科学勉強会第348回で辻 (@tsujimotter) が発表したスライドです。 科学勉強会／NSIのURLはこちら http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/ tsujimotterのノートブック http://tsujimotter.hatenablog.com

1. 整数とお友達になろう
第
348
回科学勉強会
辻 順平
@tsujimo-er
h-p://tsujimo-er.hatenablog.com
日曜数学者,
数学普及委員会 （会員募集中!!）
1

2. 2
※本スライドは
〜諸注意〜
2014年9月22日に開催された
「第348回科学勉強会」で辻が発表した資料をWeb用に改変したものです。
科学勉強会／NSIの
URL
はこちら h-p://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/
※本スライドでは「整数」として「負の整数」は扱いません。
（今回扱う）整数の例： 1,
2,
3,
…
それでは本編へどうぞ！→

3. 3
「今日、整数を見かけましたか？」

4. 整数に触れない日はない
でも、整数のことを意識することは少ない
そんなのもったいない！
整数とお友達になろう！
提案
（普段の生活がいっそう楽しくなるよ）
4

5. 今日のお話
テーマ：整数とお友達になろう
• 基礎知識編
「いろいろな整数のグループ」
• 応用編
「整数のカタログ」
– 1ケタの整数
– 2ケタ以上の整数
5

6. 今日のお話
テーマ：整数とお友達になろう
• 基礎知識編
「いろいろな整数のグループ」
• 応用編
「整数のカタログ」
– 1ケタの整数
– 2ケタ以上の整数
6

7. Q.
これらはどんな特徴を持った
整数のグループ？
a. 2,
4,
6,
8,
10,
12,
14,
…
b. 2,
3,
5,
7,
11,
13,
17,
…
c. 1,
4,
9,
16,
25,
36,
49,
…
d. 5,
13,
17,
29,
37,
41,
…
e. 7,
13,
19,
31,
37,
43,
…
f. 7,
23,
31,
47,
71,
79,
…
7

8. Q.
これらはどんな特徴を持った
整数のグループ？
a. 2,
4,
6,
8,
10,
12,
14,
…
b. 2,
3,
5,
7,
11,
13,
17,
…
c. 1,
4,
9,
16,
25,
36,
49,
…
d. 5,
13,
17,
29,
37,
41,
…
e. 7,
13,
19,
31,
37,
43,
…
f. 7,
23,
31,
47,
71,
79,
…
←偶数
←素数
←平方数
←4n+1型の素数
←3n+1型の素数
←8n+7型の素数
8

9. 重要なのでおさらい
• 偶数
2
で割り切れる数
• 素数
1
と自分自身でしか割り切れない数
• 平方数
X2
の形で表すことのできる数
（1
から
2X-­‐1
までの
X
個の奇数の和は平方数
X2）
Ex.
42
=
16
=
1
+
3
+
5
+
7
9

10. 4n
+
1
型の素数
4
で割って
1
余る素数はすべて
X2
+
Y2
の形で表せる（X,
Y
は整数）
5
=
22
+
12
13
=
32
+
22
17
=
42
+
12
29
=
52
+
22
10

11. 3n
+
1
型の素数
3
で割って
1
余る素数はすべて
X2
+
3Y2
の形で表せる（X,
Y
は整数）
7
=
22
+
3・12
13
=
12
+
3・22
19
=
42
+
3・12
31
=
22
+
3・32
11

12. ラグランジュの４平方定理
すべての整数は
X2
+
Y2
+
Z2
+
W2
の形で表せる（X,
Y,
Z,
W
は 0
を含む整数）
6
=
22
+
12
+
12
+
02
7
=
22
+
12
+
12
+
12
8
=
22
+
22
+
02
+
02
9
=
32
+
02
+
02
+
02
12

13. 8n
+
7
型の素数
8
で割って 7
余るすべての素数は
X2
+
Y2
+
Z2
+
W2
の形で表せる（ただし
X,
Y,
Z,
W
は 0
でない 整数）
6
=
22
+
12
+
12
+
02
7
=
22
+
12
+
12
+
12
8
=
22
+
22
+
02
+
02
9
=
32
+
02
+
02
+
02
13

14. 今日のお話
テーマ：整数とお友達になろう
• 基礎知識編
「いろいろな整数のグループ」
• 応用編
「整数のカタログ」
– 1ケタの整数
– 2ケタ以上の整数
14

15. 整数のカタログ
1
ケタの整数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
15

16. 1
単数
2
唯一の
偶数の素数
3
最小の奇素数
16
最初はまとめて・・・

17. 4
十分な数
17

18. 4
十分な数
• すべての整数は 高々 4
つの平方数で表せる（四平方定理）
• すべての平面的な白地図は 4
色で塗り分けられる（四色問題）
18
Wikipedia
「四色定理」より引用
"Four
Colour
Map
Example
svg
jp"
by
Induc^veloadのものを修
正 -­‐
ウィキメディア・コモンズ掲載のものを修正.
Licensed
under
Crea^ve
Commons
A-ribu^on-­‐Share
Alike
3.0
via
ウィキメディ
ア・コモンズ -­‐
h-p://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Four_Colour_Map_Example_svg_jp.PNG#mediaviewer/
File:Four_Colour_Map_Example_svg_jp.PNG

19. 5
4n
+
1型の最小の素数
7
3n
+
1型の最小の素数
19

20. 辺の長さが 3,
4,
5
の三角形
90°
5
3
4
7
3n
+
1型の最小の素数
20

21. 辺の長さが 3,
4,
5
の三角形
90°
5
3
4
辺の長さが 3,
5,
7
の三角形
7
3
5
120°
21

22. 7
3n
+
1型の最小の素数
7
の立方数 343
のすべての約数の和は 平方数 となる
73
=
343
1
+
7
+
49
+
343
=
400
の約数:
1,
7,
49,
343
22
202
は 平方数

23. x
=
7,
751530,
…
立方数 x3
のすべての約数の和は 平方数 となる
23
のとき

24. 6
完全な数
24

25. 6
完全な数
完全数： （自分自身を除く）すべての約数の和と等しい数
6
=
1
+
2
+
3
6
の約数:
1,
2,
3,
6
次の完全数は 28

26. 8,
9
カタラン予想のペア
26

27. xm
–
yn
=
1
を満たすような
0
でない整数
x,
y,
m,
n
の組は？
（ただし、m,
n
は
2
以上）
27

28. xm
–
yn
=
1
を満たすような
0
でない整数
x,
y,
m,
n
の組は？
（ただし、m,
n
は
2
以上）
32
–
23
=
1
だけ
9
8
カタラン予想 検28索

29. 整数のカタログ
1
ケタの整数
(Complete!!)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
単数
唯一の
偶数の素数
最小の奇素数
四平方定理
4n
+
1型素数
最小の完全数
3n
+
1型素数
カタラン予想のペア
29

30. 整数のカタログ
2ケタ以上の整数
41
39
1729
素数を生み出す魔法の数
特徴がない数
特徴がない数？
30

31. 41
素数を生み出す魔法の数
31

32. 41
素数を生み出す魔法の数
n2
+
n
+
41
n
=
0
から n
=
39
まで素数を発生させる多項式
（発見者：オイラー）
32

33. n2
+
n
+
41
n
=
0
から n
=
39
まで素数を発生させる多項式
02
+
0
+
41
=
41
12
+
1
+
41
=
43
22
+
2
+
41
=
47
32
+
3
+
41
=
53
42
+
4
+
41
=
61
...
382
+
38
+
41
=
1523
392
+
39
+
41
=
1601
40個
すべてが素数！
33

34. 39
特徴のない数
『39
は最初の「特徴のない数」であり、
「特徴のない数の集合のなかで最小の要素である」という特徴のある数』
David
Wells
『The
Penguin
Dic^onary
of
Curious
and
Interes^ng
Numbers』
34

35. 1729
特徴のない数？
35

36. ケンブリッジの秀才数学者
ラマヌジャンを見舞う
インドから来た天才数学者
病気がちで現在入院中
36
ラマヌジャン
（Wikipedia
「シュリニバーサ・ラマヌジャン」より引用）
ハーディー
（Wikipedia
「ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディー」より引用）
"Srinivasa
Ramanujan
-­‐
OPC
-­‐
1"
by
Konrad
Jacobs
-­‐
Oberwolfach
Photo
Collec^on,
original
loca^on.
Licensed
under
Crea^ve
Commons
A-ribu^on-­‐Share
Alike
2.0-­‐de
via
ウィキメディア・コモンズ -­‐
h-p://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Srinivasa_Ramanujan_-­‐_OPC_-­‐_1.jpg#mediaviewer/File:Srinivasa_Ramanujan_-­‐
_OPC_-­‐_1.jpg
"Ghhardy@72"
by
不明 -­‐
A
mathema^cian's
apology.
Licensed
under
Public
domain
via
ウィキメディア・コモンズ -­‐
h-p://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Ghhardy@72.jpg#mediaviewer/File:Ghhardy@72.jpg

37. 37
タクシーのナンバーは
1729
だったよ。
さして面白くもない数だ。

38. 38
そんなことはありません！
1729
は・・・

39. 1729
=
13
+
123
=
93
+
103
39
「1729
は 立方数の和で
2
通りに表せる最小の数です」
立方数の和
立方数の和
タクシー数 検索

40. 「ラマヌジャンはすべての数と親友であった」
40
by
ハーディー
参考文献
G.H.
ハーディー，「ある数学者の生涯と弁明」，丸善出版

41. 整数の調べ方
h-p://ja.wikipedia.org/wiki/384
41

42. 整数の見つけ方
• 勉強会 第 348
回
à
348
• 今 21
時 41
分
à
2141
• 誕生日 5
月 9
日
à
59
好きな整数を見つけて整数とお友達になろう！
42

43. まとめ
• 様々なグループの整数がある
偶数、奇数、素数、平方数、4n+1型の素数、・・・
• 数字に個性が見える
• ラマヌジャンのように整数とお友達になろう
43