electromagnetismo

1. Electromagnetismo
Fórmula de Euler
Forma fasorial
Paso 1: Adopte una referencia coseno
Esto significa que se deberá expresar la función forzadora como un coseno, si aún no está en esa forma;
por consiguiente todas las funciones que varían con el tiempo, como la corriente presente en el circuito y
el voltaje a través de y , también tendrán una referencia coseno. Por ejemplo:
Paso 2: Exprese las variables dependientes como fasores
Cualquier función que varía con el tiempo de forma cosenoidal se expresa como
Para distinguir las cantidades instantáneas de sus contrapartes fasoriales, a la letra que denota un fasor
se le coloca una tilde encima. El voltaje del ejemplo se escribe de la forma
Si tenemos la variable desconocida en función de un fasor : la ecuación que se está
tratando de resolver contiene derivadas o integrales, se utilizan las siguientes propiedades:
Paso 3: Rescriba la ecuación diferencial/integral en forma fasorial
Si tenemos la ecuación del voltaje de un circuito y lo ponemos en forma fasorial usando las
ecuaciones anteriores:
Gradiente
El gradientede unafunción escalar es un vector cuya magnitud es la máxima derivada direccional en el punto
en consideración y cuya dirección es la dirección de la máxima derivada direccional de ese punto.
En coordenadas rectangulares queda definido como:
En coordenadas cilíndricas:
1

2. En coordenadas esféricas:
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una medida del flujo neto hacia fuera por unidad de volumen a través
de una superficie cerrada que circunda el volumen unitario.
En coordenadas rectangulares obtenemos:
En coordenadas cilíndricas es
En coordenadas esféricas
Teorema de la divergencia
El teorema de divergencia transforma la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial en una
integral de superficie del flujo del campo a través de una superficie cerrada que circunda el volumen
Rotacional
El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir
rotación alrededor de un punto.Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del
campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
La forma del rotacional en coordenadas rectangulares la podemos obtener resolviendo el siguiente
determinante:
En coordenadas cilíndricas:
En coordenadas esféricas:
2

3. Identidades vectoriales que implican el rotacional
Para dos vectores A y B cualesquiera,
1.
2. para cualquier vector
3. para cualquier función escalar
Operador Vectorial Diferencial (nabla)
Este operador está definido en coordenadas cartesianas como:
Se aplica solamente delante de una función de la cual queda así diferenciada, es un vector que
obedece a las leyes del álgebra vectorial. Nos permite realizar una notación alternativa para los tres tipos de
diferenciación vectorial que se definió anteriormente: el gradiente, la divergencia y el rotacional.
Operador Laplaciano
Una combinación que aparece con frecuencia es la divergencia del gradiente de un escalar.
Por conveniencia, se llama el laplaciano de y se denota por (el símbolo se la "nabla al
cuadrado"). Es decir,
En coordenadas cartesianas, el laplaciano de un vector es un vector cuyos componentes son iguales a los
laplacianos de sus componentes. Mediante sustitución directa, se demuestra que:
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes convierte la integral de superficie del rotacional de un vector sobre una superficie
abierta en una integral lineal del vector a lo largo del contorno que limita la superficie .
Si , se dice que el campo B es conservativo o irrotacional porque su circulación, representada por el
lado derecho de la ecuación, es cero.
Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad de la carga
3

4. Resistencia
Conductancia
Corriente de desplazamiento
Corriente de Corriente de
conducción: desplazamiento:
Siendo la densidad de corriente y la densidad de flujo eléctrico (que también se llama desplazamiento
eléctrico). A lo largo de un contorno , la integral de superficie puede convertirse mediante el
teorema de Stokes en:
La corriente de conducción se relaciona con la capacidad y el voltaje de esta forma:
Sabiendo que :
Ecuaciones de Maxwell
Referencia Forma diferencial Forma integral
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Cargas no magnéticas
(ley de Gauss para el
magnetismo)
Ley de Ampère
Ley de Gauss
La ley de Gauss es consecuencia de la ley del inverso del cuadrado de la distancia.
Es útil cuando la superficie gaussiana es tal que el módulo del campo eléctrico es constante sobre la
misma.
En su forma integral nos dice que el flujo total del vector desplazamiento a través de una superficie
cerrada es igual a la carga libre que encierra.
4

5. En su forma diferencial expresa una relación puntual entre la divergencia del vector y la densidad de
carga libre, no ligada, en el punto considerado, es decir, muestra que una fuente de las líneas del vector
son las cargas libres.
Ley de Ampère y Faraday con fasores
Recordando que la diferenciación en el dominio del tiempo equivale a multiplicar por en el dominio
fasorial , la ley de Ampère se vuelve:
Los vectores fasoriales y también están relacionados por la forma fasorial de la ley de Faraday:
Ley de Biot-Savart
Corriente filiforme
Distribución superficial de corriente
Distribución volumétrica de corriente
Tipos de dieléctricos
Dieléctricos con polarización permanente
Son los que presentan polarización de forma espontánea sin que se aplique un campo exterior. Ejemplos
de este tipo son los electretes y ferroeléctricos.
Dieléctricos lineales y no lineales
Dieléctricos no lineales son materiales cuya susceptibilidad y permitividad dependen del campo aplicado.
Los ferroeléctricos son materiales que tienen esta propiedad. Cuando y no dependen de en el punto
considerado los materiales reciben el nombre de isótopos, de los contrario se los llama anisótropos.
Dieléctricos homogéneos
En el caso de que los valores de y no dependan del punto considerado, el material es homogéneo.
Ecuaciones constitutivas de la materia
Para poder determinar los cuatro campos vectoriales fundamentales , a las ecuaciones
fundamentales del electromagnetismo del apartado anterior hay que añadir otras dos ecuaciones,
denominadas “relaciones constitutivas”de la materia, que se expresan, cuando se esta tratando con medios
distintos del vacío, por
Donde el primer término representa la contribución del campo externo, y el segundo representa la
contribución de la magnetización del material. En general,el vector magnetización es en respuesta al campo
externo . De ahí a que se exprese como:
5

6. Si la magnetización es positiva, el campo magnético se refuerza en el interior del material (como ocurre en los
paramagnetos y en los ferromagnetos, por ejemplo).
En cambio, si la magnetización es negativa, el campo magnético se debilita en el interior del material (como
ocurre en los diamagnetos). En los superconductores, la inducción magnética es nula, así que la
magnetización ha de ser siempre de la misma magnitud y dirección que el campo magnético , pero en
sentido inverso.
Con frecuencia es conveniente definir las propiedades magnéticas de un material en función de la
permeabilidad relativa :
Para un medio lineal la relación entre y se expresa por:
Para un medio lineal, homogéneo e isótropo, la relación campo eléctrico-polarizaciónse reduce a:
donde el escalar se denomina susceptividad eléctrica.
Si se introduce esta ecuación en la del desplazamiento se tiene:
Potencial debido a un material polarizado
Densidad de carga de polarización superficial
Es la densidad superficial de carga que se obtiene en la superficie de separación a través del producto
escalar de la polarización en dicha superficie por el vector normal a ella.
Densidad volumétrica de carga de polarización
Es la densidad volumétrica de carga de polarización obtenida mediante la divergencia de la polarización
dentro del volumen ocupado por el material.
Atendiendo a estas definiciones podemos expresar el potencial de la forma siguiente
Condiciones de frontera para los campos eléctrico y magnético
Medio 1 Medio
Componentes del Medio 1 Medio 2
Forma general 2dieléctrico
campo dieléctrico conductor
dieléctrico
E tangencial
D tangencial
6

7. E normal =
D normal
H tangencial
B normal
La componente tangencial de un campo es continua a través de una superficie de separación.
La componente normal del campo es discontinua a través de una superficie de separación cuando
existe una carga superficial, y que la cantidad de la discontinuidad es igual a la densidad superficial de
carga.
La componente normal de es continua a través de una superficie de separación.
La componente tangencial de es continua a través de la frontera de casi todos los medios físicos.
Campos y potenciales estáticos y dinámicos
Campo y potencial eléctrico
Electroestática Caso dinámico
Campo y potencial magnético
Magnetoestática Caso dinámico
Densidad de corriente de imanación en el volumen :
Densidad de corriente de superficie:
Ecuaciones de Laplace y Poisson
Requisitos para usar las ecuaciones de Laplace y Poisson
1. Conocemos la distribución de cargas libres en su interior (y no necesariamente en las superficies que la
limitan).
2. Conocemos ciertas condiciones que se satisfacen en las superficies que la limitan (condiciones de
frontera).
7

8. Soluciones a las ecuaciones de Laplace y Poisson
En ocasiones puede ser muy conveniente resolver la ecuación de Laplace como paso previo a la resolución de
la de Poisson, teniendo en cuenta que, según la teoría de ecuaciones diferenciales, la solución general de una
ecuación no homogénea (Poisson) es igual a la solución general de la correspondiente homogénea (Laplace)
más una solución particular de la no homogénea (Poisson).
Coordenadas cartesianas
En el caso de que las tres constantes sean nulas:
Coordenadas cilíndricas
o En el caso de que y sean nulas:
o En el caso de que :
Donde y son las funciones de Bessel.
Hay casos en los que es necesario una función periódica de . En estos casos debe ser
imaginario y la solución se modifica en 1ª y 3ª ecuación:
Donde y son conocidas como funciones modificadas de Bessel.
8

9. o Caso en el que y
o Caso en el que y
Coordenadas esféricas
Cuando la simetría es esférica la solución a la ecuación de Poisson es:
Solución de Laplace Solución particular
Una solución particular para la ecuación de Poisson es una del tipo
Condiciones de frontera
Las condiciones de frontera conforman la información necesaria para determinar las constantes de
integración que aparecen al resolver las ecuaciones de Laplace o Poisson. Pueden ser de diferentes tipos:
1. El valor del potencial en alguna de las superficies que delimitan la región del espacio a la que
aplicamos la ecuación.
2. La continuidad del potencial en alguna de las superficies que delimitan la región del espacio a la que
aplicamos la ecuación.
3. El valor de la componente normal del campo eléctrico en alguna de las superficies que
delimitan la región del espacio a la que aplicamos la ecuación.
4. Las condiciones en los límites para la componente normal del campo eléctrico en alguna de las
superficies que delimitan la región del espacio a la que aplicamos la ecuación.
5. Otras.
Energía y fuerza electrostática
Si existe campo externo, el trabajo del campo para trasladar la carga desde el infinito a una posición sin
variar su energía cinética es: . La energía electrostática es el trabajo que
deben realizar las fuerzas externas contra el campo, por eso es de signo contrario. Si no existe campo
externo, el trabajo para trasladar una carga puntual desde el infinito a es nulo, .
La energía de un sistema de cargas es:
9

10. Es el trabajo que hay que realizar para trasladar esas cargas desde regiones de potencial cero a sus
regiones respectivas.
La energía de una distribución continua de cargas es:
En un conductor toda la carga se distribuye sobre la superficie y el volumen que ocupa cada conductor
está al mismo potencial. Además la integral de a lo largo de toda su superficie es la carga .
Si se trata de conductores:
En este caso, el potencial en cada conductor se debe a las cargas en los otros conductores además de la
propia carga. El motivo es que al trasladar una carga puntual desde el hasta es nulo (si no existen
otras cargas), y según esta ecuación como el resultado daría energía infinita. Esta esta es la
principal diferencia con la energía de un sistema de cargas puntuales.
La energía en función de los vectores del campo electrostático es:
El volumen puede incluir a los conductores, ya que dentro el campo electrostático es nulo y por tanto
no contribuye a la energía.
El producto escalar es siempre positivo por tanto, la energía electrostática es positiva.
En un medio lineal, uniforme e isótropo, considerando una permitividad cuyo valor es la constante , la
ecuación constitutiva , nos permite transformar la ecuación anterior en la siguiente,
La densidad de energía electrostática viene dad por:
El trabajo de la fuerza en un desplazamiento virtual elemental está relacionado con la variación de
energía electrostática de la forma siguiente,
Esto es consecuencia de la conservación de la energía, es decir, si el campo realiza un trabajo disminuirá
la energía electrostática; al contrario, si se hace un trabajo contra el campo aumentará su energía.
Desarrollo multipolar
Las características del potencial en función de la distancia a la distribución de carga se ponen de manifiesto a
través de los momentos multipolares, que dependen de como están distribuidas las cargas en el volumen
considerado.Entonces se puede obtener el potencial en forma de serie con sus términos expresados de tal
manera que se pueda calcular la parte que corresponde a las coordenadas de posición de las cargas con
independencia de las coordenadas del punto donde se calcula el potencial.
10

11. Para distribuciones de cargas, los 3 primeros términos del potencial multipolar son:
El momento monopolar será,
El momento dipolar,
Si la carga neta del sistema es nula, el momento dipolar es independiente del sistema de referencia.
Será el término dominante del desarrollo multipolar cuando .
El momento cuadripolar,
El momento cuadripolar de una distribución no depende del origen de coordenadas que tomamos como
referencia si tanto el momento monopolar como el dipolar son nulos.
La matriz que representa el tensor es simétrica, es decir, es un tensor simétrico, ya que como puede
deducirse de las ecuaciones que lo definen,
por tanto de las nueve sólo pueden ser distintas seis.Además, la suma de los términos de la diagonal
verifica lo siguiente:
DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGA
En distribuciones lineales
y superficiales de carga,
se sustituirá por
y el
diferencial de volumen
por o
respectivamente.
11

12. Sistemas de conductores
Los coeficientes de potencial son factores que dependen únicamente de la simetría del sistema y
determinan la relación lineal existente entre las cargas y potenciales en los distintos conductores que lo
forman.
Los coeficientes de potencial se pueden interpretar como la razón del cambio producido en el
potencial del conductor al cambiar la carga del conductor , cuando las cargas en los demás conductores
se mantienen constantes.
Propiedades de los coeficientes de potencial:
1. Son positivos: (la igualdad incluye el caso de un conductor dentro de otro
2. Son simétricos:
3. Como el potencial debido a una carga sobre el propio conductor es mayor que el potencial en el
conductor debido a la carga sobre el conductor se verifica:
Los coeficientes de capacidad y de inducción tal que , representan la relación entre la carga
que se induce en el conductor , cuando el conductor está a potencial y los demás conductores están
unidos a tierra (potencial ).
Propiedades de los coeficientes de capacidad y de inducción:
1. Los coeficientes de influencia o inducción son simétricos: , .
2. Los coeficientes de influencia son negativos: , pues la carga inducida sobre un conductor unido
a tierra por otro cargado positivamente es negativa.
3. Los coeficientes de capacidad son positivos: , pues la carga de un conductor con potencial
positivo es positiva.
Régimen cuasiestático
Cuando la distribución de carga y corriente varían lentamente con el tiempo (es decir, a frecuencias muy
bajas) y el rango de interés de es pequeño en comparación con la longitud de onda, no es necesario
considerar los efectos de retardo en los campos ni en los potenciales. En este régimen cuasiestático, el
potencial escalar adopta la forma de la expresión utilizada en electrostática para una distribución continua de
carga,
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13. Y el potencial vector, adopta la forma correspondiente de magnetostática,
Autoinductancia, inducción mutua y reluctancia
Coeficiente de autoinducción:
Coeficiente de inductancia mutua:
Si se considera una corriente lentamente variable en el tiempo (de baja frecuencia) se puede asumir que
el sistema está en régimen cuasiestático, por lo que no sólo se pueden ignorar los efectos de retardo y
radiación, además, se puede asumir que el campo que crea la intensidad , en cada instante equivale al
de una corriente continua de igual intensidad, de manera que se pueden utilizar, junto con la ley de
Faraday, las leyes de la magnetostática. En esta situación se tiene una definición general de la
autoinductancia:
Y de la inductancia mutua:
Si lo que se considera es un único elemento y una variación de flujo, también existirá una fuerza
electromotriz inducida en el propio elemento:
Reluctancia:
Se puede observar que sólo depende de la geometría del circuito y de la permeabilidad del material,
desempeñando un papel similar al de la conductividad cuando lo que se expresa es la resistencia de un
circuito eléctrico.
Ley de Hopkinson:
Campos magnéticos y energía magnética de algunas distribuciones
En el interior de un solenoide:
13

14. En el interior de un toroide:
Ondas electromagnéticas
En una dimensión, una ecuación escalar de onda adopta la forma de :
Habiendo insertado el factor de tiempo, las posibles soluciones de la ecuación son:
Donde y son constantes reales.
Considerando la parte imaginaria de esta ecuación se obtiene:
Donde es la frecuencia angular y la constante de fase o número de onda.
Ondas planas
Una onda plana uniforme es una aproximación de una esférica cuando el observador se encuentra a una gran
distancia. Tiene propiedades uniformes en todos los puntos del plano tangente al frente de ondas.
El campo eléctrico tiene componentes a lo largo de las direcciones y . En una posición específica , la
dirección de está determinada en el plano (en ese valor de ) por el ángulo de inclinación ,
definido con respecto al componente de referencia de fase cero de , que en este caso es el
componente . Por lo tanto,
La permitividad compleja, , queda definida como:
La constante de propagación, , queda definida como:
Ecuación de onda homogénea para y
Cuando el medio es sin pérdidas, se acostumbra a introducir el número de onda definido por:
Por lo que se deduce que y las ecuaciones se vuelven:
14

15. Ondas planas uniformes en un medio sin pérdidas
Las propiedades de propagación están regidos por la frecuencia angular y los tres parámetros constitutivos
del medio: , y . Si el medio es “no conductor” , un dieléctrico perfecto, la onda no sufre
atenuación al viajar a través del medio y entonces se dice que éste es “sin pérdidas”. Por tanto,
Una “onda plana uniforme” se caracteriza por campos eléctricos y magnéticos que tienen
propiedadesuniformes en todos los puntos a través de un plano infinito. Si éste es el plano , entonces
y no varían con y . Como , se deduce que . Esto significa que una onda
plana no tiene componentes eléctricos ni magnéticos a lo largo de su dirección de propagación.
La impedancia intrínseca de un medio sin pérdidas se define como:
Los campos eléctrico y magnético se escriben entonces como
En el caso general, podría ser una cantidad compleja compuesta de una magnitud y un ángulo de
fase . Es decir .
Como y exhiben la misma dependencia funcional en y , se dice que están en fase
cuandola amplitud de una de ellas es máxima laamplitud de la onda también lo es. Esta propiedad deestar
en fase es una característica de las ondas quese propagan en medios sin pérdidas.
Relación general entre E y H
Polarización de una onda plana
La polarización de una onda plana uniforme describe la forma y el lugar geométrico de la punta del vector
(en el plano ortogonal a la dirección de propagación) en un punto dado del espacio en función del tiempo.
Polarización lineal
Se dice que una onda está linealmente polarizada si y están en fase (es decir, )o
fuera de fase .Esto es porque a un valor específico de , por ejemplo , la punta de
traza una línea recta en el plano .
15

16. Polarización circular
Ahora se considera el caso especial en que las magnitudes de los componentes e de son iguales
y la diferencia de fase . Por razones que pronto se volverán evidentes, la polarización
de onda se llama circular de mano izquierda cuando y circular de mano derecha cuando
.
El módulo del campo eléctrico es:
o Polarización circular de mano izquierda (LHC)
o Polarización circular de mano derecha (RHC)
Polarización elíptica
Es el caso más general, donde y , la punta de traza una elipse en el plano
, y se dice que la onda está elípticamente polarizada.
Estado de polarización
El estado de polarización, que puede ser lineal, circular o elíptico, está regido porla razón de las
magnitudes de las fases y la diferencia de fase entre los dos componentes ortogonales del vector de
campo eléctrico. Para ver el tipo de polarización de una onda plana hay que comparar y . Los valores
positivos de , correspondientes a , están asociados con rotación izquierda y los valores
negativos de , correspondientes a , están asociados con rotación derecha.
Lo 1º es calcular la diferencia de fase:
Si hay algún ángulo negativo se le suman 180º.
El ángulo auxiliar se obtiene con:
El ángulo se obtiene despejándolo de la siguiente ecuación:
Teniendo en cuenta que de las 2 soluciones hay que escoger la que tenga el mismo signo que . Para
ver las distintas soluciones se suma o se resta sin alcanzar el valor .
Por último, el ángulo se obtiene despejándolo de la siguiente ecuación:
16

17. Ondas planas en medios con pérdidas
Constante de propagación:
Constante de atenuación:
Constante de fase:
El campo se puede determinar:
donde
La distancia , llamada profundidad de penetración del medio, caracteriza qué tan bien una onda
electromagnética logra penetrar en un medio conductor.
Si el medio es “no conductor” , un dieléctrico perfecto, la onda no sufre atenuación al viajar a
través del medio y entonces se dice que éste es “sin pérdidas”. Por tanto , y
. En el otro extremo si el medio es un conductor perfecto con , y la profundidad de
penetración será .
Clasificación de ondas planas según
Cuando , el medio se conoce como dieléctrico de bajas pérdidas,y cuando , el medio se
caracteriza como buen conductor. En la práctica, el medio se considera como dieléctrico de bajas pérdidas si
, como buen conductor si y como cuasi-conductor si .
17

18. Medio de bajas Buen
Medio sin
Cualquier medio pérdidas pérdidas conductor Unidades
1
0 (Np/m)
(rad/m)
(m/s)
(m)
Potencia y energía de un campo electromagnético
El trabajo total realizado sobre una carga dependerá del tiempo que haya estado actuando el campo sobre
ésta, por lo que resulta más sencillo utilizar el trabajo por unidad de tiempo. Se define la potencia sobre una
carga como:
Si se considera un material con N cargas, todas con igual velocidad, se puede definir la potencia sobre un
diferencial de volumen como:
Y la potencia total que se pone en juego en el volumen será
Esta potencia (que es un incremento de energía de las cargas) puede disiparse en forma de calor, o
transformarse en energía mecánica o térmica. Esto supone una disminución de la energía del campo
electromagnético en el interior del volumen .
Cuando es el caso de que la energía pasa de la materia a los campos, se dice que se están generando campo
electromagnético, las corrientes (las cargas) irán en sentido opuesto al de los campos y las cargas perderán
energía cinética que pasa a los campos. La expresión de la potencia suministrada será:
Teorema de Poynting
Flujo de potencia que Potencia 18 Variación de la densidad
abandona el volumen disipada de energía del campo
electromagnético

19. Observando los términos, se encuentra que el primer término del segundo miembro de la igualdad (que
corresponde a la potencia sobre las cargas) representa la potencia disipada en el volumen considerado (como
se ha asumido que el medio es conductor, , representa las pérdidas óhmicas).
El segundo término, que es una suma de la densidad de energía del campo eléctrico y de la densidad de
energía del campo magnético, indica la variación de la densidad de energía almacenada en el campo
electromagnético.
Considerando lo que representan los términos de la derecha de la ecuación, resulta evidente que el término
de la izquierda de la igualdad, el correspondiente a la integral sobre una superficie cerrada del producto
vectorial , representa (por aplicación de la ley de conservación de la energía) el flujo de potencia que
abandona el volumen , o el flujo de energía por unidad de tiempo que sale a través de la superficie cerrada
que limita al volumen .
Vector de Poynting
La magnitud vectorial representada por el producto es conocida como el vector de
Poynting, S,e indica la energía que se propaga por unidad de tiempo y unidad de superficie (potencia por
unidad de área, o densidad de potencia en cada punto), y también la dirección y sentido en que se
propaga.
La potencia total que fluye a través de la abertura o que es interceptada por ella es:
Si además del campo eléctrico que actúa sobre las cargas existiese una fuente externa, habría que añadir un
término que se correspondiese con el trabajo por unidad de tiempo suministrado o realizado por las fuentes
externas en el volumen considerado. De manera que si además del campo existiese un campo ,
correspondiente a la presencia de una batería o generador, que está generando potencia eléctrica, el teorema
de Poynting se expresaría:
Potencia suministrada
por el generador al
volumen
El término de la izquierda de la igualdad indica la potencia total suministrada al volumen por el generador,
que será invertida en los tres términos de la derecha: la potencia que abandona la región, las pérdidas
óhmicas y el aumento de energía electromagnética del volumen .
El teorema de Poynting expresa el hecho de que la potencia suministrada a un cierto volumen puede
aumentar la energía electromagnética de ese volumen, transformarse en pérdidas y /o abandonar el
volumen. Es decir, que expresa el balance energético en el volumen y el hecho de que la energía
electromagnética se transforma en energía mecánica o de otro tipo o en calor.
Como y son funciones de tiempo, también lo es el vector de Poynting . Sin embargo, en la práctica, la
cantidad de mayor interés es la densidad de potencia promedio de la onda es el valor promedio con
respecto al tiempo de S. Para una línea de transmisión excitada por una fuente armónica (sinusoidal) en el
dominio del tiempo la potencia promedio con respecto al tiempo que fluye hacia la carga se calcula con la
ecuación
19

20. En un medio sin pérdidas la ecuación se aplica así:
En un medio con pérdidas con constantes de propagación :
Guías de onda
La constante de propagación es:
o es el número de onda de propagación sin frontera definido como
Correspondientea cada modo,especificada por valores enteros de m y n, existe una frecuencia de corte
, a la cual :
Donde es la velocidad de fase de una onda TEM en un medio sin fronteras con parámetros
constitutivos y .
Velocidad de fase
20

21. o La impedancia de onda para el modo transversal eléctrico es:
La velocidad con la que la envolvente –o, de forma equivalente, el grupo de ondas– viaja a través del
medio se llama velocidad de grupo
La relación entre la velocidad de fase, la velocidad de grupo y es:
Por encima del corte , y . Conforme , o más precisamente,
conforme , los modos TE y TM se aproximan al caso TEM, en el cual .
Guías de ondas rectangulares Onda plana
Modos TE Modos TM Modo TEM
Propiedades comunes a los modos TE y TM
Resonadores de cavidad
Frecuencia resonante
Factor de calidad
21

22. Radiación y antenas
El ángulo sólido de patrón describe el ancho equivalente del lóbulo principal del patrón de antena.
Se define como la integral de la intensidad de radiación normalizada sobre una esfera:
Para el dipolo corto (o hertziano) el vector de Poynting promedio (o densidad de potencia) es
Para el dipolo hertziano la radiación es máxima en la dirección del lado ancho ,
correspondiente al plano azimutal, y se determina mediante:
donde se utilizaron las relaciones y . Se observa que es directamente
proporcional a y a (con / medida en longitudes de onda), y se reduce con la distancia como
.
La intensidad de radiación normalizada describe el patrón direccional de cualquier antena
como la razón de l densidad de potencia y :
La directividad de una antena se define como la razón entre su intensidad de radiación máxima
normalizada, (la que por definición es igual a 1) y el valor promedio de en el espacio :
Como , donde es la densidad de potencia radiada por una antena isotrópica,
representa la razón entre la densidad de potencia máxima radiada por la antena considerada y la
densidad de potencia radiada por una antena isotrópica, ambas medidas en el mismo rango y
excitadas por la misma cantidad de potencia de entrada.
La ganancia de una antena se define como:
que es de forma similar a la expresión de la ecuación para la directividad , excepto que se refiere a la
potencia de entrada a la antena, , en lugar de a la potencia radiada .
Potencia de una antena
o La potencia radiada promedio con respecto al tiempo:
o La potencia disipada es:
22

23. Eficiencia de radiación
De la potencia total , (potencia del transmisor)suministradaa la antena, una
parte, ,seirradiahacia el espacioy el resto, , se disipa comopérdida de calor en la estructura de
la antena. La eficiencia de radiación expresa qué parte de la potencia suministrada se emite y cuál se
disipa.
Área efectiva de una antena receptora
La capacidad de una antena de capturar energía proveniente de una onda incidente de densidad de
potencia y de convertirla en una potencia interceptada para suministrarla a una
carga acoplada se caracteriza por el área efectiva :
23