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↵ +
2
+
↵
2
=
↵ +
2
↵
2
α,βを交換しても値が変わらない数 α,βを交換すると値が
変わってしまう数
STEP1: 解についての「恒等式」をつくる
19
21. (x ↵)(x ) = 0 より,
x2
(↵ + )x + ↵ = 0
一方で, x2
+
b
a
x +
c
a
= 0 が成り立つ
↵ + =
b
a
↵ =
c
a 21
STEP2: 「解と係数の関係」をつかって係数で表す
22. 解
α,
β
を交換しても
不変な数
基本対称式
α+β,
αβ
の
四則演算
対称式の基本定理
(↵ + )2
2↵↵2
+ 2
方程式の係数
a,
b,
c
の
四則演算
解と係数の関係
✓
b
a
◆2
c
a
22
「解を交換しても不変な数」は係数 の四則演算で書ける結論 a, b, c
24. ↵
↵
↵
↵
e
e(↵) = ↵
e( ) =
⌧
⌧(↵) =
⌧( ) = ↵
解 の交換として,考えられるパターンを列挙する↵,
S2 = {e, ⌧}ひとまとめにすると・・・
二次の置換群
24
38. 三次の置換群
↵
↵
e
e(↵) = ↵
e( ) =
e( ) =
↵
↵
⌧
↵
↵
(↵) =
( ) =
( ) = ↵
⌧(↵) = ↵
⌧( ) =
⌧( ) =
解 の交換として,考えられるパターンを列挙する↵, ,
38
44. ↵ =
↵ + +
3
+
↵ + ! + !2
3
+
↵ + !2
+ !
3
=
↵ + +
3
+
!2
↵ + + !
3
+
!↵ + + !2
3
=
↵ + +
3
+
!↵ + !2
+
3
+
!2
↵ + ! +
3
R
(三次の)ラグランジュ・リゾルベント
L
ただし ω
は,
ω3
=
1
を満たす
1
の原始三乗根
三次方程式の場合
44
⇥!2
⇥!
⇥!
⇥!2
46. e(L) = ↵ + ! + !2
= L
(L) = + ! + !2
↵ = !2
L
2
(L) = + !↵ + !2
= !L
不変
不変ではない
不変ではない
不変ではない
不変ではない
不変ではない⌧(L) = ↵ + ! + !2
= R
⌧ (L) = + ! + !2
↵ = !2
R
⌧ 2
(L) = + !↵ + !2
= !R
L に三次の置換群を作用させると・・・
46
47. 不変
不変
不変
不変ではない
不変ではない
不変ではない
e(L3
) = (↵ + ! + !2
)3
= L3
(L3
) = ( + ! + !2
↵)3
= L3
2
(L3
) = ( + !↵ + !2
)3
= L3
⌧ 2
(L3
) = ( + !↵ + !2
)3
= R3
⌧ (L3
) = ( + ! + !2
↵)3
= R3
⌧(L3
) = (↵ + ! + !2
)3
= R3
L3 に三次の置換群を作用させると・・・
47
56. H = {e, , 2
}
{e}
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ , ⌧ 2
}(L3
R3
)2a b
c d
L3
R3
L3
R3
L ↵R
2乗/平方根
3乗/3乗根
6/3=2
3/1=3
不変な数
不変な数
不変な数
「置換によって不変な数」 「置換群」
方程式の係数
方程式の解
61. G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ , ⌧ 2
}
×
1.
演算に対して閉じている3.
単位元が存在する
4.
任意の元に対してその元に対する
逆元が存在する
×
G
が「群」であることの確認
61
62. H = {e, , 2
}
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ , ⌧ 2
}
1.
演算に対して閉じている
3.
単位元が
存在する
4.
任意の元に対してその元に対する
逆元が存在する
×
×
部分集合
2.部分群 ・・・G
の部分集合で,それ自体群であるもの
62
63. H = {e, , 2
}
G/H = e{e, , 2
}, ⌧{e, , 2
} = {eH, ⌧H}
6個
3個
6個/3個 = 2個
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ , ⌧ 2
}
3.部分群による割り算 G/H
63
64. H = {e, , 2
}
G/H = e{e, , 2
}, ⌧{e, , 2
} = {eH, ⌧H}
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ , ⌧ 2
}
4.正規部分群 H
この集合が群であるとき
H を「G の正規部分群」という
64
65. が群であることの確認(一部)G/H = {eH, ⌧H}
eH · ⌧H = · ⌧e
2
e e
· ⌧e e
· ⌧e e
· ⌧e
2
e
· ⌧e
· ⌧e
· ⌧e
2
e
· ⌧e
· ⌧e
2
2
2
= e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
2
2
2
( )⌧ e
( )⌧
( )⌧
2
( )⌧ e
( )⌧
( )⌧
2
( )⌧ e
( )⌧
( )⌧
2
⌧ · e
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⌧ · 2
⌧ ·
⌧ ·
⌧ ·
2
⌧ ·
⌧ ·
e
⌧ ·
2
⌧ ·
e
2
⌧H=
と変形できることが正規部分群の条件τ
HH
τ
65
66. が群であることの確認(一部)G/H = {eH, ⌧H}
eH · ⌧H = · ⌧e
2
e e
· ⌧e e
· ⌧e e
· ⌧e
2
e
· ⌧e
· ⌧e
· ⌧e
2
e
· ⌧e
· ⌧e
2
2
2
= e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
2
2
2
( )⌧ e
( )⌧
( )⌧
2
( )⌧ e
( )⌧
( )⌧
2
( )⌧ e
( )⌧
( )⌧
2
⌧ · e
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⌧ · 2
⌧ ·
⌧ ·
⌧ ·
2
⌧ ·
⌧ ·
e
⌧ ·
2
⌧ ·
e
2
⌧H=
と変形できることが正規部分群の条件τ
HH
τ
時間がない
66
67. H = {e, , 2
}
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ , ⌧ 2
}
G/H = e{e, , 2
}, ⌧{e, , 2
} = {eH, ⌧H = e{e, , 2
}, ⌧{e, , 2
} = {eH, ⌧H}
E = {e}
H/E = {e, , 2
}
正規部分群の列
(正規列)
正規部分群で
割ってできた群
67
69. H = {e, , 2
}
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ ,
○乗/○乗根
○乗/○乗根
E = {e}
G/H = e{e, , 2
},
H/E = {e, , 2
}
方程式が解ける条件
解で表せる数
係数で表せる数
= 巡回群
= 巡回群
正規部分群で割ってできた群がすべて巡回群
69
70. H = {e, , 2
}
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ ,
○乗/○乗根
○乗/○乗根
E = {e}
G/H = e{e, , 2
},
H/E = {e, , 2
}
方程式が解けない条件
解で表せる数
係数で表せる数
= 巡回群
= 巡回群
正規部分群で割ってできた群の中に
巡回群でない群が存在する
70
73. 五次の置換群
α
β
γ
δ
ε
α
β
γ
δ
ε
[αβγδε]
α
β
γ
δ
ε
α
β
γ
δ
ε
[βγδεα]
73
・・・
120通り
74. G
=
{
[αβγδε],
[αβδεγ],
[αβεγδ],
[αγβεδ],
[αγδβε],
[αγεδβ],
[αδβγε],
[αδγεβ],
[αδεβγ],
[αεβδγ],
[αεγβδ],
[αεδγβ],
[βαγεδ],
[βαδγε],
[βαεδγ],
[βγαδε],
[βγδεα],
[βγεαδ],
[βδαεγ],
[βδγαε],
[βδεγα],
[βεαγδ],
[βεγδα],
[βεδαγ],
[γαβδε],
[γαδεβ],
[γαεβδ],
[γβαεδ],
[γβδαε],
[γβεδα],
[γδαβε],
[γδβεα],
[γδεαβ],
[γεαδβ],
[γεβαδ],
[γεδβα],
[δαβεγ],
[δαγβε],
[δαεγβ],
[δβαγε],
[δβγεα],
[δβεαγ],
[δγαεβ],
[δγβαε],
[δγεβα],
[δεαβγ],
[δεβγα],
[δεγαβ],
[εαβγδ],
[εαγδβ],
[εαδβγ],
[εβαδγ],
[εβγαδ],
[εβδγα],
[εγαβδ],
[εγβδα],
[εγδαβ],
[εδαγβ],
[εδβαγ],
[εδγβα],
[γβδεα],
[γβεαδ],
[γβαδε],
[γδβαε],
[γδεβα],
[γδαεβ],
[γεβδα],
[γεδαβ],
[γεαβδ],
[γαβεδ],
[γαδβε],
[γαεδβ],
[βγδαε],
[βγεδα],
[βγαεδ],
[βδγεα],
[βδεαγ],
[βδαγε],
[βεγαδ],
[βεδγα],
[βεαδγ],
[βαγδε],
[βαδεγ],
[βαεγδ],
[δγβεα],
[δγεαβ],
[δγαβε],
[δβγαε],
[δβεγα],
[δβαεγ],
[δεγβα],
[δεβαγ],
[δεαγβ],
[δαγεβ],
[δαβγε],
[δαεβγ],
[εγβαδ],
[εγδβα],
[εγαδβ],
[εβγδα],
[εβδαγ],
[εβαγδ],
[εδγαβ],
[εδβγα],
[εδαβγ],
[εαγβδ],
[εαβδγ],
[εαδγβ],
[αγβδε],
[αγδεβ],
[αγεβδ],
[αβγεδ],
[αβδγε],
[αβεδγ],
[αδγβε],
[αδβεγ],
[αδεγβ],
[αεγδβ],
[αεβγδ],
[αεδβγ]
}
H
=
{
[αβγδε],
[αβδεγ],
[αβεγδ],
[αγβεδ],
[αγδβε],
[αγεδβ],
[αδβγε],
[αδγεβ],
[αδεβγ],
[αεβδγ],
[αεγβδ],
[αεδγβ],
[βαγεδ],
[βαδγε],
[βαεδγ],
[βγαδε],
[βγδεα],
[βγεαδ],
[βδαεγ],
[βδγαε],
[βδεγα],
[βεαγδ],
[βεγδα],
[βεδαγ],
[γαβδε],
[γαδεβ],
[γαεβδ],
[γβαεδ],
[γβδαε],
[γβεδα],
[γδαβε],
[γδβεα],
[γδεαβ],
[γεαδβ],
[γεβαδ],
[γεδβα],
[δαβεγ],
[δαγβε],
[δαεγβ],
[δβαγε],
[δβγεα],
[δβεαγ],
[δγαεβ],
[δγβαε],
[δγεβα],
[δεαβγ],
[δεβγα],
[δεγαβ],
[εαβγδ],
[εαγδβ],
[εαδβγ],
[εβαδγ],
[εβγαδ],
[εβδγα],
[εγαβδ],
[εγβδα],
[εγδαβ],
[εδαγβ],
[εδβαγ],
[εδγβα]
}
E
=
{
[αβγδε]
}
五次方程式の群の正規列
74
75. まとめ
Q.
五次方程式が代数的に解けないのはなぜ?
A. 五次の置換群の正規列に「これ以上分解できない巡回群ではない群」が
含まれるから
「方程式の解の置換群」 「不変な数の集合」
「方程式が解けるかどうか」を「群」に対応づけることで,
「無限の可能性」を「有限集合の数え上げ」に落とし込むことができた
キーアイデア
ガロア対応
75
76. おまけ
H
=
{
[αβγδε],
[αβδεγ],
[αβεγδ],
[αγβεδ],
[αγδβε],
[αγεδβ],
[αδβγε],
[αδγεβ],
[αδεβγ],
[αεβδγ],
[αεγβδ],
[αεδγβ],
[βαγεδ],
[βαδγε],
[βαεδγ],
[βγαδε],
[βγδεα],
[βγεαδ],
[βδαεγ],
[βδγαε],
[βδεγα],
[βεαγδ],
[βεγδα],
[βεδαγ],
[γαβδε],
[γαδεβ],
[γαεβδ],
[γβαεδ],
[γβδαε],
[γβεδα],
[γδαβε],
[γδβεα],
[γδεαβ],
[γεαδβ],
[γεβαδ],
[γεδβα],
[δαβεγ],
[δαγβε],
[δαεγβ],
[δβαγε],
[δβγεα],
[δβεαγ],
[δγαεβ],
[δγβαε],
[δγεβα],
[δεαβγ],
[δεβγα],
[δεγαβ],
[εαβγδ],
[εαγδβ],
[εαδβγ],
[εβαδγ],
[εβγαδ],
[εβδγα],
[εγαβδ],
[εγβδα],
[εγδαβ],
[εδαγβ],
[εδβαγ],
[εδγβα]
}
'
同型
76
78. 参考文献
• 結城 浩 著「数学ガール/ガロア理論」SoftBank
Creative
(1,900
円).
• 小島 寛之 著「天才ガロアの発想力 対称性と群が明かす方程
式の秘密」技術評論社
(1,580
円).
• デイヴィッド・コックス 著,梶原 健 訳「ガロワ理論(上・
下)」日本評論社
(上
3,500
円/下
4,200
円).
• 石井 俊全 著「ガロア理論の頂を踏む」ペレ出版
(3,000
円).
78
82. 「三次の置換群 G
」のすべての部分群
H = {e, , 2
} {e, ⌧ }{e, ⌧} {e, ⌧ 2
}
{e}
G
の正規部分群
G = {e, , 2
, ⌧, ⌧ , ⌧ 2
}
G
の正規部分群ではない
82
85. G/H
が
2次の巡回群
{eH,
τH}
85
H
に対して
不変な数
G
に対して
不変な数
eH
τH
α τH(α)
α
–
τH(α) –
(α
–
τH(α))
(α
–
τH(α))2
2乗/平方根
86. 巡回群
G/H
=
{eH,
τH}
を
2次のラグランジュ・リゾルベント
L2
に作用させると・・・
不変
2乗
86
L2
=
α
–
τH(α)
τH(L2)
=
τH(α)
–
α
=
–
(α
–
τH(α))
=
–
L2
τH
τH(L22)
=
τH(α)2
=
(
–
L2)2
=
L22
不変ではない
87. G/H
が
3
次の巡回群
{eH,
σH,
σ2H}
87
H
に対して
不変な数
G
に対して
不変な数
eH
σH
α
σH(α)
L3
ωL3
L33
3乗/立方根
σ2H(α)
σ2H
ω2L3
88. 巡回群
G/H
=
{eH,
σH,
σ2H}
を
3次のラグランジュ・リゾルベント
L3
に作用させると・・・
不変
3乗
88
L3
=
α
+
ωσH(α)
+
ω2σ2H(α)
σH(L3)
=
σH(α)
+
ωσ2H(α)
+
ω2α
=
ω2
L3
σH
σH(L33)
=
σH(α)3
=
(
ω2
L3
)3
=
L33
不変ではない