Una visión acerca de la demostración matemática

1. ¿Qué es la demostración
matemática?
By JC

2. Ejemplos

3. Ejemplo 1
1 3 ? 5 7 ?
11 31 ?

4. 1 3 4
• La suma de dos números impares es par.
5 7 12
11 31 42

5. Conjetura
• En matemáticas, el concepto de Conjetura se
refiere a una afirmación que se supone
cierta, pero que no ha sido probada ni
refutada hasta la fecha.

6. • Si se demuestra la veracidad de una
conjetura, esta pasa a ser considerada un
teorema de pleno derecho y puede utilizarse
como tal para construir otras demostraciones
formales.

7. 1 3 4 5 7 12
• La suma de dos números impares es par.
11 31 42

8. • ¿Es necesario hacer cada caso para todas las
parejas de números impares?
• ¿Es posible hacerlo?
• ¿Cómo se puede justificar este hecho para
todos los casos?

9. • Demostración intuitiva

10. 7 11+
Suma=18

11. • Demostración general

12. • ¿Cómo se escribe un número par, en general?
• ¿Un impar?
2 1n
2n

13. 2 1n 2 1m
2 1 2 1n m 2 2 2n m
2 1n m
n m
2k

14. • La suma de dos números impares es par.
• ¿Qué se puede decir de la suma de dos
números pares?

15. Ejemplo 2
• La suma de los ángulos internos

20. • ¿Cuánto miden los ángulos internos de los
polígonos regulares?
• Afirmación: Los ángulos internos de un
polígono regular son iguales entre sí.

25. 180º
180º
4 2 180º
2
180º 90º
4

26. Suma=4 180º 360º
=4 180º 2 180º
2 180º
90º
4
=2 180º

27. 180º
180º
4 2 180º
2
180º 90º
4
Suma=4 180º 360º
=4 180º 2 180º
2 180º
90º
4
=2 180º

28. Teorema de Pitágoras
• Cut the Knot
• 99 demostraciones
• http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
• 364 demostraciones

29. • Afirmación: Los ángulos internos de un
polígono regular son iguales entre sí.
• ¿Es cierto?

31. • Afirmación: En un triángulo isósceles los
ángulos adyacentes a la base son iguales.

33. • Afirmación: En un triángulo isósceles los
ángulos adyacentes a la base son iguales.
• ¿Será cierto?
• Tarea: Demostrarlo

34. Discusión

35. Discusión
• Este tipo de demostración se debe
principalmente a los griegos (siglo VII a. C.) y
su mayor expositor es el famoso Euclides con
su libro Los Elementos.

36. Discusión
• Los griegos consideraron a las matemáticas
como un cuerpo de conocimiento absoluto en
donde los hechos matemáticos se establecían
para cada caso sin excepción.

37. Discusión
• Los griegos evitaron la situación en la que la
validez de los resultados dependía de la
experiencia, la intuición o suposiciones
implícitas de cualquier individuo.

38. Discusión
• ¿Se debe demostrar todo?
• ¡No es necesario!
• Incluso los matemáticos profesionales aceptan
hechos sin demostración.

39. Discusión
• En la antigüedad, la evidencia empírica era
suficiente para demostrar un hecho.
• Podemos utilizar la palabra Justificación para
referirnos a una comprobación con base en la
evidencia empírica.

40. Discusión
• Actualmente, la justificación sigue siendo
parte de la vida cotidiana en las pequeñas o
grandes sociedades.

41. Discusión
• Sin embargo, con el desarrollo de las
matemáticas, la justificación de algún hecho
ha evolucionado en términos de la
comprobación axiomática que ha dado lugar a
la Demostración matemática.

42. Discusión
• En matemáticas, existen diferentes tipos de
demostración:
• Por contradicción o reducción al absurdo
• Por inducción
• Ejemplos y Contra-ejemplos

43. Conjeturas
• En matemáticas, el concepto de Conjetura se
refiere a una afirmación que se supone
cierta, pero que no ha sido probada ni
refutada hasta la fecha.

44. Conjeturas
• Christian Goldbach (1690-1764) conjeturó
que:
• Todo número par mayor que 2 puede
escribirse como suma de dos números primos.
• Data: 1742
2 2 4 5 3 8 11 3 14
7 3 10

46. • Conjetura débil:
• Todo número impar mayor que 5 puede
expresarse como suma de tres números
primos.

47. Conjeturas
• Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:
• Si n es un número entero mayor que
2, entonces no existen números enteros x, y y
z, tales que se cumpla la igualdad:
• Data: 1637
n n n
x y z

48. Conjeturas
• Andrew Wiles en 1995, demostró la conjetura
de Fermat.
• La conjetura de Fermat se convirtió en
Teorema:
• Último Teorema de Fermat

49. Discusión
• ¿Es posible demostrar todo?

50. Discusión
• Han existido muchos intentos.

51. Discusión
• Los Elementos de Euclides.
• René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole,
Gottlob Frege y Giuseppe Peano

52. Discusión
• Bertrand Russel y Alfred N. Whitehead
• 1910

53. Discusión
Página 77:
Suma aritmética
de cardinales.

54. Discusión
• Se demuestra que: 1+1=2
• Vol I. Pág. 379

55. Discusión
• ¿Es posible demostrar todo?
• ¡No es posible!

56. Discusión
• En 1931, Kurt Gödel demostró que esto no era
posible.
• ¡Las matemáticas son
incompletas!

57. Discusión
• Gödel demostró que:
• En los Principia Mathematica podía existir una
proposición que al mismo tiempo fuese
verdadera e indemostrable.

58. Discusión
• Esto ocurriría con cualquier sistema
axiomático, con cualquier tipo de matemáticas
existente ahora o que fuese a existir en el
futuro.

59. Discusión
• Teorema de Gödel:
A cada clase k w-consistente y recursiva de
formulae corresponden signos de clase r
recursivos, de modo que ni v Gen r ni Neg (v
Gen r) pertenecen a Flg (k) (donde v es la
variante libre de r)

60. Discusión
• Teorema de Gödel:
Toda formulación axiomática de teoría de los
números incluye proposiciones indecidibles.

61. Discusión
• En suma: Gödel estableció que en cualquier
sistema (en cualquier ciencia, en cualquier
lengua, en cualquier mente) existen
aseveraciones que son ciertas pero que no
pueden ser comprobadas.

62. Entonces, ¿qué es demostrar?
Fin...