1. I.2. Diferentes interpretaciones del concepto de probabilidad: clásica,
frecuentista y subjetiva. Desarrollo axiomático del concepto de
probabilidad: axiomas básicos y teoremas elementales derivados de los
axiomas.
Experimento aleatorio
Cuando tratamos de estudiar comportamientos físicos, biológicos o mecanismos sociales que generan
observaciones que no podemos predecir con certeza, nos enfrentamos a eventos que son conocidos
como eventos aleatorios o estocásticos, por ejemplo, la presión sanguínea de un hombre está dada en un
punto del tiempo y no puede ser predicha con certeza más sin embargo es posible conocer con exactitud la
carga que soporta un puente antes de que un río choque con él. En general los eventos aleatorios no pueden
ser predichos con certeza, pero la frecuencia relativa con la que ocurren en un intervalo grande de
tiempo es a menudo estable, tal estabilidad provee de una manera intuitiva la creencia de poder
predecir la ocurrencia de un evento aleatorio en futuras observaciones.
El concepto de frecuencia relativa de probabilidad es intuitivamente significativo pero no provee una
definición rigurosa de probabilidad pero para nuestros propósitos aceptamos una interpretación basada en la
frecuencia relativa como una medida significativa de la ocurrencia de un evento.
Experimento: es el proceso por el cual una observación es hecha.
Una vez realizado un experimento, se obtienen una serie de resultados, a los cuales les llamaremos
eventos.
Ejemplo
Experimento: Contar el número de bacterias presentes en un alimento procesado.
Eventos:
A.- Están presentes 110 bacterias
B.- Son más de 200 bacterias
C.- El número de bacterias oscila entre 100 y 200.
Los eventos se pueden clasificar como:
Eventos simples.- Cuando un evento puede ocurrir de una sola forma.
Eventos compuestos.- Cuando un resultado puede ocurrir de diversas formas.
Un evento compuesto, a su vez puede dividirse en varios eventos simples.
Ejemplo:
Lanzar un dado y observar sí cae un número par
Evento compuesto: {2, 4, 6}
Eventos simples: {2}, {4}, {6}
Enfoque a priori.- consiste en determinar la probabilidad de que ocurra un evento dado que no ha
sucedido.
2. Sí un suceso puede ocurrir de h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos
igualmente factibles, entonces la probabilidad de tal suceso será h/n.
Ejemplo del enfoque a priori o clásico
Sergio y Antonio participan en un torneo de tenis. El primero que gane dos juegos seguidos o un total de
tres, será el vencedor del torneo. Nota: Ambos son igual de buenos. ¿Cuál es la probabilidad de que gane
Sergio?.
S S
S A
A
A
A
S
A
A
S
S
A A
A
S
S
S
De acuerdo al árbol de probabilidades, se tienen 10 maneras diferentes de terminar el torneo y 5 posibles
formas de que gane Sergio.
1
2
P(gane Sergio) = 5 =
10
Enfoque a posteriori.- consiste en determinar la probabilidad de un evento que ya sucedió.
Sí después de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, un suceso ocurre h veces, entonces
la probabilidad del suceso es h/n. Esto también se conoce como probabilidad empírica.
Ejemplo del enfoque a posteriori o frecuentista.
Habiendo terminado el ciclo escolar de cierta universidad, contar el número de aprobados con MB, B, S,
NP y el número de reprobados con NA. Determinar la probabilidad de obtener MB, B, S, NA y NP.
Enfoque subjetivista.- consiste en determinar la probabilidad de que ocurra un evento, tomando como
base su experiencia.
Ejemplo: Consideremos a una persona que se plantea la hipótesis “el dado está balanceado” y no sabe nada
de probabilidades. Esta persona ejecuta 10 lanzamientos y obtiene puros unos, entonces el jugador infiere,
haciendo uso de su sentimiento intuitivo, que el dado está cargado, dado que sabe que ocurra tal resultado
es altamente improbable utilizando un dado normal.
¿Cuál sería su decisión si se hubieran obtenido cinco unos, dos veces el tres y una ves el 2, 4 y 6?
En ésta situación no es tan fácil tomar una decisión.
¿Cuál sería su decisión sí el resultado fuese cuatro unos, dos veces el tres y una vez el 2, 4, 5 y 6?
El decidir sí el dado estaría cargado, tomando como base los resultados anteriores, prácticamente se estaría
adivinando.
3. Sí se consideran todos los posibles eventos simples de un experimento, tendremos lo que se conoce como
espacio muestral.
Cuando los eventos simples pueden ser contados, se tiene un espacio muestral discreto y en caso contrario
se tiene un espacio muestral continuo.
Suponiendo que un experimento se realiza una sola vez, entonces se observara uno y sólo un evento, lo que
impide que se pueda obtener otro resultado más. Bajo esta situación, al realizar un experimento en el que
dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente se dice que estos eventos son mutuamente
exclusivos, lo mismo ocurre cuando dos o más eventos no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
1.- Sí una caja tiene igual número de esmeraldas, rubíes, zafiros y diamantes y se hace una extracción
a.- ¿cuál es el espacio de eventos asociado al experimento de observar que tipo de joya es la extraída?
S={Esmeraldas, rubíes, zafiros, diamantes}
b.- ¿Cuales son los posibles eventos?
A={Esmeraldas} B={Rubíes} C={Zafiros} D={Diamantes}
c.- ¿Se trata de eventos mutuamente exclusivos?
Sí porque la ocurrencia de un evento impide la ocurrencia de los demás.
d.-¿Cuál es la probabilidad de extraer un diamante?
P(Diamante)= 1/4
2.- Sí S={a, e, i, o, u}, A={e, o, u} B={o, u} C={a} diga si son mutuamente excluyentes cada una de las
siguientes parejas de eventos.
A y B No son mutuamente excluyentes
B y C Sí son mutuamente excluyentes
A y C Sí son mutuamente excluyentes
3.- Se desean seleccionar dos aspirantes a un trabajo de entre un grupo de cinco personas. A cada aspirante
se le ha entregado un número del 1 al 5. Suponer que el aspirante con el número 1 es el mejor candidato, le
sigue el 2 y así sucesivamente. Esta clasificación la desconoce el jefe de personal. Definir dos eventos tales
que:
A: El jefe de personal selecciona al mejor y a uno de los menos aptos.
B: El jefe de personal selecciona al menos a uno de los dos mejores
Los posibles eventos se muestran a continuación:
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}
A:{{1,4}, {1,5}}
B:{{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}}
4.- Una moneda balanceada es lanzada tres veces, calcular la prob. de que exactamente 2 de los 3
lanzamientos sean “águilas”
Ω={SSS, SSA, SAS, ASS, AAA, AAS, ASA, SAA}
4. A={AAS, ASA, SAA}
Al lanzar una moneda no se puede predecir con certeza la cara que quedará hacia arriba. Lo único que se
puede asegurar, sí la moneda no está cargada, es que ambas caras tienen la misma oportunidad de aparecer,
es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Sí en una urna se tienen cinco bolas rojas, cinco blancas y cinco negras y se extrae al azar una de ellas, los
eventos {rojo}, {blanco} y {negro} son igualmente probables ya que hay igual número de bolas. Entonces
podemos decir que:
La probabilidad de un evento es una medida del grado de confianza que se tiene de que dicho evento
ocurra al realizar una vez el experimento correspondiente.
Simbólicamente, sí P(A) denota la prob. del evento A, se tiene que:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Así por ejemplo, al lanzar una moneda, forzosamente se observa “Sol” o “Águila” , es decir, es imposible
que ocurra el evento vacío φ. De esto se concluye que P(φ)=0
Sí del espacio muestral Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} se formulan los eventos mutuamente exclusivos A={1, 2, 3},
B={4, 5, 6} ambos con tres elementos igualmente probables, entonces P(A)=P(B)=1/2, es decir, A y B son
igualmente probables.
Sí C={1, 2} y D={3, 4, 5, 6} son subconjuntos del espacio muestral anterior. ¿Cuál es la probabilidad de C
y D?
Solución:
Aceptando que la prob. de un evento es igual a la suma de las prob. de los eventos simples que lo
componen, se tiene que:
P(C)= 1/6+1/6=2/6=1/3
P(D)=1/6+1/6+1/6+1/6=4/6=2/3
Regla de la suma de las probabilidades: la probabilidad de un evento es igual a la suma de las
probabilidades de los eventos simples que lo componen.
5. Teoremas importantes de probabilidad
1.- Para cada suceso A
2.- P(φ)=0
3.-Sí A’ es el complemento de A
4.- Sí
A = A ∪ A ∪ A ∪ ∪
A
1 2 3
y A , A , A , ,
A son mutuamente excluyentes
5.- Sí A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces
Generalizando, sí A1, A2, A3 son sucesos cualesquiera, entonces
6.- Para dos sucesos A y B
7.- Sí un suceso debe resultar en uno de los sucesos mutuamente excluyente A1, A2, A3,…., An
A
0 ≤ P(A) ≥ 1
⇒ P(A' ) = 1− P(A)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
n
n
n
P A P A P A P A P A
⇒ = + + + !
+
!
!
P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 P A ∪ A ∪ A = P A + P A + P A − P A ∩ A − P A ∩ A − P A ∩ A + P A ∩ A ∩ A
P(A) = P(A∩ B) + P(A∩ B' )
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n P A = P A∩ A + P A∩ A +!+ P A∩ A
2 A 1 A 3 A
5 A 4 A
6. Permutaciones.-
Es un arreglo de “n” objetos. Una permutación difiere de otra si el orden de los objetos es diferente (el
orden de los objetos es importante).
En general, el número de permutaciones posibles que se pueden formar considerando “n” objetos distintos,
tomando “r” objetos a la vez, está dado por la siguiente expresión.
O bien
P = n n −1 n − 2 n − 3 n − r +1 n r !
P n n r −
!
n r
( )!
=
Ejemplo:
1.- Se extraen dos billetes de lotería de un conjunto de 20, para otorgar el primero y segundo lugar.
Encuentre el número de puntos muestrales del espacio universal.
Se trata de una permutación, porque el orden de extracción es importante.
380
20 *19*18!
P =
20 2 = =
18!
20!
−
(20 2)!
Es decir, existen 380 formas diferentes de realizar las extracciones.
2.- ¿De cuantas maneras puede, una sociedad de estudiantes, programar a tres conferencistas para tres
reuniones diferentes, sí están disponibles sólo en cualesquiera de cinco fechas posibles?
Aquí, el orden es importante, ya que, por ejemplo, deben de considerarse los compromisos del
conferencista.
60
5* 4 *3* 2!
P =
5 3 = =
2!
5!
(5 −
3)!
3.- El testigo de un accidente, en el que el causante se dio a la fuga, le dijo a la policía que el número de
placas tenía las letras RLH seguidas de tres dígitos, el primero de los cuales era un 5. Sí el testigo no puede
recordar los dos últimos dígitos, pero está seguro que todos los dígitos eran diferentes, encuentre el número
máximo de registros de automóviles que la policía tendrá que revisar.
Evidentemente el orden de las letras y números que componen el número de una placa es importante, por lo
que nos enfrentamos a una permutación.
72
9*8* 7!
9 2 = =
7!
9!
(9 −
2)!
P =
7. 4.- Se tienen tres bolas numeradas (1, 2 y 3) ¿cuál es la probabilidad de que ninguna bola caiga en la
perforación que tiene su mismo número?
3! 6
3!
P =
3 3 = =
(3 −
3)!
1
2
3
1
2
3
El número total de permutaciones del evento es 6. Por otro lado, el número de maneras posibles en que
ninguna bola caiga en la perforación que tiene su mismo número es:
2 1 1 = 2
La nomenclatura anterior indica que la primera posición puede ser ocupada por dos bolas, la segunda
posición por una bola y la tercera posición por una bola. Lo que da dos maneras posibles de acomodar las
bolas, cuidando de que ninguna bola caiga en la perforación con su mismo número.
1
3
⇒ P(A) = 2 =
6
5.- Se deben acomodar en un librero, siete libros, debiendo quedar juntos el de historia y geografía.
Calcular la probabilidad de que esto suceda.
Las formas posibles de acomodar a los siete libros son:
7! 5040
7!
P =
7 7 = =
(7 −
7)!
Debido a que siempre deben quedar juntos los libros de historia y geografía, conviene considerarlos como
un solo libro, entonces el número de maneras distintas en que pueden acomodarse 6 libros es:
6! 720
6!
P =
6 6 = =
(6 −
6)!
Los libros de historia y geografía pueden permutarse entre sí de dos maneras diferentes.
2
7
⇒ P(libro de geografía e historia deben quedar juntos) = 6!*2! = 6!*2!
=
7 * 6!
7!
Combinación
es el arreglo de “n” objetos. Una combinación difiere de otra sí el contenido del arreglo es distinto. Será la
misma combinación aún cuando el orden sea diferente (no importa el orden).
Así A B C = B C A
En una combinación se eligen “r” objetos de entre “n” objetos, sin importar el orden y se denota por
8. r n n n n nr
( 1)( 2) ( 1)
= − − − + !
( ) !( )!
( ) !
C n n r
Ejemplos
1.- De un grupo de cuatro químicos y tres físicos, encuentre el número de comités que es posible formar
conteniendo dos químicos y un físico.
Formas de elegir a los químicos:
4 2 = =
Formas de elegir a los físicos:
4*3* 2!
4!
3* 2!
3!
3 1 = =
Entonces, el número de comités formados por dos químicos y un físico, será
6*3=18
2.- Se sabe que un lote de producción de tamaño 100, contiene un 5% de defectos. Se selecciona sin
reemplazo una muestra aleatoria de 10 elementos. Determinar la probabilidad de que no haya artículos
defectuosos en la muestra.
El número de muestras posibles es:
100!
100 10 =
−
Las formas de que no haya artículos defectuosos es:
r
!
r n r
nr
−
= =
6
2!*2!
2!(4 −
2)!
C =
3
1!*2!
1!(3 −
1)!
C =
100!
10!*90!
10!(100 10)!
C =
=
* 5!
* 95! 95 10 5 0 C C
− −
=
0!(5 0)!
10!(95 10)!
0.5838
5273912160
∴ P(No defectuosos) = = = = =
9034502400
90 *89*88*87 *86
100 *99*98*97 *96
10! 90!95!5!
10!85! 0!5!100!
* 5!
95!
10!85!
100!
0!5!
10!90!
9. 3.- De cuantas maneras diferentes pueden agruparse 6 números, de un total de 44 (melate).
44 * 43* 42 * 41* 40*39 *38!
44!
44 6 = =
4.- ¿Cuántas manos diferentes de 5 naipes pueden darse con un mazo normal de 52 naipes?
No importa el orden en que se reciban las cartas, lo que nos indica que se trata de una combinación
52 *51*50* 49 * 48* 47!
52!
52 5 = =
5.- Sí 10 alumnos desean jugar baloncesto, ¿cuantos equipos diferentes pueden formarse con estos
jugadores? , uno de los muchachos se llama José. Sólo se desea contar los equipos que incluyen a José.
10 *9*8*7 * 6*5!
10!
C 252 equipos diferentes
10 5 = =
5! 5!
5!(10 −
5)!
=
El número de equipos que incluyen a José son:
2 598 960
5! 47!
5!(52 −
5)!
C =
7 059 052
6! 38!
6!(44 −
6)!
C =
126
9*8*7 * 6*5!
9 4 = =
4! 5!
9!
4!(9 −
4)!
C =
