LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Limites y
continuidad
UNIDAD: MATEMÁTICAS
APLICADA
JOYNER CORREA 24399168

2. Sea f una función que está definida
en un intervalo abierto que contiene
al punto a, excepto posiblemente en
el mismo punto a. Diremos que el
límite de f(x) cuando x tiende a
a es el número L
Este número L puede o no
existir. pero si existe, éste
es único; es decir, toda
función tiene, en un punto
dado, a lo más un limite.
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿

3. Cuando x está cerca de -1, x
+ 3 está cerca de -1 + 3 = 2.
Luego
Lím (x+3) = 2
x→-1
Solución Solución
La función f coincide con la función lineal
g(x) =
𝑥
2
+ 1 en todo R, excepto en x = 4
Luego,
Lím f(x) = Lím g(x) = Lím (
𝑥
2
+ 1)
x→4 x→4
= 4 + 1 = 2+1
2
1. Hallar Lím (x+3)
x→-1

4. Sea la función constante f(x) = c, ∀
x € R. Probar que:
Lim f(x) = Lim e= e
X→a x→a
El límite de una función constante,
cuando x tiende a cualquier valor a,
es la misma constante.
Solución
Como f(x) = c, ∀ x € R en particular,
para los x próximos a a también
tendremos que f(x)= c.
lim
𝑋→𝑎
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑒 = 𝑒

5. Sea la función identidad: I(x) = x
, V x € R. Probar que:
Lim I(x) = Lim x= a
x→a x→a
Es decir, el limite de la función
identidad J(x) x, cuando x tiende
a a, es la misma a.
Solución
Si x se aproxima a a,
obviamente I(x) = x también se
aproxima a a
lim
𝑥→𝑎
𝑙 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑥

6. Definición
Sea f una función definida
en un intervalo abierto de la
forma (b, a). Diremos que
el límite de f(x) cuando x
tiende ha a por la izquierda
es L y escribiremos
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝐿
si cuando x está cerca de a,
pero a la izquierda de a, ({x)
está
cerca de L.
Sea f una función definida
en un intervalo abierto de la
forma
(a , b). Diremos que el límite
de f(x) cuando x tiende ha a
por
la derecha es L, y
escribiremos
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
si cuando x está cerca de
a, pero a la derecha de
a, f(x) está
cerca de L.

7. Solución
Si f(x)=
𝑥
𝑥
, hallar
a. Lim x
b. X->0− 𝑥
𝑥
a. Cuando x está a la
izquierda de 0, es decir
cuando x < 0, se tiene
𝑥 = -x y f(x)=
𝑥
𝑥
=
𝑥
−𝑥
= -1
En particular, para los x cercanas a
0 y a
su izquierda , tenemos que f(x)=
1.Luego
lim
𝑥→0−
𝑥
𝑥
= −1
b. Cuando x esta a la derecha
de 0, es decir cuando x > 0, se
tiene
b. Cuando x esta a la derecha de 0, es
decir cuando x > O, se tiene.
𝑥 = x y 𝑓(𝑥)=
𝑥
𝑥
= 1
En particular, para los x cercanos a 0 y a
su derecha, tenemos que f(x) = l.
Luego. lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
= 1

8. Teorema
Es evidente que si el límite de una función
es el número L, entonces ambos
límites unilaterales también serán iguales
a L. Recíprocamente, si ambos límites son
iguales a un mismo número L, entonces el
límite de la función también es L. Este
resultado es muy importante y lo
resumimos en el siguiente teorema.
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑦 lim
𝑥→𝑎+
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿

9. Leyes de los limites
Un resultado fundamental en la teoría de los
límites nos dice que el proceso de tornar
limite s respeta las operaciones elementales
del álgebra. Es decir, el límite de una suma,
diferencia, producto, cociente o raíz de
funciones es igual a la suma, diferencia,
producto, cociente o raíz de los límites.
Estos resultados son conocidos con los
nombres de la ley de la suma, ley de la
diferencia , ley del producto, ley del cociente
y ley de la raíz, respectivamente.
𝑠𝑖 lim
𝑧→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑦 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥 = 𝐺 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
Teorema

10. Ley de suma o resta
Leyes de los limites
1..lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿 ± 𝐺
Ley de producto
2. lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿𝐺
Ley de cocientes
3. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑔)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝐺
, 𝑠𝑖 𝐺 ≠

11. Ley de Raíz enésima
4.lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =
𝑛
𝐿
Ley de la constante
lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑙 𝑥 = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑙
Ley de la potencia
6. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛= [lim
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 ]𝒏 = 𝑳𝒏

12. FORMA INDETERMINADA
𝟎
𝟎
Supongamos lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0 𝑦 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0, y buscamos lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Aquí la ley del cociente no es aplicable. La sustición
directa nos lleva a
0
0
.
Hallar lim
𝑥→4
𝑥2−16
𝑥−4
Solución
Este es un limite indeterminado de
la forma
0
0
. Observemos que al
numerador lo podemos factor
izarlo que nos permitirá simplificar
el cociente. En efecto:
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
=
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)
𝑥 − 4
= 𝑥 + 4, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 4
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
(𝑥

13. Continuidad
DEFINICIÓN
Una función f en un punto a si
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Esta definición es equivalente
al cumplimiento de las 3
condiciones siguientes:
1. f está definida en a (∃𝒇(𝒂))
2. ∃ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂)
Diremos que f es discontinua en el punto a o que a es un punto
de discontinuidad de f si f no es continua en a. Esto equivale a
decir que al menos una de estas tres condicione s exigidas en
la definición no se cumple . Esto es:

14. Bibliografía
Saenz. J (2005) Cálculo
Diferencial para Ciencias e
Ingeniería .
Segunda edición.
Ed. Inversora Hipotenusa.
Barquisimeto, Venezuela.