Teoria referente al Campo Gravitatorio y Leyes de Kepler

1. Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
Tema 1. Campo gravitatorio
0. Concepto de campo
Diremos que en una región del espacio existe un campo creado por una magnitud física si es
posible asignar en cada instante un valor a dicha magnitud para todos los puntos de dicha región.
Ej: Si tenemos un vaso que contiene agua con hielo, donde no se ha alcanzado el equilibrio térmico
y medimos la Tª cada punto tendrá una Tª distinta. Existe un campo de Tª.
Si estudiamos la velocidad con la que se desplaza un fluido por una tubería vemos que depende
del rozamiento de las paredes y la viscosidad, por tanto a cada pto de la tubería le corresponde una
velocidad. Esto es un campo de velocidades.
Si la magnitud que define al campo es un escalar decimos que es un campo escalar ( Tª) y si
es vectorial que es un campo vectorial ( velocidad ).
Decimos que un campo es estacionario si no depende del tiempo.
Si la magnitud que define al campo permanece cte el campo es uniforme.
Un campo escalar se puede representar mediante superficies isoescalares, por ejemplo las
superficies isobaras, que miden la presión atmosférica. El corte de estas superficies con planos
paralelos a la superficie de la tierra definen las líneas isobaras.
Un campo vectorial se define mediante líneas de campo, que son líneas tangentes en cada
punto a la magnitud vectorial que define el campo.
Cuando la magnitud que define el campo es una fuerza, se llaman campos de fuerzas.
Propiedades de las líneas de campo:
• Su sentido de recorrido y el vector que representa el campo coinciden en cada punto.
• Pueden ser cerradas ( campo magnético) o abiertas ( campo gravitatorio y eléctrico)
• En cada punto de la línea el campo solo puede tener una dirección por lo que las líneas de
campo no se pueden cortar.
• Parten de manantiales o fuentes y llegan o convergen en sumideros.
• Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas paralelas.
• En los puntos o zonas donde las líneas están más juntas o tienden a converger el campo es más
intenso.
Dos ejemplos de campos de fuerza son:
1

2. Apuntes campo gravitatorio.
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0.1 Campos conservativos . Energía potencial
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas
del campo para trasladar una partícula de un punto A a uno B depende del
punto inicial y final y no del camino seguido.
Propiedades.
I)El trabajo que realiza el campo dentro de una trayectoria cerrada es cero.
0····· =



−



=



+



= ∫∫∫∫ ∫ II
A
BI
B
AII
a
BI
B
A
rdFrdFrdFrdFrdF

II)El trabajo que realiza el campo puede expresarse como la variación de la energía potencial entre
dos puntos inicial y final . W = BA
B
A
EpEprdF −=∫

· = -ΔEp;
EpmghmghhhmgmgdrW AB
B
A
AB ∆−=+−=−−=−= ∫ )(
EpkxkxkxdxW AB
B
A
∆−=+−=−= ∫
22
2
1
2
1
III) Tª de la fuerzas vivas.
Supongamos un cuerpo que se desplaza con una trayectoria cualquiera bajo la acción de una fuerza
F

. ( Supondremos que la F

es paralela a la dirección de desplazamiento, si no habría que coger
únicamente su componente tangencial). El trabajo realizado por F

es
22
2
2
1
2
1
2
·· AB
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
mvmv
v
mmvdvdr
dt
dv
mdrmaFdrrdFW −======= ∫∫∫ ∫ ∫

Esto se conoce como Tª de las fuerzas vivas. Sea cual sea la naturaleza de las fuerzas que actúan
sobre un cuerpo, el trabajo total realizado al trasladarlo entre dos puntos es igual a la variación de la
energía cinética. W = ΔEc.
Debemos recordar, por tanto que si sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas su energía
mecánica se mantiene constante.
W = ΔEc; W = -ΔEp; Por tanto EcB-EcA= EpA – EpB y por tanto EcB+EpB= EpA + EcB
Son campos conservativos cualquier central, el eléctrico, el gravitatorio y el elástico.
1.Concepciones del universo. Desde la antigüedad hasta Kepler.
El estudio del universo interesó a las personas desde la más remota antigüedad. Los egipcios
dividían en 36 grupos las estrellas, En Mesopotamia se introdujeron los meses y la semana
bautizando los días por el Sol, La luna y los cinco planetas conocidos. También dividieron el día en
2 grupos de 12 horas, y la hora en minutos y segundos. Los chinos se preocuparon del universo.
Para ellos, los cuerpos celestes más importantes eran la estrella polar y las estrellas circumpolares,
que nunca salen ni se ponen. La polar era el emperador de los cielos, las circumpolares príncipes y
el resto de estrellas funcionarios.
Rompiendo con las explicaciones míticas de las civilizaciones anteriores los grandes
filósofos y astrónomos griegos emiten las primeras teorías racionales sobre la forma de la tierra y su
concepción del universo.
1.1 Teorías geocéntricas
2

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Anaximandro ( siglo VII a.C.), dice que la tierra era de forma cilíndrica y estaba rodeada de
una neblina formada por tres anillos estelares que se movían alrededor de la tierra, las estrellas, la
luna y el Sol en la que de forma ocasional se abrían agujeros y entonces se podía ver que más allá
brillaban el fuego y la luz( el sol, la luna y las estrellas). Thales de Mileto predice un eclipse.
Pitágoras ( siglo VI a.C.) explicó la estructura del universo en términos matemáticos. El
gran fuego central, origen de todo se relacionaba con el uno, origen de los números. A su alrededor
giraban la tierra, La luna, El sol y los planetas conocidos. El periodo de la Tierra en torno al fuego
central era de 24 horas y ofrecía a este siempre su cara oculta, donde no habitan las personas.
También se conocían los periodos de la Luna ( un mes) y del Sol ( 1 año) . El universo concluía en
una esfera celeste de estrellas fijas y más allá estaba el Olimpo. La obsesión matemática de los
pitagóricos le llevó a pensar que el número de cuerpos que formaban el universo era diez, ya que
este es el número perfecto. Como solo encontraban nueve supusieron que el décimo estaba entre la
tierra y el gran fuego y por eso no era visible. Lo llamaron Antitierra.
Filolao de Tarento ( siglo V a.C.) formuló la idea de una tierra esférica. Esta idea fue
fácilmente aceptada ya que era el único modelo capaz de aceptar fenómenos como la desaparición
gradual del casco y velamen de los barcos en el horizonte o que la sombra que la tierra proyecta
sobre la Luna en los eclipses es circular.
En el siglo IV a. C. Platón elabora un teoría del universo basada en que la tierra esférica,
ocupa el centro del universo, y los cuerpos celestes son de carácter divino y se mueven en torno a la
tierra con movimientos circulares uniformes.
Aristóteles, discípulo de Platón, añade que el Cosmos está dividido en dos partes, el mundo
sublunar y el mundo supralunar. El mundo sublunar está compuesto por los cuatro elementos de la
región terrestre ( tierra, aire, agua y fuego). El mundo supralunar es el mundo de la armonía
perfecta, donde todos los planetas se mueven con movimiento circular uniforme y está compuesto
por la quinta esencia el éter.
Esta concepción tenía una cierta consistencia al explicar los movimientos observados en la
superficie terrestre. En esta época no se tenía en cuenta la medición y la experimentación, y era
comúnmente admitido que los objetos más pesados caen más deprisa que los más ligeros. La
razón es que al contener más cantidad del elemento tierra , su tendencia a situarse en su lugar
natural era más acusada. Igualmente el vapor tendía a ascender por encima de la tierra hacia su
lugar natural, el aire.
Esta teoría no daba una explicación satisfactoria del movimiento retrogrado que a veces
parecían experimentar los planetas ( estrellas errantes ) ni de las variaciones de brillo observadas
para esos planetas y que se asociaban ( correctamente ) con variaciones de distancia.
Con el debilitamiento de Atenas , surge la etapa de Alejandría, con nuevos astrónomos que
desarrollaban programas de observación y valoraban la observación sistemática.
Entre ellos destaca Aristarco de Samos ( Siglo III a.C.) que ideó métodos para calcular la
relación entre los diámetros de la Tierra y la Luna, la distancia Tierra-Luna en función del diámetro
de la Tierra y la distancia entre la Tierra y el Sol en relación con a la distancia Tierra – Luna. Los
resultados no son muy exactos debido a la imprecisión de los aparatos pero los métodos son
correctos. Aristarco mantenía la idea de un Universo en el que el centro es el Sol y en torno a él
giran la Tierra y los demás planetas. Es el precursor del modelo heliocéntrico, que no fue aceptada
en su cultura. También indica que la Tierra gira sobre su eje, basándose en los estudios de
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4. Apuntes campo gravitatorio.
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Hericlades del Porto. Un discípulo suyo, Eratóstenes de Cirene, ideó un método para medir el
diámetro de la tierra.
Hiparco de Nicea ( siglo II a.C.) considerado el mejor astrónomo de la antigüedad, estudió
el movimiento del Sol y observó que no tiene siempre la misma velocidad. Propuso un modelo en el
cual es Sol se mueve en un circulo que llamo epiciclo: el centro del epiciclo a su vez se mueve en
torno a la tierra describiendo otro circulo llamado deferente.
En el siglo II de nuestra era, Ptolomeo, siguiendo
Con los trabajos de Hiparco, sugirió un esquema
geocéntrico según el cual la Tierra seguía estando
inmóvil en el centro del universo y los astros, en
orden de proximidad la Luna, Mercurio, Venus
El Sol, Marte, Júpiter , Saturno y las estrellas efectuaban
dos tipos de movimientos: Un movimiento orbital en
el llamado epiciclo del planeta, y otro movimiento que
llevaba a cabo el centro del epiciclo alrededor de la tierra
y que se llamaba deferente.
Ajustando adecuadamente las velocidades del movimiento
del planeta y en su epiciclo y de su centro en la deferente
se podía dar una explicación bastante precisa de todos los
problemas, como el movimiento retrogrado de los planetas
tuvo una gran aceptación y se mantuvo en vigor durante
muchos siglos. Mantenía el movimiento circular uniforme
como movimiento natural de los cielos. El artificio de los
epiciclos no satisfacía a los que abogaban por un modelo
simplista como el aristotélico.
1.2 Teorías heliocéntricas
La primera teoría heliocéntrica la formula Aristarco de Samos ( siglo III a.C.) Sugiere que el
esquema más simple del movimiento de los astros se obtiene si se sitúa el Sol en el centro del
Universo. La Tierra tendría dos movimientos , rotación diaria y traslación anual. Esta teoría fue
desechada frente a la aristotélica, porque la Tierra debía ser el centro del universo. Además se le
hacía un reproche; Si la teoría fuese acertada la Tierra estaría unas veces más cerca y otras más lejos
de ciertas estrellas del fondo estelar, lo que haría que se vieran como si hubieran sufrido un
desplazamiento sobre el fondo de las estrellas más lejanas. Nadie había observado este
desplazamiento. A esto se le conoce como paralaje estelar.
Galileo fue quién apuntó, en el siglo XVII, la clave de la dificultad para medir el paralaje:
las estrellas estaban mucho más lejos de lo que se pensaban. En 1838, un astrónomo alemán, Bessel,
midió el primer paralaje de una estrella. El resultado que obtuvo equivaldría al tamaño del ángulo
de una peseta medido desde 5 km de distancia.
Teoría heliocéntrica de Copérnico
Nicolás Copérnico ( 1473-1543) expone una teoría heliocéntrica que desecha la teoría
Ptolomeica y retorna a la simplicidad de los movimientos planetarios. Sitúa al Sol en el centro del
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Sistema y todos los planetas, incluida la Tierra se moverían en circunferencias concéntricas. La
Tierra tendría un doble movimiento de traslación y rotación.
Esta concepción del Universo es contraria a la Biblia y a las teorías de Aristóteles, por lo que
no fueron aceptadas por sus contemporáneos . De hecho, Copérnico nunca publicó su obra De
revolutionibus orbius caelestium ( Revoluciones de las esferas celestes) que se publicó
póstumamente en 1443
Uno de los mayores aciertos de la teoría de Copérnico fue el establecimiento de los periodos
orbitales de los planetas alrededor del Sol y las distancias relativas de los planetas al Sol.
También ofrecía una sencilla explicación del movimiento
retrogrado de los planetas. Si se observa el dibujo, la retrogradación
del planeta tiene lugar cuando la Tierra lo adelanta, debido a que su
periodo de revolución alrededor del Sol es más corto.
Justificó también correctamente la no observación del paralaje. Las
Estrellas estaban tan lejos que la diferencia era inapreciable.
Galileo
Galileo Galilei ( 1564-1642) apoyó y desarrolló la teoría heliocéntrica de Copérnico.
En 1610 publica el Mensajero celestial donde dice:
• Júpiter tiene cuatro planetas ( Kepler los llamaría después satélites) girando en torno a él.
Esto venía a decir que la Tierra no era el centro de rotación de todos los cuerpos celestes y
rompía con el dogma de los siete cuerpos celestes, aparte de las estrellas fijas, que se
suponía constituían el universo.
• La superficie lunar no era lisa ni perfectamente esférica sino que tenía rugosidades , cadenas
montañosas y valles . Esto supone atentar contra la idea de que salvo la Tierra los demás
cuerpos celestes eran esféricos y uniformes
• Las estrellas fijas no parecían aumentar a través del telescopio .Esto implicaba que estaban
increíblemente lejos, lo que permite explicar la ausencia de paralajes observadas.
• La Vía Láctea, cuyo nombre se deber al aspecto lechoso que presenta su rastro en el cielo,
estaba compuesto por una infinidad de estrellas indistinguibles a simple vista.
En 1632 publica Diálogos sobre los dos grandes sistemas del mundo, obra en la que hace
una defensa del sistema Coperniciano ( sigue creyendo que las orbitas son circulares) y expone el
principio de la inercia y la idea de la caída libre de los cuerpos independientemente de la masa, en
contra de Aristóteles.
Sus ideas le acarrearon problemas con la inquisición y abjuró de ellas.
Paralaje: Desplazamiento aparente que sufre un objeto cuando el observador cambia de lugar. Por
ejemplo: Si mantienes inmóvil el dedo índice de una mano frente a la cabeza y desplazas ésta de un
lado a otro, parece como si el dedo también se moviera.
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2. Dinámica de rotación.
2.1 Momento de un vector respecto de un punto
Consideraremos que el vector es una fuerza.
El momento de una fuerza F

aplicada en el punto P, con respecto a un punto O, es un
vector con las siguientes características:
• Módulo: El producto de la fuerza por la distancia del punto a la línea de acción de la fuerza.
• Dirección : La de la perpendicular la plano formado por el punto y la línea de acción de la
fuerza.
• Sentido: el del avance de un sacacorchos al llevar r sobre F por el camino más corto.
Esto es un producto vectorial M = Fxr

Propiedades.
Las del producto vectorial.
Y una más:
Si la recta direccional del vector pasa por el centro de
momentos el vector es nulo, no hay momento.
0||
0
||
=



=
=
M
d
vdM 

Todo esto es muy útil, por ejemplo en aplicaciones como la ley de la palanca. Esta ley
establece que el efecto de una fuerza al actuar sobre un punto de aplicación no depende solo de su
valor, sino también de la distancia al punto de apoyo, o eje de giro. Aparece una nueva magnitud
que es el producto de una fuerza por una distancia, lo llamamos momento.
2.2 Momento cinético o angular
Momento cinético o angular de una partícula de masa m, que se mueve con velocidad v

,
con respecto a un punto O es el producto vectorial de su posición, r

por su cantidad de
movimiento, p

. vxmrpxrL

==
αα
α
rsend
r
d
sen
pdrpsenL
==
==
;
Tª del momento angular
Derivando la ecuación anterior se obtiene: MFxraxmr
dt
vd
xmrvxm
dt
rd
dt
Ld 



===+=
6

7. Apuntes campo gravitatorio.
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Ya que la derivada del vector de posición respecto del tiempo es la velocidad y el producto vectorial
de esta por la cantidad de movimiento es cero, pues son vectores paralelos.
dt
Ld

= M

A esta expresión se le conoce como Tª del momento angular: “ La variación del
momento angular de una partícula con respecto a un punto en la unidad de tiempo, es igual al
momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto a dicho punto.”
Conservación del momento angular. Consecuencias
Si el momento angular M =0 entonces L = cte. Es decir, si la
suma de los momentos de las fuerzas exteriores que actúan
sobre un sistema es cero, el momento angular del sistema
permanece cte.
Por ejemplo esto ocurre en el caso de las fuerzas centrales ya
que al tener r y F la misma dirección el momento es cero
2.3 Par de fuerzas
Se denomina par de fuerzas a dos fuerzas paralelas, iguales en módulo y de sentido
contrario. La resultante es 0. R = F1-F2 = 0.
• No produce movimiento de traslación, solo de rotación
• El módulo del producto de un par de fuerzas es igual al producto del
módulo de una de las fuerzas por la distancia entre ellas. M = Fd. A d se
le conoce como brazo del par
3. Leyes de Kepler
A finales del siglo XVI, un astrónomo danés, Brahe, calculó numerosos datos sobre el
movimiento de los planetas con muchísima precisión. También trató de medir algún paralaje pero
no lo consiguió. Conocía las teorías de Copérnico, pero también el poder de la iglesia y creó un
modelo geocéntrico y heliocéntrico a la vez. Todos los planetas giraban alrededor del Sol y todo ese
conjunto, a su vez, gira alrededor de la Tierra que está inmóvil en el centro del universo.
Johanes Kepler fue su discípulo, pero era un Coperniciano convencido. A la muerte de
Brahe, Kepler decidió interpretar esos datos adaptándolos a las órbitas circulares de Copérnico. Los
cálculo cuadraban hasta Marte. Según los datos de Brahe la orbita de Marte estaba a 8`de arco
( 0,13º) fuera del esquema de Copérnico. Al estudiar esta discrepancia Kepler se dio cuenta de que
si las órbitas son elípticas en las que en uno de los focos se situaba el Sol se solucionaba el
problema.
Con esto y el resto de los datos Kepler enunció tres leyes que describían el movimiento
planetario:
1ª ley : Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
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8. Apuntes campo gravitatorio.
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2º ley: Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol, son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. cte
t
S
t
S
=== .......
2
2
1
1
Velocidad areolar: Es el cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en barrerla. Va=s/t m/s.
Por esto a esta propiedad también se conoce como Tª de las áreas.
Esta propiedad es consecuencia del Tª de conservación del momento angular. Como el sistema solar
es un sistema aislado 0=∑M

y por tanto L

= cte. Como las fuerzas de atracción son centrales
→→
ryF son paralelos y por tanto M

=0. Las órbitas son planas ya que si L

=cte lo es en dirección y
sentido , L

es perpendicular a r

y a v

y por tanto deben estar en un mismo plano.
Por tanto,
dt
d
mr
dt
rd
rm
dt
ds
rmmvrL
ϑϑ 2
====
Como sabemos que
dt
dr
dt
dr
dt
dA ϑπ
ϑπ
2
2
2
2
==
y despejando
dt
dA
rdt
d
2
2
=
ϑ
; Sustituyendo arriba
dt
dA
m
dt
dA
r
mrL 2
2
2
2
→= Así que si L = cte→ cte
dt
dA
=
Como consecuencia de esta 2ª ley de Kepler: las áreas barridas en tiempos iguales son
iguales.
t1=t2 →
2
2
1
1
t
S
t
S
= → 21 SS =
Nota: Perihelio Posición de un planeta en su órbita más próxima al Sol. Afelio: Posición más
alejada. Si hablamos de órbita alrededor de la Tierra se llama apogeo y perigeo
Esto quiere decir que en los puntos próximos al perihelio la v es mayor que en el afelio ya
que recorre más arco en el mismo t.
3º ley : Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes
mayores ( distancia media ) de las elipses.
cte
r
T
r
T
r
T
==== .......3
3
2
3
3
2
2
2
3
1
2
1
8

9. Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
Periodo es el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa.
Las leyes de Kepler son validas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de
los satélites alrededor del planeta..
Ejemplos:
Calcula el periodo de revolución de Marte sabiendo que la distancia media de Marte al Sol es de
228 millones de km, la distancia media de la Tierra al Sol de 149,6 millones de km y el periodo de
revolución de la tierra de 365,26 días.
díasT
r
r
TT
r
r
TT
r
T
r
T
M
T
M
TM
T
M
TM
T
T
M
M
23,687
6,149
228
26,365;;;
33
3
3
2
3
2
3
2
=





=→





=→=→=
El periodo de traslación de un planeta es 12 veces mayor que el periodo de traslación de la Tierra
alrededor del Sol. Halla la distancia del Sol a ese planeta si la distancia Tierra –Sol es de
149.500.000 km
( )
( )
( ) kmrr
r
T
r
T
r
T
r
T
pp
p
T
p
T
T
T
p
p 83 35
2522
2
3
2
3
2
3
2
10·836,7;144·10·1495;
10·1495
1144
;
149500000
12
; =→=→=→=→=
Si el radio de la orbita circular de un planeta A es cuatro veces mayor que el de otro B¿ En qué
relación están su periodos y sus velocidades medias?
BA rr 4= ; 3
2
3
2
B
B
A
A
r
T
r
T
= → BABA
B
B
B
A
TTTT
r
T
r
T
864
64
22
·
2
3
2
=→=→=
La velocidad
T
r
t
s
v
π2
==
B
B
B
B
B
B
B
B
B
A
A
A
T
r
v
T
r
T
r
T
r
T
r
v
ρ
π
πππ
2
8
8
8
422
=
==→=
AB
B
B
B
B
B
A
vv
T
r
T
r
v
v
2
2
1
2
=→==
π
π
4. Nociones actuales sobre el sistema solar.
La idea que tenemos hoy acerca del sistema solar no coincide con mucho de lo visto hasta
ahora. Para empezar, tampoco el Sol es centro de nada. Nuestro sistema planetario no es más que
uno de los muchos que posiblemente acompañan a numerosas estrellas de la galaxia en que
habitamos, la Vía Láctea. A su vez nuestra galaxia no es más que una de los billones o trillones de
galaxias que posiblemente componen el Universo.
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10. Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
Características de nuestro sistema solar:
• Todos los planetas efectúan dos movimientos distintos: uno de traslación alrededor del Sol y
otro de rotación en torno a su propio eje.
• Todos los planetas describen orbitas planas alrededor del Sol.-
• Casi todas las órbitas planetarias están aproximadamente en el mismo plano.
• Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol ( en sentido antihorario ).
La mayoría de los satélites hacen lo mismo alrededor de los planetas
• El eje de rotación de la mayor parte de los planetas ( salvo Urano y Plutón) es prácticamente
perpendicular al plano orbital.
• La mayoría de los satélites describen órbitas en el plano ecuatorial delos planetas. ( Salvo los de
Urano y Plutón)
• Todos los planetas rotan en sentido antihorario excepto Venus, Urano y Plutón.
• La fuerza que gobierna el movimiento planetario es de tipo central y actúa en la dirección que
une planeta y Sol.
• Las órbitas planetarias son estables. Asumiendo que la masa del planeta apenas varía, su
distancia media al Sol permanece constante.
• Las orbitas de los satélites en torno a los planetas son planas y estables
• La fuerza que gobierna el movimiento de los satélites en torno a los planetas es de tipo central,
dirigida a lo largo de la línea que une satélite y planeta.
5. Ley de la gravitación universal
Newton desarrolló lo que conocemos como la ley de la gravitación universal:
“ La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza
central directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa.
10

11. Apuntes campo gravitatorio.
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ru
r
mm
GF

2
`
−= G es la cte de gravitación universal 6,67 ·10-11
Nm2
/kg2
. El valor de
esta constante es tan pequeña que a menos que una de las masas sea
muy grande la fuerza de atracción es inapreciable.
El signo negativo de la expresión vectorial indica el carácter atractivo
de la fuerza y el vector ur la dirección radial, su dirección siempre es
la recta que une las dos masas.
Son fuerzas a distancia, no necesitan un medio material para existir.
Siempre se presentan a pares. Si un cuerpo m atrae a otro m` con una fuerza F, el m` atrae al m con
una fuerza que es igual en modulo y dirección pero sentido contrario. Por ejemplo, la fuerza que la
Tierra ejerce sobre la Luna es igual que la que la Luna ejerce sobre la Tierra. En el caso de una
piedra y la Tierra, la fuerza con que la Tierra atrae a la piedra es la misma con la que la piedra atrae
a la Tierra.
La distancia r debe entenderse como la distancia entre los centros de los cuerpos.
Si G = 6,67 ·10-11
N m2
/kg2
, la MT = 6 · 1024
kg y el radio de la Tierra = 6370 km determina
a) Magnitud con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g
( )
N
r
mm
GF T
98,0
10·6370
10·6·1,0
·10·67,6
·
23
24
11
2
==−= −
b) Magnitud con la que la piedra atrae a la Tierra.
Igual pero de sentido contrario
c) El valor de la aceleración que adquiere la piedra
gsm
m
F
a ==== 2
/8,9
1,0
98,0
d) Aceleración de la Tierra
11
F