Unmsm fisi - problema de transporte - io1 cl13 transporte

1
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa I
Problema
de
Transportep
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
En este problema se estudia el envío de productos
desde puntos de origen hacia puntos de destino.
Problema de Transporte
p g p
El problema esta sujeto a la oferta de los puntos de
origen, la demanda de los puntos de destino y los
costos de transporte.
2

2
Puntos de
origen
Puntos de
destino
1
2
1
2
d1
d2
o1
o2
Unidades
de
oferta
Unidades
de
demanda
c11
3
m n dnom
Problema balanceado.-
Un problema esta balanceado cuando se cumple:
∑∑ ==
=
n
1j
j
m
1i
i
do
Un problema esta balanceado cuando se cumple:
en caso contrario se dice que esta desbalanceado,
algunos autores mencionan desequilibrado.
4
Objetivo del Problema de Transporte.-
El objetivo de este problema es determinar el mínimo
costo para satisfacer la demanda con la oferta
disponible.

3
Planteando el problema como un P.P.L. (problema
balanceado).-
:xij
)
Variables de decisión.-
Cantidad de productos que se envían del origen i
al destino j
:cij
Costo de enviar una unidad del producto del
origen i al destino j
5
g j
1 2 3 j n-1 n
Destinos
j
1 c11 c12 c13 c1j c1 n-1 c1n o1
2 c21 c22 c23 c2j c2 n-1 c2n o2
3 c31 c32 c33 c3j c3 n-1 c3n o3
i ci1 ci2 ci3 cij ci n-1 cin oi
Origenes
6
j
m-1 cm-1 1 cm-1 2 cm-1 3 cm-1 j cm-1 n-1 cm-1 n om-1
m cm1 cm2 cm3 cmj cmn-1 cmn om
d1 d2 d3 dj dn-1 dn
O

4
1 2 3 j n-1 n
Destinos
j
1 x11 x12 x13 x1j x1 n-1 x1n o1
2 x21 x22 x23 x2j x2 n-1 x2n o2
3 x31 x32 x33 x3j x3 n-1 x3n o3
i xi1 xi2 xi3 xij xi n-1 xin oi
Origenes
7
j
m-1 xm-1 1 xm-1 2 xm-1 3 xm-1 j xm-1 n-1 xm-1 n om-1
m xm1 xm2 xm3 xmj xmn-1 xmn om
d1 d2 d3 dj dn-1 dn
O
P f ( ilib i d l lid )
Restricciones.-
11n1211
oxxx =+++ L
M
22n2221
oxxx =+++ L
Por ofertas (equilibrio de las salidas)
(lo que sale del origen 1)
(lo que sale del origen 2)
8
mmnm2m1
oxxx =+++ L (lo que sale del origen m)

5
Por demandas (equilibrio de las llegadas)
(lo que llega al destino 1)dxxx +++
M
(lo que llega al destino 1)
(lo que llega al destino 2)
(lo que llega al destino n)
1m12111
dxxx =+++ L
2m22212
dxxx =+++ L
dxxx =+++ L
9
(lo que llega al destino n)nmn2n1n
dxxx +++
Por no negatividad
0xij
≥ m,2,1,i K=
n,2,1,j K=
Mi i i l d í
Función Objetivo.-
Minimizar el costo de envío
mnmnijij12121111
xcxcxcxcZMin +++++= LL
10

6
ZMi
El modelo queda:
mnmnijij12121111
xcxcxcxcZMin +++++= LL
11n1211
oxxx =+++ L
22n2221
oxxx =+++ L
1m12111
dxxx =+++ L
2m22212
dxxx =+++ L
Por oferta Por demanda
Sujeto a:
11
M
22n2221
mmnm2m1
oxxx =+++ L
M
2m22212
nmn2n1n
dxxx =+++ L
0xij
≥ m,2,1,i K=
n,2,1,j K=
Como cada variable se encuentra dos (2) veces en el
sistema de ecuaciones, entonces se tiene m+n-1 grados
g
de libertad y el número de variables básicas debe ser
igual al número de grados de libertad del sistema.
SOLUCION BÁSICA FACTIBLE NO DEGENERADA.-
Es una solución factible con exactamente m+n–1
variables no nulas en la base.
SO UCION BÁSICA FACTIB E DEGENERADA
12
SOLUCION BÁSICA FACTIBLE DEGENERADA.-
Es una solución factible con menos de m+n–1 variables
no nulas en la base.

7
Problema.-
Tres refinerías con capacidades diarias de 6 5 y 8
Tres refinerías con capacidades diarias de 6, 5 y 8
millones de galones, respectivamente, abastecen a tres
áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7
millones de galones, respectivamente. La gasolina se
transporta a las tres áreas de distribución a través de
una red de ductos.
13
El costo de transporte es de 10 centavos de dólar por
cada 1000 galones por milla de ducto. La tabla
1 2 3
Area de distribución
g p
siguiente proporciona el millaje entre las refinerías y las
áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada
al área de distribución 3. Formule como un P.P.L.
14
1 120 180 -
2 300 100 80
3 200 250 120
Refinerias

8
Solución.-
El cuadro de costos por 1000 galones sería:
El cuadro de costos por 1000 galones sería:
1 2 3
1 12 18 -
2 30 10 8
Area de distribución
Refinerias
15
3 20 25 12
R
:xij
Variables de decisión.-
Cantidad de gasolina que se envía de la planta i al
área de distribución j
Solución.-
Restricciones por oferta
Restricciones por oferta
5000xxx 232221 =++
8000xxx 333231 =++
6000xx 1211 =+
Por demanda
4000xxx 312111 =++
16
8000xxx 322212 =++
7000xx 3323 =+
312111
Por no negatividad
0xij
≥ 32,1,i =
32,1,j =

9
Función Objetivo.-
33323123
22211211
x12x25x20x8
x10x30x18x12ZMin
++++
++++=
17
SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.-
La utilización del método SIMPLEX no resulta eficiente
La utilización del método SIMPLEX no resulta eficiente
para resolver el Problema de Transporte, por lo cual se
utilizan otros métodos como:
a) Método de la Esquina Nor-Oeste (N-O)
b) Método de la Matriz de Costo Mínimo
c) Método de Vógel
18
) g

10
CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS.-
Los métodos a estudiar tienen las siguientes
Los métodos a estudiar tienen las siguientes
características:
a) Proporcionan soluciones factibles, pero no se
garantiza que la solución sea no degenerada.
b) No se garantiza que la solución sea una solución
óptima. Pero proporciona una solución factible
i i i l
19
inicial.
c) El problema planteado debe estar balanceado:
∑∑ ==
=
n
1j
j
m
1i
i
do
Para facilitar la nomenclatura, el cuadro o matriz de
transporte se escribe de la siguiente forma:
p g
c11 c12 c1n
c21 c22 c2n
1
1 2 n. . .
o22
DESTINO
GEN
Oferta
o1
20
cm1 cm2 cmn
...
omm
...
ORIG
Demanda d1 d2 . . . dn

11
MÉTODO DE LA ESQUINA NOR-OESTE (N-O).-
1) C i l i i i i d ( i1) Comience en la esquina superior izquierda (origen
i=1, destino j=1) y asigne a esta celda x11, donde:
x11 = min (o1, d1)
Asignar toda la oferta posible oi para satisfacer la
demanda dj.
2) Reduzca la oferta o y la demanda d en la cantidad
21
2) Reduzca la oferta oi y la demanda dj en la cantidad
asignada xij.
oi = oi – xij
di = di - xij
3) Identifique el origen con oferta disponible oi o
destino con demanda insatisfecha dj (para elloj (p
avanzar hacia la derecha o hacia abajo).
4) Asigne a esta celda xij, donde:
xij = min (oi, dj)
5) Regresar al paso 2.
22

12
Ejemplo.-
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
70
2 90
1
23
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 50 60 70 95
1) Oferta disponible o1 = 70
Demanda insatisfecha d = 50Demanda insatisfecha d1 50
x11 = min (70, 50) = 50
o1 = 70 – x11 = 70 – 50 = 20
d1 = 50 – x11 = 50 – 50 = 0
24

13
DESTINO
17 20 13 12
50
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 20
2 90
25
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 0 60 70 95
x12 = min (20, 60) = 20
o1 = 20 – x12 = 20 – 20 = 0
d2 = 60 – x12 = 60 – 20 = 40
26

14
DESTINO
17 20 13 12
50 20
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 90
27
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 0 40 70 95
x22 = min (90, 40) = 40
o2 = 90 – x22 = 90 – 40 = 50
d2 = 40 – x22 = 40 – 40 = 0
28

15
DESTINO
17 20 13 12
50 20
15 21 26 25
40
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 50
29
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 0 0 70 95
x23 = min (50, 70) = 50
o2 = 50 – x23 = 50 – 50 = 0
d3 = 70 – x23 = 70 – 50 = 20
30

16
DESTINO
17 20 13 12
50 20
15 21 26 25
40 50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 0
31
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 0 0 20 95
x33 = min (115, 20) = 20
o3 = 115 – x33 = 115 – 20 = 95
d3 = 20 – x33 = 20 – 20 = 0
32

17
DESTINO
17 20 13 12
50 20
15 21 26 25
40 50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 0
33
15 14 15 17
20
OR
3 95
Demanda 0 0 0 95
x34 = min (95, 95) = 95
o3 = 95 – x34 = 95 – 95 = 0
d3 = 95 – x34 = 95 – 95 = 0
34

18
DESTINO
17 20 13 12
50 20
15 21 26 25
40 50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 0
35
15 14 15 17
20 95
OR
3 0
Demanda 0 0 0 0
Solución:
x = 50x11 50
x12 = 20
x22 = 40
x23 = 50
x33 = 20
36
x34 = 95
Z = 17x50 + 20x20 + 21x40 + 26x50 + 15x20 + 17x95
Z = 5,305

19
MÉTODO DE LA MATRIZ DE COSTO MÍNIMO.-
1) Id ifi l i l l ld d1) Identifique en la matriz resultante la celda de costo
mínimo cij, si existen varios seleccionar
arbitrariamente uno de ellos. Asigne a esta celda xij
donde:
xij = min (oi, dj)
37
) edu ca a o e ta oi y a de a da dj e a ca t dad
asignada xij.
oi = oi – xij
di = di - xij
Si oi = 0, eliminar la fila i
Si dj = 0, eliminar la columna jj j
3) Regresar al paso 1
38

20
Ejemplo.-
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
70
2 90
1
39
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 50 60 70 95
1) Mínimo costo c14 = 12
Oferta disponible o = 70Oferta disponible o1 70
Demanda insatisfecha d4 = 95
x14 = min (70, 95) = 70
o1 = 70 – x14 = 70 – 70 = 0
d4 = 95 – x14 = 95 – 70 = 25
40
Eliminar la fila 1

21
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 90
41
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 50 60 70 25
x32 = min (115, 60) = 60
o3 = 115 – x32 = 115 – 60 = 55
d2 = 60 – x32 = 60 – 60 = 0
42
Eliminar la columna 2

22
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 90
43
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda 50 0 70 25
x21 = min (90, 50) = 50
o2 = 90 – x21 = 90 – 50 = 40
d1 = 50 – x21 = 50 – 50 = 0
44

23
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 40
45
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda 0 0 70 25
x33 = min (55, 70) = 55
o3 = 55 – x33 = 55 – 55 = 0
d3 = 70 – x33 = 70 – 55 = 15
46
Eliminar la fila 3

24
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 40
47
15 14 15 17
60 55
OR
3 0
Demanda 0 0 15 25
x24 = min (40, 25) = 25
o2 = 40 – x24 = 40 – 25 = 15
d4 = 25 – x24 = 25 – 25 = 0
48

25
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 15
49
15 14 15 17
60 55
OR
3 0
Demanda 0 0 15 0
x23 = min (15, 15) = 15
o2 = 15 – x23 = 15 – 15 = 0
d3 = 15 – x23 = 15 – 15 = 0
50
Eliminar la fila 2 o columna 3

26
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 0
51
15 14 15 17
60 55
OR
3 0
Demanda 0 0 0 0
Solución:
x = 70x14 70
x32 = 60
x21 = 50
x33 = 55
x24 = 25
52
x23 = 15
Z = 12x70 + 14x60 + 15x50 + 15x55 + 25x25 + 26x15
Z = 4,270

27
MÉTODO DE VÓGEL.-
1) P d fil i f di ibl l l1) Para cada fila i con oferta disponible, calcule su
costo penal restando el mínimo costo cij del que le
sigue en valor cik:
Pi = cik – cij
(Costo penal por filas)
2) Para cada columna j con demanda insatisfecha
53
2) Para cada columna j con demanda insatisfecha,
calcule su costo penal restando el mínimo costo clj
del que le sigue en valor cmj:
Pj = cmj – clj
(Costo penal por columnas)
3) Identifique la fila o columna que tenga el mayor
costo penal (Pi o Pj).p ( i j)
4) Asigne xij, donde:
xij = min (oi, dj)
a la celda disponible que tenga el costo más bajo
en la fila o columna seleccionada en el paso 3.
54
) i y j
asignada xij.
oi = oi – xij
di = di - xij

28
6) Descartar las filas con oferta disponible cero y
columnas con demandas insatisfechas cero.
7) Regresar al paso 1.
55
Ejemplo.-
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
70
2 90
1
56
15 14 15 17
OR
3 115
Demanda 50 60 70 95

29
1) Cálculo del costo penal para cada fila:
P = c – c = 13 – 12 = 1P1 c13 c14 13 12 1
P2 = c22 – c21 = 21 – 15 = 6 **
P3 = c31 – c32 = 15 – 14 = 1
Cálculo del costo penal para cada columna:
P1 = c21 – c31 = 15 – 15 = 0
57
P2 = c12 – c32 = 20 – 14 = 6 **
P3 = c33 – c13 = 15 – 13 = 2
P4 = c34 – c14 = 17 – 12 = 5
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
1
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
70
2 90
1
6
58
15 14 15 17
OR
0 6 2 5
3 115
Demanda 50 60 70 95
1

30
2) Se selecciona la columna 2, el mínimo costo de
esta columna es c32 = 1432
Oferta disponible o3 = 115
x32 = min (115, 60) = 60
o3 = 115 – x32 = 115 – 60 = 55
d = 60 x = 60 60 = 0
59
d2 = 60 – x32 = 60 – 60 = 0
Se descarta la columna 2
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
1
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
2 90 6
60
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda 50 0 70 95
1
0 6 2 5

31
3) Recalculando los costos penales para cada fila:
P = c – c = 13 – 12 = 1P1 c13 c14 13 12 1
P2 = c24 – c21 = 25 – 15 = 10 **
P3 = c31 – c33 = 15 – 15 = 0
Recalculando los costos penales para cada
columna:
P = c c = 15 15 = 0
61
P1 = c21 – c31 = 15 – 15 = 0
P3 = c33 – c13 = 15 – 13 = 2
P4 = c34 – c14 = 17 – 12 = 5
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
2 90
1
10
62
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda 50 0 70 95
0
0 2 5

32
4) Se selecciona la fila 2, el mínimo costo de esta fila
es c21 = 1521
x21 = min (90, 50) = 50
o2 = 90 – x21 = 90 – 50 = 40
d = 50 x = 50 50 = 0
63
d1 = 50 – x21 = 50 – 50 = 0
Se descarta la columna 1
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
2 40
1
10
64
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda 0 0 70 95
0
0 2 5

33
P = c – c = 13 – 12 = 1P1 c13 c14 13 12 1
P2 = c23 – c24 = 26 – 25 = 1
P3 = c34 – c33 = 17 – 15 = 2
columna:
P = c c = 15 13 = 2
65
P3 = c33 – c13 = 15 – 13 = 2
P4 = c34 – c14 = 17 – 12 = 5 **
DESTINO
17 20 13 12
15 21 26 25
50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
2 40
1
1
66
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda 0 0 70 95
2
2 5

34
x14 = min (70, 95) = 70
o1 = 70 – x14 = 70 – 70 = 0
d = 95 x = 95 70 = 25
67
d4 = 95 – x14 = 95 – 70 = 25
Se descarta la fila 1
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50
3 4 Oferta
1 0
RIGEN
1 2
2 40
1
1
68
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda
2
2 5
250 0 70

35
P = c – c = 26 – 25 = 1P2 c23 c24 26 25 1
P3 = c34 – c33 = 17 – 15 = 2
columna:
P3 = c23 – c33 = 26 – 15 = 11 **
P = c c = 25 17 = 8
69
P4 = c24 – c34 = 25 – 17 = 8
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 40 1
70
15 14 15 17
60
OR
3 55
Demanda 0 0 70 25
2
811

36
x33 = min (55, 70) = 55
o3 = 55 – x33 = 55 – 55 = 0
d = 70 x = 70 55 = 15
71
d3 = 70 – x33 = 70 – 55 = 15
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 40 1
72
15 14 15 17
60 55
OR
3 0 2
Demanda 0 0 15 25
11 8

37
9) Se selecciona la fila 2, y se asigna:
x = 25x24 25
x23 = 15
73
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 0
2 0 1
74
15 14 15 17
60 55
OR
3 0
Demanda 0 0 0 0

38
Solución:
x = 70x14 70
x21 = 50
x23 = 15
x24 = 25
x32 = 60
75
x33 = 55
Z = 12x70 + 15x50 + 26x15 + 25x25 + 14x60 + 15x55
Z = 4,270
MEJORAMIENTO DE LA SOLUCION BÁSICA
FACTIBLE INICIAL.-
Dado que los métodos estudiados no garantizan una
solución óptima, es necesario verificar que no exista
una ruta no utilizada que lo sea. De ser este el caso , se
determina esta nueva solución.
Se estudiarán 2 métodos para el mejoramiento de una
solución básica factible inicial:
76
a) Método de la Distribución Modificada
b) Método del Paso Secuencial
solución básica factible inicial:

39
MÉTODO DEL PASO SECUENCIAL.-
1) Localizar una celda no básica que no tenga costo1) Localizar una celda no básica, que no tenga costo
marginal, y determinar un circuito con el mínimo
número de celdas básicas siguiendo trayectorias
horizontales y verticales solamente.
P x5
celda
no básica
77
x1
x2
x3
x4
NO SON VÁLIDAS
Mínimo número
P
x1
x2
x3
x4
P
x1
x2
Solamente trayectorias
78
de celdas básicas horizontales y verticales

40
2) Asignar intercalando signos positivos “+” y
negativos “-” al circuito determinado en el paso 1,g p
comenzando con la asignación “+” a la celda no
básica.
P → +
x1 → -
x → +
+ -
79
x2 → +
x3 → -
x4 → +
x5 → - - +
- +
3) Determinar el costo marginal del circuito localizado,
que consiste en el costo de ingresar una unidad aq g
la celda no básica utilizando los signos del paso 2:
Costo Marginal = cP - c1 + c2 - c3 + c4 - c5
cP
c5
80
c1 c2
c3
c4

41
4) Si existen celdas no básicas sin costo marginal
regresar al paso1.g p
5) Si todas las celdas no básicas tienen costo
marginal no negativo la solución actual es óptima.
FIN.
6) Localizar la celda que tenga el costo marginal más
negativo. Asignar a esta celda xP, donde xP es el
mínimo valor de las celdas del circuito que tienen
81
mínimo valor de las celdas del circuito que tienen
signo menos “-”:
xP = min ( x1, x3, x5)
reajuste el valor de las celdas básicas en xP
conforme a los signos correspondientes:g p
x1 = x1 - xP
x2 = x2 + xP
x3 = x3 - xP
x4 = x4 + xP
x = x x
82
x5 = x5 – xP
Z = Z + (Costo Marginal) x xP
7) Descarte los costos marginales de las celdas no
básicas y regrese al paso 1.

42
DESTINO
Ejemplo.-
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
70
2 90
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1
x14 = 70
x21 = 50
x23 = 15
x24 = 25
83
50 15 25
15 14 15 17
60 55
3 115
Demanda 50 60 70 95
OR
x32 = 60
x33 = 55
Z = 4270
DESTINO
1 2 3 4 Oferta
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
3 115
Demanda 50 60 70 95
1 70
2 90
ORIGEN
1 2 3 4 Oferta
84
a1) Celda (1,1)
Circuito: (1,1) - (2,1) - (2,4) - (1,4) - (1,1)
Signos: + - + -
Costo Marginal: 17 – 15 + 25 – 12 = 15

43
DESTINO
1 2 3 4 Oferta
15 17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
95Demanda 50 60 70
2 90
3 115
ORIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
85
a2) Celda (1,2)
Circuito: (1,2) - (3,2) - (3,3) - (2,3) - (2,4) - (1,4) - (1,2)
Signos: + - + - + -
Costo Marginal: 20 – 14 + 15 – 26 + 25 - 12 = 8
DESTINO
1 2 3 4 Oferta
15 17 8 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
3 115
Demanda 50 60 70 95
1 70
2 90
ORIGEN
1 2 3 4 Oferta
86
a3) Celda (1,3)
Circuito: (1,3) - (2,3) - (2,4) - (1,4) - (1,3)
Signos: + - + -
Costo Marginal: 13 – 26 + 25 – 12 = 0

44
DESTINO
1 2 3 4 Oferta
15 17 8 20 0 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
9550 60 70
90
3 115
Demanda
ORIGEN
1 2
2
3 4 Oferta
1 70
87
a4) Celda (2,2)
Circuito: (2,2) - (3,2) - (3,3) - (2,3) - (2,2)
Signos: + - + -
Costo Marginal: 21 – 14 + 15 – 26 = -4
DESTINO
1 2 3 4 Oferta
15 17 8 20 0 13 12
70
15 -4 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
95Demanda 50 60 70
2 90
3 115
ORIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
88
a5) Celda (3,1)
Circuito: (3,1) - (3,3) - (2,3) - (2,1) - (3,1)
Signos: + - + -
Costo Marginal: 15 – 15 + 26 - 15 = 11

45
DESTINO
1 2 3 4 Oferta
15 17 8 20 0 13 12
70
15 -4 21 26 25
50 15 25
11 15 14 15 17
60 55
3 115
Demanda 50 60 70 95
70
2 90
ORIGEN
1 2 3 4 Oferta
1
89
a6) Celda (3,4)
Circuito: (3,4) - (2,4) - (2,3) - (3,3) - (3,4)
Signos: + - + -
Costo Marginal: 17 – 25 + 26 – 15 = 3
DESTINO
15 17 8 20 0 13 12
70
15 -4 21 26 25
50 15 25
11 15 14 15 3 17
2 90
DESTINO
ORIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
90
11 15 14 15 3 17
60 55
3 115
Demanda 50 60 70 95
O
Costo Marginal más negativo: Celda (2,2) = -4

46
b1) Costo Marginal más negativo: Celda (2,2) = -4
Circuito: (2,2) - (3,2) - (3,3) - (2,3) - (2,2)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Signos: + - + -
x22 = min (x32, x23) = min (60, 15) = 15
x22 = 15
x32 = 60 – 15 = 45
91
x33 = 55 + 15 = 70
x23 = 15 – 15 = 0
La nueva solución resulta:
DESTINO
x14 = 70
x21 = 50
x22 = 15
x24 = 25
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
1
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
70
2 90
92
x32 = 45
x33 = 70
Z = 4210
50 15 25
15 14 15 17
45 70
OR
3 115
Demanda 50 60 70 95

47
Recalculado los Costos Marginales se tiene:
DESTINO
15 17 12 20 4 13 12
70
15 21 4 26 25
50 15 25
7 15 14 15 1 17
1
DESTINOORIGEN
1 2 3 4 Oferta
70
2 90
93
7 15 14 15 -1 17
45 70
O
3 115
Demanda 50 60 70 95
Costo Marginal más negativo: Celda (3,4) = -1
b2) Costo Marginal más negativo: Celda (3,4) = -1
Circuito: (3,4) - (2,4) - (2,2) - (3,2) - (3,4)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Signos: + - + -
x34 = min (x24, x32) = min (24, 45) = 24
x34 = 25
x24 = 25 – 25 = 0
94
x22 = 15 + 25 = 40
x32 = 45 – 25 = 20

48
La nueva solución resulta:
DESTINO
x14 = 70
x21 = 50
x22 = 40
x32 = 20
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 40
1
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
70
2 90
95
x33 = 70
x34 = 25
Z = 4185
50 40
15 14 15 17
20 70 25
OR
3 115
Demanda 50 60 70 95
Recalculado los Costos Marginales se tiene:
DESTINO
14 17 11 20 3 13 12
70
15 21 4 26 1 25
50 40
7 15 14 15 17
DESTINO
ORIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 70
2 90
96
Tablero óptimo.
7 15 14 15 17
20 70 25
O
3 115
Demanda 50 60 70 95

49
MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN MODIFICADA.-
1) Asignar a cada fila las variables:1) Asignar a cada fila las variables:
ui , i = 1, 2, ..., m
Asignar a cada columna las variables:
vj , j = 1, 2, ..., n
2) Con cada celda básica se tiene:
97
cij = ui + vj
se asigna:
u1 = 0
determinar las restantes variable u y v.
3) Determinar el costo marginal de las celdas no
básicas de la siguiente forma:g
Costo Marginal (k, m) = ckm – ( uk + vm )
4) Si todas las celdas no básicas tienen costo
marginal no negativo la solución actual es óptima.
FIN.
5) Localizar la celda que tenga el costo marginal más
i Di i i i il l é d
98
negativo. Diseñar un circuito similar al método
anterior para esta celda. Asignar a esta celda xP,
donde xP es el mínimo valor de las celdas del
circuito que tienen signo menos “-”:
xP = min ( x1, x3, x5)

50
reajuste el valor de las celdas básicas en xP
conforme a los signos correspondientes:g p
x1 = x1 - xP
x2 = x2 + xP
x3 = x3 - xP
x4 = x4 + xP
x = x x
P
x1
x2
x3
x4
x5
celda
no básica
99
x5 = x5 – xP
Z = Z + (Costo Marginal) x xP
6) Descarte los costos marginales de las celdas no
básicas y regrese al paso 1.
1 2
DESTINO
Ejemplo.-
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
70
2 90
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1
100
15 14 15 17
60 55
3 115
Demanda 50 60 70 95
OR

51
Determinando los valores de los coeficientes ui y vj:
DESTINO
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
RIGEN
1 2
1
90
DESTINO
3 4 Oferta
70
v2 v3 v4
u1
u2
v1
2
101
50 15 25
15 14 15 17
60 55
OR
3 115
Demanda 50 60 70 95
u3
DESTINO
v1 v2 v3 v4
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
u2
u3
102
a1) u1 = 0 (valor predeterminado)

52
DESTINO
v1 v2 v3 12
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
u2
u3
103
a2) Celda (1,4)
c14 = u1 + v4 12 = 0 + v4 v4 = 12
DESTINO
v1 v2 v3 12
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
u3
104
a3) Celda (2,4)
c24 = u2 + v4 25 = u2 + 12 u2 = 13

53
DESTINO
2 v2 v3 12
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
u3
105
a4) Celda (2,1)
c21 = u2 + v1 15 = 13 + v1 v1 = 2
DESTINO
2 v2 13 12
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
u3
106
a5) Celda (2,3)
c23 = u2 + v3 26 = 13 + v3 v3 = 13

54
DESTINO
2 v2 13 12
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
107
a6) Celda (3,3)
c33 = u3 + v3 15 = u3 + 13 u3 = 2
DESTINO
2 12 13 12
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
108
a7) Celda (3,2)
c32 = u3 + v2 14 = 2 + v2 v2 = 12

55
DESTINO
2 12 13 12
17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
109
Determinando los Costos Marginales de las celdas
no básicas
DESTINO
2 12 13 12
15 17 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
110
b1) Costo Marginal (1,1) = c11 – ( u1 + v1 )
Costo Marginal (1,1) = 17 – ( 0 + 2 ) = 15

56
DESTINO
2 12 13 12
15 17 8 20 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
111
Costo Marginal (1,2) = 20 – ( 0 + 12 ) = 8
DESTINO
2 12 13 12
15 17 8 20 0 13 12
70
15 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
112
Costo Marginal (1,3) = 13 – ( 0 + 13 ) = 0

57
DESTINO
2 12 13 12
15 17 8 20 0 13 12
70
15 -4 21 26 25
50 15 25
15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
113
Costo Marginal (2,2) = 21 – ( 13 + 12 ) = -4
DESTINO
2 12 13 12
15 17 8 20 0 13 12
70
15 -4 21 26 25
50 15 25
11 15 14 15 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
114
Costo Marginal (2,2) = 15 – ( 2 + 2 ) = 11

58
DESTINO
2 12 13 12
15 17 8 20 0 13 12
70
15 -4 21 26 25
50 15 25
11 15 14 15 3 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
115
Costo Marginal (2,2) = 17 – ( 2 + 12 ) = 3
DESTINO
2 12 13 12
15 17 8 20 0 13 12
70
15 -4 21 26 25
50 15 25
11 15 14 15 3 17
60 55
ORIGEN
1 2
1
90
3 115
3 4 Oferta
70
50 60 70
2
95Demanda
0
13
2
116
Calculados los Costos Marginales para todas las
celdas no básicas continuar como el método
anterior.

59
CONSIDERACIONES SUPLEMENTARIAS EN EL
PROBLEMA DE TRANSPORTE.-
1) El problema esta desbalanceado:
Aquí se observan algunos problemas que ocurren con
el modelo original. En los casos siguientes se realizan
cambios sobre el modelo afín de utilizar el mismo
procedimiento resolutivo.
117
∑∑ ==
≠
n
1j
j
m
1i
i
do
1a) Ocurre:
∑∑
nm
∑∑ ==
>
1j
j
1i
i
do
11n1211
oxxx ≤+++ L
22n2221
oxxx ≤+++ L
⇒ Las restricciones por oferta cambian a:
118
M
22n2221
mmnm2m1
oxxx ≤+++ L
El resto de la formulación permanece
igual.

60
⇒ En el cuadro o matriz de transporte se
añade un nuevo destino dn+1, conocidon+1
como “destino ficticio”, que tiene como
demanda el exceso de oferta y los costos
de transporte serán ceros (0).
∑∑ ==
+
−=
n
1j
j
m
1i
i1n
dod
119
m,2,1,i0,c 1)(ni
K==+
Los artículos enviados al “destino ficticio”
permanecerán en el origen de
procedencia.
5 7 10
4 9 6
DESTINO
RIGEN
2 300
3 Oferta
4001
1 2 900200300400o
3
1i
i
=++=∑=
800250400150d
3
1j
j
=++=∑=
8 3 2
OR
150 400 250
3
Demanda
200
5 7 10 0
3 4
N
1 2
1
DESTINO
Oferta
400
120
4 9 6 0
8 3 2 0
ORIGEN
1
Demanda 150 400 250 100
400
300
200
2
3

61
1b) Ocurre:
∑∑
nm
∑∑ ==
<
1j
j
1i
i
do
1m12111
dxxx ≤+++ L
2m22212
dxxx ≤+++ L
⇒ Las restricciones por demanda cambian
a:
121
M
2m22212
nmn2n1n
dxxx ≤+++ L
El resto de la formulación permanece
igual.
⇒ En el cuadro o matriz de transporte se
añade un nuevo origen om+1, conocidog m+1
como “origen ficticio”, que tiene como
oferta el exceso de demanda y los costos
de transporte serán ceros (0).
∑∑ ==
+
−=
m
1i
i
n
1j
j1m
odo
122
n,2,1,j0,c j1)(m
K==+
Los artículos enviados por el “origen
ficticio” se considera como una demanda
no satisfecha.

62
800200240360o
3
1i
i
=++=∑=
900350300250d
3
1j
j
=++=∑=
5 7 10
4 9 6
DESTINO
RIGEN
2 240
3 Oferta
3601
1 2
8 3 2
OR
250 300 350
3
Demanda
200
5 7 10
4 9 6
3 Oferta
EN
1 2
1
2
DESTINO
360
240
123
8 3 2
0 0 0
ORIGE
Demanda 250 300
200
100
2
3
4
240
350
2) Soluciones múltiples:
Si en la solución óptima del problema de transporteSi en la solución óptima del problema de transporte
se tienen celdas no básicas con costo marginal
cero (0), estas celdas constituyen también
soluciones alternativas óptimas.
124

63
5 7 3 10
60 300
4 3 9 6
190 100
2 290
ORIGEN
1 2
1
3 Oferta
DESTINO
360
2x2506x100
4x1907x3005x60Z
+
+++=
260,4Z =
8 8 0 2 2
250
2503
350
O
Demanda 250 300
5 7 3 10
DESTINO
1 2 3 Oferta
125
5 7 3 10
250 110
0 4 3 9 6
290
8 8 2 2
190 60
ORIGEN
1 360
2 290
3 250
Demanda 250 300 350
2x60x1902
x29067x1105x250Z
+
+++=
260,4Z =
3) Caso de Maximización:
Si la matriz de costos unitarios del problema deSi la matriz de costos unitarios del problema de
transporte son beneficios, la función objetivo es de
maximización.
Cambiar de signo los costos unitarios, multiplicar
por –1 cada costo, y resolver utilizando el método
de minimización anterior.
L fi l l i li 1
126
La respuesta final se multiplica por –1.

64
1 2 3 j n-1 n
1 c11 c12 c13 c1j c1 n-1 c1n o1
2 c21 c22 c23 c2j c2 n-1 c2n o2
3 c31 c32 c33 c3j c3 n-1 c3n o3
i
Destinos
igenes
i ci1 ci2 ci3 cij ci n-1 cin oi
m-1 cm-1 1 cm-1 2 cm-1 3 cm-1 j cm-1 n-1 cm-1 n om-1
m cm1 cm2 cm3 cmj cmn-1 cmn om
d1 d2 d3 dj dn-1 dn
Or
1 2 3 j n-1 n
1 -c11 -c12 -c13 -c1j -c1 n-1 -c1n o1
2 -c21 -c22 -c23 -c2j -c2 n-1 -c2n o2
3 -c31 -c32 -c33 -c3j -c3 n-1 -c3n o3
Destinos
es
127
i -ci1 -ci2 -ci3 -cij -ci n-1 -cin oi
m-1 -cm-1 1 -cm-1 2 -cm-1 3 -cm-1 j -cm-1 n-1-cm-1 n om-1
m -cm1 -cm2 -cm3 -cmj -cm n-1 -cmn om
d1 d2 d3 dj dn-1 dn
Origene
4) Rutas prohibidas:
Si se requiere que en la solución del problema noSi se requiere que en la solución del problema no
se encuentre la variable xij (xij = 0), se coloca como
costo cij un valor bastante grande:
Mcij
=
128

65
5) Degeneración:
Ocurre cuando en algún momento del proceso deOcurre cuando en algún momento del proceso de
solución las variables básicas resultan ser menos
de m + n – 1.
Esto origina que se imposibilite el cálculo del Costo
Marginal de algunas variables no básicas.
1) Localizar aquellas celdas no básicas que
lt i ibl d t i C t M i l
129
resulte imposible determinar su Costo Marginal.
2) Ingresar como variable básica aquella celda
determinada en 1. Si existen varias seleccionar
una arbitrariamente. Valor a ingresar cero (0).
5 7 9 7
310 100
8 4 5 4
190
DESTINO
RIGEN
2 190
4 Oferta
4101
1 2 3
7 6 10 7
90 360
OR
310 290 360
3
Demanda
450
90
5 7 X 9 X 7
4 Oferta
DESTINO
410
1 2
1
3
130
310 100
6 8 4 X 5 X 4
190
X 7 X 6 10 7
90 360
410
ORIGEN
1
Demanda 310 290
450
2
3
190
36090

66
Ingresando cero (0) en la celda ( 1, 3 ):
5 7 9 1 7
310 100 0
6 8 4 -1 5 1 4
190
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
131
1 7 -2 6 10 7
90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
5 7 -1 9 7
310 100 0
6 8 4 -2 5 0 4
190
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
132
2 7 -1 6 10 7
90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360

67
5 7 1 9 2 7
310 100
6 8 4 5 2 4
190 0
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
133
0 7 -3 6 10 7
90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
5 7 -1 9 0 7
310 100
6 8 4 -2 5 4
190 0
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
134
2 7 -1 6 10 7
90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360

68
5 7 1 9 2 7
310 100
6 8 4 0 5 2 4
190
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
135
7 -3 6 10 7
0 90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
5 7 -2 9 -1 7
310 100
6 8 4 -3 5 -1 4
190
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
136
3 7 6 10 7
0 90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360

69
Resolviendo el problema a partir del ingreso de cero (0)
a la celda ( 1, 3 ):
430,6Z =
5 7 9 1 7
310 100 0
6 8 4 -1 5 1 4
190
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
( )
137
1 7 -2 6 10 7
90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
CM( 3, 2 ) = -2
CM( 3, 2 ) = -2
250,6Z =
5 7 9 -1 7
310 10 90
6 8 4 -1 5 -1 4
190
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
138
3 7 6 2 10 7
90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
CM( 2, 3 ) = -1

70
CM( 2, 3 ) = -1
160,6Z =
5 7 1 9 -1 7
310 100
6 8 4 5 -1 4
100 90
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
139
3 7 6 3 10 7
90 360
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
CM( 2, 4 ) = -1
CM( 2, 4 ) = -1
060,6Z =
5 7 0 9 -1 7
310 100
7 8 1 4 5 4
90 100
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
140
3 7 6 2 10 7
190 260
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
CM( 1, 4 ) = -1

71
CM( 1, 4 ) = -1
960,5Z =
5 1 7 1 9 7
310 100
6 8 1 4 5 4
90 100
DESTINO
RIGEN
1 2 3 4 Oferta
1 410
2 190
141
2 7 6 2 10 7
290 160
OR
3 450
Demanda 310 290 90 360
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