examen online de calculo

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE.ESTADO LARA
Apellidos de jesus Nombres junior
Cédula Fecha
EXAMEN INDIVIDUAL ON LINE II
1. Evalúe laintegral de líneamediante el teoremade Green
 
C
dyxx )( 2
Donde C es lacurva determinadaporlarecta 02  yx y laparábola
2
2yx 
Solución
∫ (−𝑥2
+ 𝑥) 𝑑𝑦 = ∬ [
𝜕
𝜕𝑥
(−𝑥2
+ 𝑥) −
𝜕
𝜕𝑦
(0)] 𝑑𝐴 =
∫ ∫ (−2𝑥 + 1)
2𝑦2
2𝑦
1
0
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (−𝑥2
− 𝑥)|2𝑦
2𝑦21
0
𝑑𝑥 =
∫ (−4𝑦4
− 6𝑥2
− 2𝑦)𝑑𝑦
1
0
= (−4
5
𝑦5
+2𝑦3
− 2𝑦)|0
1
= 1
5
10

2. 2. Utilice el teoremade Stokesparaevaluarlaintegral de línea C
TdsF. paraF y C
xkzjyizyxF  34),,( ; C es el triángulocuyosvérticesson(1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)
Solución
𝑟𝑜𝑡 = (4𝑦𝑖 − 3𝑧𝑗 + 𝑥𝑘) = (3𝑖 − 𝑗 − 4𝑘). 𝑁 =
√3
3
(𝑖 + 𝑗 + 𝑘)
Luego el triangulo equilátero tiene área,
√3
2
Luego
∮ 𝐹. 𝑇𝑑𝑠 =
√3
3
∬(3 − 1 − 4) 𝑑∅ =
√3
3
(−2)
√3
2
= −1
3. Determine si laserie dadaesconvergente odivergente,aplicandoel criteriode
comparaciónpor limite


 1
3 4
12
1
n n (3 Ptos)
Solución
𝑏 𝑛 = ∑
1
𝑛
4
3
∞

3. Es una serie P con
𝑃 =
4
3
> 1
La cual es convergente
Luego
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
= lim
𝑛→∞
1
√2𝑛4+1
3
1
𝑛
4
3
= lim
𝑛→∞
√
𝑛4
2𝑛4+1
3
= √ lim
𝑛→∞
(
𝑛4
2𝑛4+1
)
3
=
√ lim
𝑛→∞
(
1
2+
1
𝑛4
)
3
=√
1
2
3
> 0
Por consiguiente aserie converge
4. Emplee lapruebade la integral para determinarsi laserie dadaesconvergente


1n
n
e
n
(3 Ptos)
Solución
Consideremos 𝑓( 𝑥) =
𝑥
𝑒 𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥
Aplicamos derivada a la función 𝑓( 𝑥)
Esto es 𝑓′
(𝑥) = 𝑒−𝑥(1 − 𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 > 1
Esto implica que la función decrece
Además 𝑥𝑒−𝑥
> 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 > 0
Así

4. ∫
𝑥
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑏→∞
∫ 𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥
3
1
= lim
𝑏→∞
[ 𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥]|1
𝑏
= lim
𝑏→∞
[
𝑏
𝑒 𝑏
−
1
𝑒 𝑏
+2𝑒
−1
]
= 2𝑒
−1
Ya que lim
𝑏→∞
𝑏
𝑒 𝑏 = 0 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 y lim
𝑏→∞
1
𝑒 𝑏 =
Así podemos observar que la integral converge por consiguiente la
serie ∑
𝑛
𝑒 𝑛
∞
𝑛=1 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒