Este documento describe los diferentes tipos de continuidad y discontinuidad de funciones. Explica que una función es continua en un punto si existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función. Describe discontinuidades evitables, de salto finito y de salto infinito, dependiendo de si el límite existe y coincide con el valor de la función.

1. Continuidad de funciones
Curso 4º ESO

2. Definición de continuidad
La idea de continuidad, que todos tenemos, es la idea de todo seguido, sin
interrupciones. Una función como la representada por la gráfica de la figura, se puede
dibujar de un solo trazo. Es una función continua en todos sus puntos.
¿Cuándo se dice que una función es continua en un punto?
Una función es continua en un punto si existe valor del límite en dicho punto, si
existe valor de la función en dicho punto y además ambos coinciden.
y
Existe lim f ( x ) = b
x→ a Siendo además
Existe f(a) = b
lim f ( x ) = f (a )
a x
x→ a
b
Una función es continua, cuando lo es en
todos los puntos de su dominio de definición.

3. Estudio de la continuidad en un punto
y
7
Veamos el ejemplo de la figura.
6
Estudiemos la continuidad en el punto x=2 5
Calculamos los límites laterales en x=2 4
Para hallar el límite por la izquierda nos acercamos a x=2 por 3
la recta morada. 2
Para hallar el límite por la derecha nos acercamos a x=2 por 1
la recta verde. x
lim− f ( x ) = 3 -4 -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5 6
∃ lim f ( x ) = 3
x→ 2
-2
lim+ f ( x ) = 3
x→ 2 -3
x→ 2 -4
Cuando los dos límites laterales existen y coinciden, -5
entoces existe límite de la función en dicho punto que será -6
el mismo que los laterales
-7
Calculamos el valor de la función en x=2
Para hallar el valor de la función en x=2 tenemos que fijarnos en
donde toma valor, en el punto azul.
f(2)=3
Como podemos observar el valor del límite y el valor de la función coinciden, por
tanto f(x) es continua en el punto de abscisa x=2.

4. Discontinuidad evitable
Vamos a estudiar la continuidad de la función representada por la gráfica de la figura:
x2 − 4
La función representada es: f ( x ) =
x− 2
El punto objeto de estudio sería en x=2, en los demás es evidente que la función es
continua. y
8
Calculamos:
lim− f ( x ) = 4 6
∃ lim f ( x ) = 4
x→ 2
4
lim+ f ( x ) = 4
x→ 2
x→ 2
2
x
Si hallamos el valor de la función en -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x=2, nos encontramos: -2
22 − 4 0 -4
f (2 ) = = No existe f(2)
2− 2 0 -6
Esta discontinuidad se conoce como -8
discontinuidad evitable.
Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto, siempre que exista
límite y no exista función en dicho punto, o si existe no coincide con el límite.

5. Discontinuidad de tipo salto finito
Vamos a estudiar la continuidad de la función representada por la gráfica de la figura:
 2x + 8 si x < − 1
La función representada es: f ( x ) = 
 x − 6 si x ≥ − 1
2
El punto objeto de estudio sería en x=−1, en los demás es evidente que la función es
continua. y
8
Calculamos el límite en x=−1 :
lim− f ( x ) = 6
6
∃ lim f ( x )
x→ − 1 4
lim+ f ( x ) = − 5 x→ − 1
2
x→ − 1 x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Calculamos el valor de la función en
-2
x=−1 :
f ( − 1) = ( − 1) + 8 = 6
2 -4
-6
Podemos observar que coincide con
-8
el valor que se muestra en la gráfica.
Una función presenta una discontinuidad de tipo salto finito en un punto, siempre
que existan los dos límites laterales, ambos sean finitos, pero sean distintos. Independien-
temente de que exista valor de la función o no, en dicho punto.

6. Discontinuidad de tipo salto infinito
Vamos a estudiar la continuidad de la función representada por la gráfica de la figura:
 2
 si x < 0
La función representada es: f ( x ) =  x
 x + 3 si x ≥ 0

El punto objeto de estudio sería en x=0, en los demás es evidente que la función es
continua. 12
y
Calculamos el límite en x=0 : 10
8
lim− f ( x ) = − ∞ 6
∃ lim f ( x )
x→ 0 4
2
lim+ f ( x ) = 3
x→ 0 x
x→ 0 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
Calculamos el valor de la función en -4
-6
x=0 : -8
f (0 ) = 3 -10
-12
Una función presenta una discontinuidad de tipo salto infinito en un punto,
siempre que uno de los dos límites laterales sea infinito, o ambos. Independientemente de
que exista valor de la función o no, en dicho punto.