
Nilai suku banyak f ( x) = an x n + an− 1 x n− 1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
Untuk x-k ditentukan oleh
f ( x) = an (k ) n + an− 1 (k ) n− 1 + ... + a2 (k ) 2 + a1 (k ) + a0
Contoh 1
Hitunglah nilai sukubanyak f(x) = x3+3x2-x+5 untuk
nilai x=1
Pembahasan :
Untuk x=1, diperoleh
f (1) = (1)3 + 3(1)2 – (1) + 5 = 1 + 3 -1 + 5 = 8

5. B. Metode Bagan
X=K
a3
a2
a4 k
a4
a4 k 2 + a3k
a1
a0
a4 k 4 + a3 k 3 + a2 k 2 + a1k
a4 k + a3k + a2 k + a1
3
2
a4 (a4 k + a3 ) (a4 k 2 + a3k + a2 ) (a4 k 3 + a3 k 2 + a2 k + a1 ) (a4 k 4 + a3k 3 + a2 k 2 + a1k + a0 )
Keterangan:
Diketahui f(x) = a4 +a3+a2+a1+a0
Pembagi : (x-k) jadi pembaginya k

6. Contoh 2
1. Diketahui Sukubanyak f(x)=x3-2x2-x-5. nilai f(x) untuk x=3
adalah
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
E. -1
Pembahasan:
f(x)=x3-2x2-x-5. maka a3=1, a2= -2, a1= -1, a0= -5
Nilai f(x)untuk 3 adalah f(3).ini berarti k=3.
Kita akan menentukan nilai f(3) dengan menggunakan
metode sintentik berikut.
X-3
1
-1
-5
3
1
-2
3
6
1
2
1 = f(3)
+

7. 1.3 Operasi Antar – SukuBanyak
A. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian
Contoh 3
Diketahui dua buah sukubanyak f(x)
dan g (x) dinyatakan dengan aturan
f(x) = x3 + x2 – 4
g(x) = x3 + 2x2 + x + 2
•Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya
•Tentukan f(x) – g(x) serta derajatnya
Pembahasan :
a. f(x) + g(x) = ( x3 + x2 – 4 ) + (x3 + 2x2 + x + 2)
f(x) + g(x) =(x3+x3) + (x2-2x2) + x + (-4+2)
f(x) + g(x) =2x3- x2 + x -2
jadi f(x) + g(x) berderajat 3
b. f(x) - g(x) =( x3 + x2 – 4 ) - (x3 + 2x2 + x + 2)
f(x) - g(x) =(x3-x3) + (x2-(-2x2)) - x + (-4-2)
f(x) - g(x) =3 x2 - x -6
jadi f(x) - g(x) berderajat 2

8. Contoh 4
Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g (x) dinyatakan
dengan aturan
f(x) = x3 + 4
g(x) = 2x2 + x + 2
Pembahasan :
f(x).g(x)= (x3 + 4).( 2x2 + x + 2)
f(x).g(x)= x3(2x2 + x + 2) + 4(2x2 + x + 2)
f(x).g(x)= 2x5+ x4+ 2x3+ 8x2 + 4x + 2
jadi f(x).g(x) berderajat 5

9. Contoh 5
Tentukan nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 Ξ (x-1)(x-2)+3a
Pembahasan :
x2 – 3x + 14 Ξ x2 -3x +2 +3a
x2 – 3x + 14 Ξ x2 -3x + (2 +3a)
dengan menggunakan sifat kesamaan sukubanyak,
diperoleh
14 = 2 + 3a
a=4
jadi , nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 Ξ (x-1)(x-2)+3a
adalah a = 4

10. B. Kesamaan Sukubanyak
Sukubanyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan
dengan sukubanyak g(x), jika kedua
sukubanyak itu mempunyai nilai yang sama
untuk semua variable x bilangan real. Kedua
sukubanyakf(x) da n g(x) itu ditulis sebagai
f (x) Ξ g (x)
dengan lambang Ξ dibaca “kesamaaan “

11. 2. PEMBAGIAN SUKUBANYAK
1. Pembagian sukubanyak dengan pembagian berbentuk linear
a. Pembagi suku banyak dengan pembagi berbentuk (x-k).
Pembagian sukubanyak P(x)
oleh (x – k) dapat ditulis dengan
P(x) = (x – k)H(x) + S
Keterangan:
P(x) sukubanyak yang dibagi,
(x – a) adalah pembagi,
H(x) adalah hasil pembagian,
dan S adalah sisa pembagian

12. Contoh 6
Hasil bagi dan sisa pembagian jika suku banyak f(x)=x2 - 4x+7
di bagi oleh (x-2) berturut-turut adalah…
A.(x-2) dan -3
B.(x-2)dan 3
C.x-2)dan 1
D. (x+2)dan 3
E. (x+2)dan -1
Pembahasan :
f(x)=x2 - 4x+7, maka a2=1, a1=-4 dan a0=7
Pembagian adalah (x-2) berarti k=2, Kita gunakan metode bagan
berikut,
2
1
-4
7
2
1
-4
-2
3
Dari bagan terlihat bahwa hasil bagi adalah (x-2) dan sisa 3

13. b. Pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk (ax+b).
Jika pembagi berbentuk (ax-b), maka nilai k harus diganti
dengan
Maka :
b
a
F(x)=
H(x)+S
Contoh 7
Tentukan hasil bagi pada pembagian sukubanyak f(x)= 3x 3+x2+x+2
dengan (3x-2)
Pembahasan :
2
F(x) = 3x3 +x2+x+2, maka a3 =3 ,a2 =1, a1 =1, dan a0 =2
3
Bentuk (3x-2) dapat ditulis menjadi 3( x - )
,
2
berarti a = 3 dan k = 3

14. Dengan cara bagan,
2
3
3
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4 (sisa)
3x 2 + 3x + 3 2
Berdasarkan bagan di atas, diperoleh hasil bagi
= x + x +1
3
dan sisa S = 4
Jadi , pembagian sukubanyak f(x) = 3x3+ x2+ x + 2 dengan (3x-2)
memberikan hasil bagi x 2+ x + 1 dengan sisa pembagian S = 4

15. 2. Pembagian sukubanyak dengan pembagian berbetuk kuadrat
Pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk
ax 2 + bx + c
Apabila suku banyak f(x) dibagi dengan 2
(dengan a=
ax + bx + c
0)
Maka hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak itu dapat di
tentukan dengan cara pembagian bersusun pendek.
Contoh 8
Hasil bagi dari sisa pembagian jika suku banyak
f ( x) = x 4 − 3x 3 − 5 x 2 + x − 6
Di bagi oleh
x2 + x + 2
x 2 + 2 x + 5 dan 8 x − 16
A.
x 2 + 2 x + 5 dan − 8 x + 16
D.
B. x − 2 x + 5 dan − 8 x + 16
E. x 2 − 2 x − 5 dan
2
C.
x 2 − 2 x − 5 dan − 8 x + 16
− 8 x + 16

16. Pembahasan :
f ( x) = x 4 − 3x 3 − 5 x 2 + x − 6
Pembagi :
x2 − x − 2
x2 − 2x − 5
x2 − x − 2
x 4 − 3x 3 − 5 x 2 + x − 6
x 4 − x 3 − 2x 2
− 2 x 3 − 3x 2 + x − 6
− 2 x3 + 2 x 2 + x
− 5 x 2 − 3x − 6
− 5 x 2 + 5 x + 10
− 8 x − 16
Karena(-8x-6) berderajat lebih rendah dari ( x − x − 2 )
maka pembahagian selesai sampai disini dengan demikian
hasil bagi = x 2 − 2 x − 5
2

17. 3. TEOREMA SISA
Misalkan sukubanyak f(x) dibagi dengan P(x)
memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa
pembagian S(x). persamaan yang menyatakan
hubungan antara f(x) dengan P(x), H(x), dan S(x)
adalah :
f(x)= P(x). H(x) + S(x)
dengan :
•f(x) sebagai sukubanyak yang sibagi, misalnya diketahui berderajat n.
•P(x) sebagai sukubanyak pembagi, misalnya diketahui berderajat m dan m≤n
•H(x) sebagai sukubanyak hasil bagi, berderajat (n-m) yaitu derajat
suku banyak yang dibagi dikurangi dengan derajat sukubanyak
pembagi
•S(x) sebagai sukubanyak sisa pembagian, berderajat paling tinggi
atau maksimum (m-1) yaitu berderajat maksimum satu kurangnya
dari derajat sukubanyak pembagi.

18. 1.Menentukan Sisa Pembagian Suatu Sukubanyak Oleh Pembagi Berbentuk Linear
1. Pembagi Berbentuk (x-k)
Teorema 1
Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka
sisanya ditentukan oleh
S = f (k)
Bukti Teorema 1
Perhatikan kembali persamaan, f(x) = (x-k) . H(x) +S
Karena persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan
menyulihkan atau subsitusi x=k ke dalam persamaan itu, diperoleh :
f(x) = (x-k). H(k) + S = 0 . H (k) + S = 0 +S
S = f(x)
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = f(x)
2. Pembagi Berbentuk (ax + b)
Teorema 2
Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b)
b
maka sisanya ditentukan oleh
a
S = f (- )
Bukti Teorema 2
Perhatikan kembali persamaan f(x) = (ax + b)
H ( x)
+s
a

19. Contoh 9
Tentukan sisa pad pembagian sukubanyak f (x) = x4 -6x3 – 6x2 +8x +6
dibagi dengan x-2
Pembahasan :
Sukubanyak f(x) = x4-6x3 – 6x2+8x+6 dibagi dengan sisanya adalah S=
f(2). Nilai f(x) dapat dihitung dengan dua metode, yaitu:
f(2) = (2)4- 6(2)3 -6(2)2 +8x+6
f(2) = 16 – 48 -24 + 16 + 6 = -34
jadi, sisa pembagiannya S = f(x) = -34

20. Contoh 10
Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x +
4 dengan 2x +1
Pembahasan :
f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x + 4, maka a3 = 2, a2= 9, a1=-6 dan a0= 4
Bentuk (2x+1) dapat ditulis menjadi 2(x +
Bagan atau skema
−
1
2
2
9
-
2
-6
-4
5
8
-10
) berarti a = 2 dan k
4
1
1
2
9 = f(x)
Jadi, sisa pembagiannnya adalah S = f (
−
1
2
)=9
=−
1
2

21. subsitusi x=1, diperoleh f(1)= a +b +c
4= a+b+c
a+ b+c=4
Subsitusi x= -1 diperoleh f(-1)= a - b + c
-
3= a - b + c
a - b + c = -3
Subsitusi x=2, diperoleh f(2) = 4a + 2b +c
2=4a + 2b +c
4a + 2b +c = 2
Persamaan (1),(2),(3) membentuk sistem persamaan linear tiga variable (
variable a,b, c)
dengan penyelesaian a =
−1
5
6
b=
3
1
2
c=
2
1
3
jadi, f(x) dibagi (x-1)(x+1)(x+2) memberikan sisa
S(x) =
5
1
− 1 x2 + 3
6
2
+2
1
3

22. 2. Menentukan Sisa Pembagian Suatu Sukubanyak Oleh Pembagi Berbentuk Kuadrat
Contoh 11
Jika f(x) dibagi (x-1) sisanya 4, jika f(x) dibagi (x+1)
sisanya -3 dan jika f(x) dibagi (x-2) sisanya 2
Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x-1)(x+1)(x-2)
Pembahasan :
f(x) dibagi (x-1) sisanya 4, maka f(1)=4
f(x) dibagi (x+1) sisanya -3, maka f(x)=
-3
f(x) dibagi (x-2) sisanya 2, maka f(2)=2
pembagi (x-1)(x+1)(x+2) berderajat 3,
maka sisany maksimum berderajat 2
misalnya sisanya S(x) = ax2 +bx +c dan
hasil baginya H(x), maka diperoleh
hubungan .
f(x)=(x-1)(x+1)(x+2).H(x) +( ax2 +bx +c)

23. Soal – Soal Pembahasan
SukuBanyak dan Dalil Sisa

24. SukuBanyak
Soal 1.
Diketahui fungsi polinom f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7
Maka nilai fungsi tersebut untuk x=-2 adalah
a. -90
d. 45
b. -45
e. 90
c. 0
Pembahasan :
f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7
Cara 1 (subtitusi): x = -2
f(-2)= 2(-2)5+3(-2)4+5(-2)2+(-2)-7
f(-2)= -45

25. Cara 2 (skematik)
f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7, x=-2
Ambil koefisiennya:
-2
2
0
-5
1
-4
2
3
2
-4
18
-1
2
-9
19
-7
-38
- 45
Jadi nilai suku banyaknya -45

26. Soal 2.
Diketahui fungsi kuadrat : f (x) = x2 + 3 x - 5
untuk x=2 maka nilai suku banyak tersebut
cari dengan cara subsitusi adalah:
Pembahasan :
Cara Substitusi :
f(2) = (2)2 + 3 (2) - 5
=4+6-5
=5

27. Soal 3.
Tentukan sisa pembagian dari fungsi f(x) = x6 – 4x4 + 2x2 – 27
dibagi x + 1
Pembahasan :
Sisa = f( -1)
= ( -1)6 – 4(-1)4 + 2(-1)2 – 27 = - 28

28. Soal 4.
Hitunglah nilai setiap sukubanyak berikut ini dengan
metode bagan
F(x) = x4-3x3+4x2-x+10 untuk x=5
Pembahasan :
Koefisien-koefisien dari f(x)= x4-3x3+4x2-x+10
adalah a4=1,a3=-3,a2=4,a1=-1,a0=10

29. 5
1
4
5
1
-3
-1
10
10
70
345
2
14
69
355
Berdasarkan bagan tersebut, nilai sukubanyak f(x)= x4-3x3+4x2-x+10
untuk x= 5 adalah f(5) = 355

30. Soal 5.
Hitunglah nilai setiap sukubanyak berikut ini dengan metode bersusun
pendek
F(x) = x3+4x2-2x+4 dibagi dengan x-1.
Carilah sisa pembagiannya dan hasil baginya!
Pembahasan :
x2+5x+3
x-1
x3 + 4x2-2x+4
x3 - x2
5x2-2x
5x2-5x
3x + 4
3x - 3
7
Hasil bagi = x2+5x+3 dan sisa pembagian x-1 adalah 7

31. Soal 6.
Sukubanyak f(x)=x3+x2+(a_2)x+4 dibagi dengan (x-1)
memberikan sisa 10. Hitunglah nilai a, kemudian
tentukan hasil baginya
Pembahasan :
Pembagian sukubanyak f(x)=x3+x2+(a_2)x+4 dengan (x-1)
1
1
a-2
4
1
1
1
2
a
2
a
a+4
Dari bagan diatas terlihat bahwa sisa pembagiannya adalah S = a+4. Oleh
karena diketahui sisa pembagiannya 10, maka
S = a + 4 = 10
a=6
Jadi, nilai a = 6 dan hasil bagi H(x) = x2+2x+6

32. Dalil Sisa
Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi
Soal 1. 2
(x – x – 2), sisanya sama dengan….
Pembahasan :
Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x)
Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x)
berderajat 1
misal: sisanya px + q
sehingga bentuk pembagian ditulis:
x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)H(x) + px + q
x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q
P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1)
P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2)
P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6
= 1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8
P(2) = (2)4 – 3.(2)3 – 5.(2)2 + (2) – 6
= 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32

33. P(x) = px + q
P(-1) = -p + q = -8
P(2) = 2p + q = -32
-3p
= 24
p = -8
p = -8 disubstitusi ke
–p + q = -8
8 + q = -8
q = -16
Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

34. Soal 2.
Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13,
dibagi oleh x – 3 sisanya 7.
Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6
bersisa….
Pembahasan :
Misal sisanya: S(x) = ax + b,
P(x): (x + 2) ⇒ S(-2) = -13
P(x): (x – 3) ⇒ S(3) = 7
-2a + b = -13
3a + b = 7
5a = -20
a=4
a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13
-2(4) + b = -13
b = -5
Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x - 5

35. Soal 3.
Jika suku banyak x3 – x2 + px + 7 dan sukubanyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1
dibagi (x + 1)
akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan….
Pembahasan :
x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1)
Sisanya P(-1) = - 1 - 1 – p + 7
= 5-p
2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)
Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1
=4
Karena sisanya sama,
Berarti 5 – p = 4
-p=4–5
P=1
Jadi p = 1

36. Soal 4.
Jika suku banyak x3 – 7x + 6 dan sukubanyak x3 – x2 – 4x + 24 dibagi
(x + a) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a sama dengan….
Pembahasan :
x3 – 7x + 6 dibagi (x + a)
Sisanya P(-a) = a3 – 7a + 6
x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a)
Sisanya P(-a) = a3 – a2 – 4a + 24
Sisanya sama berarti:
a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24
a2 – 7a + 4a + 6 – 24 = 0
a2 – 3a – 18 = 0
(a + 3)(a – 6) = 0
a = -3 atau a = 6
Jadi nilai a = - 3 atau a = 6

37. Terima kasih yah temanteman