The slide describes a basic idea about modulo arithmetic.

1. moduloとお友達になろう
たのしい数学普及委員会（仮）
@tsujimotter

2. moduloとは
modulo計算（法計算、合同算術、時計算術）とは
「余りの四則演算」のこと
＋ － × ÷

3. 25 = 3 × 7 + 4
余り
(modulo)
法

4. 25 = 3 × 7 + 4
余り
(modulo)
法

5. 25 = 3 × 7 + 4
余り
(modulo)
法
25 ≡ 4 (mod 7)
読み方：「25は7を法(modulo)として4に合同である」
日本語訳：「25も4も7で割った余りはおんなじやで」

6. 記法のイメージ
正しい書き方は・・・
25 ≡ 4 (mod 7)
だけど
25 ≡ 4
イメージは・・・
(mod 7)

7. 合同記号が続くとき
32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4 (mod 7)
32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4
イメージは・・・
(mod 7) (mod 7) (mod 7)

8. mod演算の書き方
a + b ≡ c1 (mod n)
a – b ≡ c2 (mod n)
a×b ≡ c3 (mod n)
a÷b ≡ c4 (mod n)

9. moduloの四則演算
M1, M2 を n で割った余り r1, r2
M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )
M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n )
M1とM2の四則演算を考えよう
＋－×÷

10. moduloの足し算
M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )
M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n )
M1 + M2 = (q1 + q2)×n + (r1 + r2)
M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )

11. moduloの掛け算
M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )
M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n )
M1×M2 = (q1 q2 n + r1 q2 + r2 q1)×n + (r1×r2)
M1 × M2 ≡ r1 × r2 ( mod n )

12. moduloの割り算？
M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )
M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n )
M1 q1 × n + r1
= =？
M2 q2 × n + r2
ちょっと難しい・・・

13. moduloの四則演算
M1 ≡ r1 ( mod n )
M2 ≡ r2 ( mod n )
のとき
M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )
M1 – M2 ≡ r1 – r2 ( mod n )
M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )

14. みんな使ってるよね？
• 20時から8時間経ちました。今何時？
20+8 ≡ 4 (mod 24)

15. みんな使ってるよね？
• 250°から150°回転したら今何°？
250+150 ≡ 50 (mod 360)

16. 9で割った余り
（問）2012を9で割った余りを求めよ
（解）
2012 = 1000×2 + 100×0 + 10×1 + 1×2
≡ 1×2 + 1×0 + 1×1 + 1×2 (mod 9)
≡ 2+ 0+ 1+ 2 (mod 9)
≡ 5 (mod 9)

17. modと暗号
「RSA暗号とmodulo」
To be continued.

18. 暗号とmodulo
“HELLOWORLD”
シーザー暗号
（文字を3つずらす）
“KHOORZRUOG”

19. 暗号とmodulo
‘A’ + 3 = ‘D’
‘B’ + 3 = ‘E’
‘C’ + 3 = ‘F’
‘D’ + 3 = ‘G’
・・・
‘V’ + 3 = ‘Y’
‘W’ + 3 = ‘Z’
‘X’ + 3 = ？ ‘X’ + 3 ≡ ‘A’ (mod 26)
‘Y’ + 3 = ？ ‘Y’ + 3 ≡ ‘B’ (mod 26)

20. moduloとお友達になろう（まとめ）
25 = 3 × 7 + 4 25 ≡ 4 (mod 7)
(modulo)
法 余り
M1 ≡ r1 ( mod n )
M2 ≡ r2 ( mod n )
のとき
M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )
M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )