1. FUNCIÓN: DOMINIO Y RANGO
¿Qué es una función?
Cada vez que nos referimos a un fenómeno físico, observaremos que éste fenómeno tiene relación con
otros eventos previos o posteriores. Por ejemplo si miramos al firmamento y observamos muchas
nubes “sobre algo cargados (color gris oscuro)” , pensaremos que muy probablemente lloverá.
La pregunta nos viene a colación ¿Porqué tenemos que pensar así?, ¿Qué elementos de juicio nos
llevan a sacar dicha conclusión? y muy probablemente diremos “la experiencia anterior”.
Si nos vamos a un contexto más cercano a la vida del hombre: el hombre cuando es niño aprende a
manejar bicicleta y aún cuando al principio su principal problema es mantenerse en equilibrio, luego
irá adquiriendo destreza para dominar el uso y tomar cada vez mayor velocidad. El gráfico que se
muestra “puede expresar” en el eje X , el tiempo en segundos y el eje Y la aceleración adquirida.
y
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
x
-2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
-1.0
Así, podríamos detallar segundo a segundo los cambios producidos tanto en su aceleración y
desplazamiento y en ella encontraremos necesariamente una “relación de dependencia”.
Definición de Función
Una función f , es una relación de dependencia, que se asigna a cada elemento “x” de un conjunto de
partida A (llamado Dominio) a otro elemento “ f (x) ” de otro conjunto de llegada B (llamado Rango).
Representación de una función: f : x  f ( x)
En donde : x , es la variable independiente y f(x) = y en la variable dependiente.
Otras forma de representar una función:
• En forma Verbal: mediante una descripción textual.
P(t )  {peso del hombre a lo largo de su vida}, donde t es la variable tiempo en años.
• En forma Algebraica: por medio de una fórmula.
d2
A(d )  el área de un cuadrado está en función de la longitud de la diagonal en metros.
2
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2. • En forma Visual: mediante un gráfico.
En el gráfico anterior tenemos una clara representación.
• En forma Numérica: mediante una tabla de valores de doble entrada.
Podemos representar la producción versus la ganancia:
Producción (und) 100 200 300 400
Ganancia ( $ ) 500 1000 1500 2000
Dominio y rango:
Dada la gráfica de una función , podemos determinar el Dominio (todos los valore posibles de x ) y el
Rango ( todos los valores cuyo resultado procede de la relación de dependencia), como:
Dominio : Proyección sobre el eje X.
Rango : Proyección sobre el eje Y.
Ejemplo: Determinar el Dominio y Rango para la gráfica de la siguiente función:
y
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
x
-1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
-1.0
Observamos que.
La Proyección de la función (segmento azul) sobre el eje X , está dado por el
segmento verde, por tanto: Dominio de f = [ 1 , 6 ].
La Proyección de la función (segmento azul) sobre el eje Y , está dado por el
segmento rojo, por tanto: Rango de f = [ 2 , 7 ].
Clases de funciones:
La representación algebraica de algunas de las funciones se dan como:
 Función lineal : f ( x)  2 x  4
 Función cuadrática: g ( x)  x  3x  1
2
 Función cúbica: h( x )  x 3  1
x 1
 Función racional: p ( x) 
x 1
 Función exponencial: e( x)  4 2 x 2
 Función logarítmica: j ( x)  log( x  1)
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3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: f g
Considerando la existencia de dos funciones tales como f y g , es posible “combinarlas” y encontrar
una nueva función. Dicho de otra manera “hay funciones” que se pueden expresar como “combinación
de dos funciones”.
Por ejemplo, sea h( x )  x 2  1 , h(x) se puede expresar como una combinación de dos funciones :
una “externa” f ( x)  x y otra función “interna” g( x )  x 2  1 . ¿Es posible combinarlas? para que
expresemos h(x) . Precisamente de eso se trata, la composición de funciones.
Definición:
Dadas dos funciones : f(x) y g(x) , se define la Composición de funciones como:  f  g   f ( g( x))
Por lo tanto: el Dominio de  f  g  es el conjunto de todas las x en el de g tales que g(x) está en el
dominio de f. También podemos decir que  f  g (x ) está definida siempre que tanto g(x) como
f(g(x)) estén bien definidas.
Ejemplo: Sean f ( x)  x 2 g( x )  x  3
a) Determine las funciones  f  g  y g  f 
b) Calcular  f  g (3) y g  f (4)
Solución:
a) Para hallar  f  g  nos guiamos de la definición, por lo cual:  f  g ( x )  ( x  3)
2
Para hallar  g  f  nos guiamos de la definición, por lo cual:  g  f ( x )  x  3
2
b) Determinamos el valor asignado:  f  g ( 3)  ( 3  3)  0 y  g  f (4)  4 2  3  13
2
1
FUNCIÓN INVERSA: f
Para garantizar al existencia de la inversa de una función , antes debemos entender ¿Qué es una
función uno a uno?. Podemos reconocer que una función es uno a uno, sólo si, cada elemento del
Dominio tiene uno y solo un elemento en el Rango, “es decir no lo comparte”.
Ahora, si nos acercamos a la formalidad, podemos decir que:
Una función con Dominio A se conoce como uno a uno, si no hay dos elementos de A que tengan la
misma imagen, es decir: f ( x1 )  f ( x2 ) siempre que x1  x2
Ahora si podemos definir la función inversa.
Definición:
Sea f una función uno a uno con Dominio A y Rango B. Entonces la función Inversa f 1 que tiene
por dominio B y rango a A , está definido por: f 1 ( y )  x  f ( x )  y para cualquier y en B.
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4. Proceso para determinar la función inversa
1.- Reemplace f(x) por y.
2.- Despejar la variable “x” , utilizando los métodos algebraicos permitidos.
3.- Cambio de variable x por y e y por x.
4.- La función determinada será la inversa de f.
Ejemplo: Determine la función inversa de: f ( x )  4 x  1
Solución:
y  4 x  1 Cambiamos f(x) por y .
y  1  4 x despejamos la variable “x”
y1
x luego de despejar “x”
4
x1
 y cambio de variable.
4
x1
 f (1) Así obtenemos la función inversa de f(x)
x
4
Podemos verificar que nuestro análisis ha sido correcto. Grafiquemos las dos funciones: f y f 1 por lo
cual obtendremos el siguiente gráfico:
y = 4x-1 y
y = (x+1)/4
y = x 5
4
3
2
1
x
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
Observación:
Las gráficas de las funciones : : f y f 1 son simétricas a la recta identidad : f ( x )  x , por lo cual
nuestro resultado es correcto.
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