clases de Matematicas y ejercicios deberes

1. UniversidadTécnica “Luis Vargas Torres”
Nombres: Alvarez Mera Joel Santiago
Curso de Nivelación por Carrera
Modulo por Materia de:
Matemática
Trabajo:
Clases Dadas en el Aula
Paralelo: P8 - 5 101 M02
Profesor: Cristóbal Bone Obando

2. Clase 1 – 11 Junio/2013
Lógicamatemática
Es un enunciado, oración; interpretación lógica.
Definición de proporciones
Es una unidad semántica que se la puede determinar cómo falso o verdadero.
Proporciones: pueden ser simples y compuestas
Ejemplo:
- 5 es un número primo
- Joel viene a la Universidad
- Joel viene a la Universidad a estudiar y aprender
Las no proporciones
~ ¿Cuál es la edad de Joel?
~ ¡Que buen día!
~ ¡Apúrate!
~ ¿Cómo estás?
Definición de valor de verdad
El valor de verdad es una proporción en la calidad de veracidad, puede ser verdadero o
falso.
X + 5= 9
2 + 5= 7 F- 0
4 + 5= 9 v – 1
Tabla de verdad
La tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que se
podrá tomar de una proporción.
Que es un enunciado
Dentro de nuestra lógica natural es una expresión lingüística que nos ayuda a interpretar
un pensamiento completo.
Tipos de enunciados:
° Interrogativo
¿Qué clase de mascota te gusta?

3. ° Interpretativo
¡Cierra la puerta!
° Declarativo
Joel estudia en la Universidad Técnica “Luis Vargas Torres”
° Exclamativo
¡Auxilio, auxilio, incendio!
Que estudia la lógica
1 Verifica que un argumento sea correcto
2 Argumento que está formado por una premisa o una conclusión
3 Algo que queremos verificar que la conclusión es derivable de las premisas
“Relación de consecuencias” (Es decir relación de consecuencias entre las premisas y
las consecuencias).
Lenguaje formal de las proposiciones
Lenguaje proporcional
Lenguaje de enunciados
Lenguaje de conectores
Trabaja a los enunciados
declarativos simples o
atómicos como un todo
indivisible.
Conectores
¬, ^, v
P, q, r, s
Lenguaje aedicados
Lenguaje de primer orden
Lenguaje cuantificacional
Realiza un análisis más
detallado de las
preposiciones
¬, ^, v
Cuantificadores de sujeto y
predicado
Negación de proposiciones:
¬q Si tengo una proporción - Tengo un billete de $ 5 dólares.
La negación es que no tengo un billete de $ 5 dólares.
P es V q
¬p negación ¬q
No quiero hacer el viaje
Quiero hacer el viaje negación
Conjunción
Sea A y B proposiciones, la conjunción entre A y B representada simbólicamente por
A ^ B, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla
de verdad.

4. A(2)2
Proposición
A – p:Tengo buenas notas
B – q:Gano una beca
^i - pero
Tengo buenas notas i gano la beca
Proposición
A: Trabajo mucho
B: Recibo un sueldo
Trabajo mucho pero recibo un sueldo
A: Soy un estudiante
B: Universitario
Soy estudiante pero Universitario
Disyunción
Sea A y B proposiciones, la disyunción A y B representada simbólicamente A v Bes una
nueva proposición, cuyo valor esta verdadero es dado por la siguiente tabla de verdad:
Se la lee como o
A B A v B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Disyunción de proposiciones
A: Tengo un libro de trigonometría
B: Tengo un libro de algebra
Tengo un libro de trigonometría o un algebra
0
1
0
1
A B A ^B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

5. Disyunción exclusiva
Sea A y B proposiciones, la disyunción exclusiva representada simbólicamente por;
A v B, es una nueva proposición dada por la siguiente tabla de verdad.,
Se la representa como “o” - o solo - o solamente
Ejemplo:
A: Estoy en Quito
B: Estoy en Guayaquil
Estoy en Quito o en Guayaquil
A: Estoy en casa
B: Estoy en la Universidad
Estoy en casa o en la Universidad
Disyunción condicional
Sea A y B proposiciones, la condicional entre A y B representada simbólicamente
A Bcuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla:
A B A B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
La proposición resultante sea falsa solamente, cuando el valor de verdad de antecedente
sea verdadero y el valor de verdad del cociente sea falso.
Se representa solo si
A B A v B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

6. Clase 2 – 12 Junio/2013
Ejemplo:
Si se tiene las proposiciones A y B
A:Joel gana el concurso
B: Joel dona $ 10.000 dólares
~ Joel dona $ 10.000 dólares solo si gana el concurso
~ Si Joel gana el concurso entonces dona los $ 10.000 dólares
~ Joel dona los $ 10.000 dólares puesto si gana el concurso
~ Joel dona los $ 10.000 dólares debido a que gana el concurso
~ Joel dona los $ 10.000 dólares siempre que gane el concurso
~ Cuando gane el concurso dona los $ 10.000 dólares Joel
~ Joel dona los $ 10.000 porque gano el concurso
(Si A entonces B) (A solo si B) (A solamente si B)
(B si A) (si A - B) (B con la condición de que A)
(B porque A) (los A son B)
(A entonces B)
A B
B A
Variaciones de la condicional
a) Si es un automóvil entonces es un medio de transporte
Si es un medio de transporte entonces es un automóvil
a) Si Joel estudia
b) Aprueba la materia de matemática
Si Joel aprueba la materia entonces estudio
12 ÷6= 2
6 ÷6= 1
6 ÷3=2
Si un número es divisible para 6 entonces es divisible para 3
Si un número es divisible para 3 entonces es divisible para 6
Si un número no es divisible para 6 entonces no es divisible para 3
Reciproca A B
¬A¬B
Contrarecíproca A B
¬B¬B

7. Un hacendado tiene un cierto número de reses de tal forma que si las agrupa de 2 en 2,
le sobra 1, si las agrupa de 3 en 3 le sobra 1, pero si las agrupa de 4 en 4 no le sobra.
¿Entonces podría indicar usted el número de reses que tiene el hacendado?
2˖2= (- 1) 5
3˖3= (- 3) 7 Entero positivo
4˖4= (0) 8
Esta mal el problema
Condición necesaria y suficiente
Si n es divisible para 16, m es divisible para 2
Parafraseando
M es divisible para 16 es condición suficiente para n sea divisible para 2
Identificaciones de condiciones necesarias y suficiente
Si consideramos que la siguiente proposición es verdadera, podemos afirmar que la
condición es suficiente y necesaria al mismo tiempo.
Bicondicional
Sea A y B proposiciones, la bicondicional A y B representada simbólicamente
A B es una nueva proposición.
A B A B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
La proposición A será verdadera cuando los valores de verdad de ambas sean
verdaderas.
Solo si y solo si A solo si B si A entonces B
Si A solamente B A implica B A si solamente B
A si solamente si B A cuando y solo cuando B

8. Clase 3 – 13 Junio/2013
Tabla de verdad de una forma proporcional
Dada la siguiente forma proporcional:
A [(p ^ q) (r v ¬q)] ^r debido a la presencia de las 3 variables proporcionales p,q,r
existieron 8 filas.
P – q 22
=2×2×=4
P – q – r 23
=2×2×2=8
P – q – r – s 24
=4×4×4=16
P – q – r –s –t 25
=8×8×8=32
Tabla
p q r p ^ q ¬p r v ¬p [(p ^ q)(r v¬q)] A
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 1 1 1
p (q p) p,q 22
= 2×2=4
p q q p p (q p)
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 1
Definición de tautología, contradicción, contingencia:
Si se tiene solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad
de las variables proporcionales, se dice que es una tautología.
Si se tiene solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las
variables proporcionales, se dice que es una contradicción.
Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de
verdad de las variables proporcionales, se dice que es una contingencia.

9. Clase 4 – 14 Junio/2013
Propiedades de los operadores lógicos
Objetivos
1. Emplear propiedades de los operadores para modificar estructuras lógicas.
2. Dada una propiedad de los operadores lógicos, demostrarla empleando tabla de
verdad y otras propiedades.
Conjunción Disyunción
(p ^ q) = (q ^ p) Conmutativa (p v q) = (q v p)
[(p ^ q) ^r] = [p ^ (q ^r)]
(p ^ p) = p
(p ^ 1) = p
(p ^ 0) = p
Asociativa
Idepotencia
Identidad
Absorción
[(p v q) v r] = [p v (q v r )]
(p v p) = p
(p v 0) = p
(p v 1) = 1
Aplicación de propiedades de los operadores lógicos
Considere las siguientes proposiciones simples:
A:El clima es propicio
B:La tierra es fértil
C: La flor crecerá
Se quiere negar la proposición completa
Solución:
(A ^ B) C
Negación
¬ [(A ^ B) ] =
1. Ley de implicación
¬ [¬(A ^ B) C]
2. Ley de Morgan
¬[¬(A ^ B)] ^ ¬ C
3. Ley de la doble negación
(A ^ B) ^ ¬A
4. Ley conmutativa de la conjunción
B ^ ¬ C ^ A
Por lo tanto, la negación de la proposición podrá expresarse con las siguientes frases
equivalentes.
A:El clima es propicio
B: Y la tierra es fértil pero la flor no crecerá

10. Leyes de los operadores Negación, Condicional y Bicondicional
¬0 = 1
¬1 =0
Negación
¬(¬p) = p Doble negación o Involutiva
P v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)
P ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)
Distributivas
¬ (p ^ q) = (¬p v ¬q)
¬ (p v q) = (¬p ^ ¬q)
De Morgan
(p v ¬p) = 1 Tercero excluido
(p ^ ¬p) = 0 Contradicción
(p q) = (¬q ¬p) Contrapositiva o Contrareciproca
(p q) = (¬p v q)
(¬p q) = (p v q)
¬ (p ¬q) = (p ^ q)
Implicación
[(p r) ^ (q r)] = [(p v q) r]
[(p q) ^ (p r)] = [p (q ^ r)]
[(p ^ q) r] = [p (q r)] Exportación
(p q) = [(p ^ ¬p) 0] Reducción al absurdo
(p q) = [(p q) ^ (q p)]
(p q) = (q p)
Equivalencia

11. Conjunto
Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una
característica o propiedad común bien definida.
Se representa:
Letras del alfabeto
A = {a, b, c, d}
A= a, b
c, d
Para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x -- A.
Para decir que x no está en A, escribiremos x – A.
Conjuntovacío
Ejemplo:
A= {x/x es un numero par e impar a la vez}
Vacío 0 0
Conjunto referencial o universo
A = Alumnos del A = 28
Paralelo P: 8
Cuantificadores
Expresión indistinta o abierta
5˖3 = 8 ecuación
2 < 6 = inecuación
Cuantificador universal
Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada” y se simboliza
como la V
Cuantificador existencial
Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta
que uno” se lo simboliza como
Ejemplo:
V x. Todo numero x se cumple que 2x+3x = 5x
x. Existe al menos un numero x, para el cual 2x + 2 =4

12. Subconjunto:
El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A están contenidos en B.
simbólicamente se representa por: (A C B) Vx [(x € A) (x € B)]
Si A es subconjunto de B (A C B) pero B no es subconjunto de A (B C A), se dice que A
es subconjunto propio de B, lo cual se representa:
(A C B) [(A C B) ^¬ (A =B)]
Conjunto potencia
Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los
subconjuntos posibles de A: el símbolo que se utiliza para este conjunto es:
P(A) = {B/B C A}
2N
22
= 4
2 × 2 = 4
Ejemplo:
Si A = {*, +. A}, entonces P(A) = [0, (*), (+), (a), (*, +), (*, a), (+, a), (+, a) A] =
{*, +} C A
{*, +} € P (A)
0 € P (A)
Igualdad entre conjuntos
Dado conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es decir,
ambos conjuntos se contienen mutuamente, simbólicamente se representa:
(A = B) [(A C B) ^ (B C A)]
Conjuntos de disjuntos e intersecantes
Los conjuntos A y B son disjuntos si y solo si A y B no tienen elementos en común. Los
conjuntos A y B son intersecantes si y solo si A y B tienen al menos un elemento
común.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 7; 4} B = {7, 8, 9, 10}
V Re
A B
Unión entre conjunto
La unión entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A B y se define como:
A B = {x/(x € A) v (x € B)}
Re
A B

13. Intersección entre conjuntos
La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se detona por A B y se
define como:
A B = {x/(x € A) ^ (x € B)}
Re
A B
2, 4 8 10, 12
6 14
Diferencia entre conjuntos
La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos
que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por:
A – B = {x/(x € A) ^¬(x € B)}
Complementación de conjunto
La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos
del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por Ac
y se define como:
Ac
= {x/(x € Re) ^¬ (x € A)}
Ejemplo:
A1
Ac
= 1, 2, 3, 4, 5,
A = 1, 2, 3, 4
Ac
= 5, 6, 7, 8, 9, 10
Re = Números del 1 al 10
Leyes de las operaciones fundamentales Unión e
Intersección
Unión Intersección
A B = B A Conmutativa A B = B A
(A B) C = A (B C) Asociativa (A B) C = A (B C)
A A = A Idempotencia A A = A
A O = A Identidad A Re = A
A Re = Re Absorción A O = O

14. Oc
= Re
(Re)c
= O
Complementación
Doble complementación o Involutiva
(Ac
)c
= A Doble complementación o Involutiva
A (B C ) = (A B) (A C)
A (B C ) = (A B) (A C)
Distributivas
(A B)C
= AC
BC
(A B)C
= AC
BC
De Morgan
A AC
= Re
A AC
= O
Operaciones entre conjuntos
Re
D F
250 250 350 600 500
- 250 -250
150 350 250

15. Producto cartesiano
Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre A y B, al
conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto
A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo representaremos como: A x B.
A x B = {(x, y)/(x ∈A)∧(y ∈B)}
La representación gráfica de A x B constituye el plano cartesiano, en el cualtanto los
elementos de A como los de B se alinean en dos segmentos de recta.
Un segmento representará al conjunto A y el otro al conjunto B.
x ∈A
y ∈B
(x, y) ∈A x B
Ejemplo
A = {m, n}
B = {1, 2, 3}
C = {⊕, ♣}
A x B x C = {(m,1,⊕), (m,1,♣), (m,2,⊕), (m,2,♣), (m,3,⊕), (m,3,♣),
(n,1,⊕), (n,1,♣), (n,2,⊕), (n,2,♣), (n,3,⊕), (n,3,♣)}
En este ejemplo la cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B x C) = 12.
Cardinalidad del Producto Cartesiano
Si A, B, C son conjuntos tales que: N(A) = 2, N(B) = 3, N(C) = 4 y
N(B∩C) = 2, determine N [A x (B∪C)].
Solución:
En base a la definición de N(A x B), tenemos que:
N [A x (B∪C)] = N(A) N(B∪C)
Por otra parte:
N (B∪C) = N (B) + N(C) − N (B∩C) = 3 + 4 − 2 = 5
Luego:
N [A x (B∪C)] = (2) (5) =10
Propiedades del producto Cartesiano
(Relación)

16. Relación
Una relación establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no
vacíos A y B. Usualmente, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al
conjunto B, de llegada. Simbólicamente, la relación se representa por R y se cumple que:
R ⊆A x B
Es decir, todos los subconjuntos de A x B constituyen una relación.
La cantidad máxima de relaciones que se pueden obtener a partir de
dos conjuntos no vacíos A y B es: 2N(A)N(B).
Dominio de una Relación
Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del
conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación. Se
representa simbólicamente por: dom R.
Rango de una Relación)
Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del
conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la
relación. Se representa simbólicamente por: rg R.
Ejemplo:
Dominio y rango de una relación
Representación sagital de una Relación

17. Función
Una relación de A en B es una función si y sólo si el dominio de la relación es todo el
conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento
en el rango. Simbólicamente, esta definición se representa por:
En la expresión y = f(x):
• x se conoce como la variable independiente.
• y se conoce como la variable dependiente.
Ejemplo:

18. Relación de Conjuntos Numéricos
Representación Decimal
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Representar un número racional en forma fraccionaria o periódica.
* Dada una representación decimal, determinar la fracción que le corresponde.
* Dado un número racional, representarlo en la recta real.
* Reconocer la diferencia entre la representación decimal de un número racional y uno
irracional.
Ejemplo: 1
Ejemplo: 2

19. Representación decimal de números irracionales
√2 = 1.414213562373095...
Este número puede representar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
isósceles cuyos catetos tienen medida igual a 1.
√3 = 1.732050807568877...
Este número puede representar la longitud de la altura de un triángulo equilátero cuyos
lados miden 2 unidades.
√2 3 = 1.259921049894873...
Este número puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual
a 2 unidades cúbicas.

20. π = 3.141592653589793...
Este número resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de
su diámetro.
Operaciones Binarias
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Dado un conjunto y una operación definida sobre él, reconocer si es o no binaria,
justificando su respuesta.
* Dada una operación binaria, identificar qué propiedades cumple.
Algunas expresiones, tales como:
2 + 4 = 6; 4 − 6 = − 2; 5 x 7 = 35; 20 ÷ 5 = 4
Definición de Operación Binaria
Sea un conjunto S = {a, b, c, ...}, la operación * es una operación binaria en S, si y sólo si
a cada par ordenado (a, b) ∈S x S, donde a ∈Sy b ∈S, le corresponde un elemento único
a*b ∈S, donde a*b se lee “a operación b”.
La operación binaria puede ser considerada como una función
*: S x S → S
Propiedades de las operaciones Binarias
La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operación binaria debe
pertenecer al conjunto que se toma como referencia.
La propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al
realizar la operación.
La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los
elementos de la operación.

21. La propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operación entre
cualquier elemento del referencial y este elemento, oviceversa, no lo modifica al primero.
La propiedad de poseer elemento inversoindica que al realizar la
operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o
viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad sólo deberá probarse en caso
de existir elemento neutro.
Definición de Divisores y Múltiplos de un número entero
Si a, b, c ∈ Z cumplen la relación c = a . b, entonces decimos que a y b son factores o
divisores de c. En tal caso, c es múltiplo de a y b.
Ejemplo:
−20 es múltiplo de 10 porque −20 = (−2)(10).
2 es factor o divisor de −20 porque −20 = (2)(−10).
5 y 7 son factores o divisores de 35, porque 35 es múltiplo de 5 y 7.
Definición de Número Primo
Un número entero positivo p >1 es primo, si y sólo si sus únicos factores son
exactamente 1 y p.
Definición de Número Compuesto
Un número entero positivo n >1 es compuesto si y sólo si no es primo.
Definición de Teorema fundamental de la Aritmética
Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como el producto de
números primos.
Definición de Máximo Común Divisor (M.C.D.)
El M.C.D. de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que es divisor
de cada uno de los números del conjunto.
Definición de Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)
El m.c.m. de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que es el
múltiplo de cada uno de los números dados.
Definición de Expresión algebraica
Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de lasdiferentes operaciones
fundamentales. Los términos de la expresión algebraica corresponden a cada una de sus
partes, las cuales están separadas entre sí por los signos + o −.
Ejemplo:
15 a2b3c5
100m7n3p + 2m6n4p
−3x2y4z3

22. Propiedades de las fracciones
Anteriormente se definió que una fracción de la forma ab es un número racional, en el
cual a es el numerador y b es el denominador de la fracción. Tanto a como b pertenecen
al conjunto de los números enteros, con la restricción de que b no puede ser cero. Para
manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedades:
Ejemplo de Operaciones con Fracciones
1.
2.
3.

23. 4.
5.
Propiedades de los exponentes
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en que se repite un
mismo factor un cierto número de veces.
an
= a . a . a . . . a
n veces
an
: es la potencia
a : es la base
n : es el exponente
Si el exponente es fraccionario tenemos una expresión algebraica con radicales. Esto es
43/2
= √43 = √64 = 8. En general, an/m
= m
√an
.
Para simplificar expresiones que poseen exponentes, se deben respetar las siguientes
leyes:

24. Ejemplo:
1.
2.
3.

25. 4.
5.
Productos Notables
Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse
directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar
del álgebra elemental.
Los principales productos notables son:

26. Ejemplo:

27. Factorización
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto más simple
de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse es poner en evidencia
un factor común, si es que lo hay, y luego analizar si el factor no común corresponde al
desarrollo de uno o más de los productos notables.
Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas
como expresiones de factorización si las leemos de derecha a izquierda.
A continuación se ilustra la operatividad de los casos de factorización:

28. En este caso se deben buscar dos números reales cuya suma sea − 66 y cuya
multiplicación sea 1080. Descomponiendo 1080 en factores más elementales se
obtienen los números −30 y −36.
En este caso se deben buscar dos números reales cuya suma algebraica sea −13 y cuya
multiplicación sea −90. Descomponiendo −90 en factores más elementales se obtienen
los números −18 y 5.
Ejemplo:
1.

29. 2.
3.

30. Racionalización
Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denominador
es irracional en una fracción equivalente, cuyo denominador sea racional. Cuando se
racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del
denominador.
Ejemplo:
1.
2.
3.
4.

31. Valor Absoluto
Para poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo. Si
utilizamos el conjunto de los números reales, podemos definir intervalos como
subconjuntos de este conjunto.En el entero −5, el valor absoluto es 5 y el signo es
negativo, En el entero 7 y el signo es positivo, En el entero 0, el valor absoluto es 0 y no
tiene signo.
Objetivos
* Dado un número real, obtener su valor absoluto.
* Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos números reales.
* Representar intervalos sobre la recta numérica.
* Dado un intervalo, identificar si es abierto, cerrado, semiabierto o semicerrado.
* Aplicar la definición de valor absoluto en operaciones binarias.
Todo número se caracteriza por dos elementos: su valor absoluto y su signo.
Tipos de Intervalos

32. Ejemplo:
El valor absoluto de todo número x se representa por IxI, y es un número no negativo.
Si se calcula el valor absoluto de la diferencia entre dos números reales, éste representa
la distancia que hay entre ellos. En general si a, b ∈R valor absoluto de A es la distancia
entre a y b.
Ejemplo:

33. Ecuaciones
Identidad
Una identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dosexpresiones
matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los valores de las variables
del conjunto referencial.
Ejemplo de Identidad o Igualdad:
Definición de Ecuación
Una ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera sólo para algún o
algunos valores de las variables del conjunto referencial.
Ejemplo:
x − 2 = 17, es una igualdad siempre y cuando = 19.
3x + 2 = 7, es una igualdad siempre y cuando x = 5/3
x2 − 1 = 0, es una igualdad siempre y cuando el valor absoluto |x| = 1.
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. Los valores de la
incógnita x que hacen que la ecuación se convierta en una proposición verdadera, se
denominan soluciones o raíces de la misma y a este proceso se lo denomina resolución
de la ecuación.
Una ecuación puede representarse con un predicado Pa(x),

34. Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal o de primer grado, corresponde al tipo más simple de ecuación,
pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:
Tipos de Ecuaciones
Por esta ocasión estudiaremos las lineales y cuadrática.
Ecuaciones Escuadratica
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede representarse con
un predicado de la forma:
donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar.
Se pueden encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática mediante factorización.
En el primer caso, se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuación como el
producto de dos factores lineales iguales a cero o estos factores. Las nuevas ecuaciones
son lineales y se las puede resolver separadamente, Finalmente, la solución de
estasecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuación
escuadrática.

35. Ejemplo:
1.
2.

36. Formula general para resolver Ecuaciones Cuadráticas
Interpretación del discriminante de una ecuación cuadrática ax2
+ bx + c = 0
▪ Si el discriminante es mayor que cero, existen dos soluciones reales y diferentes.
▪ Si el discriminante es igual a cero, hay una solución real duplicada.
▪ Si el discriminante es menor que cero, no existe solución real.
Desigualdad
Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresionesmatemáticas. Dichas
expresiones están separadas por alguno de lossiguientes símbolos: >, <, ≥, ≤.

37. Inecuaciones
Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y resolverla
significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado
constituye unaproposición verdadera.
La resolución de una inecuación involucra la aplicación de las propiedades de los
números reales analizados en este mismo capítulo, (Relación de Orden).
Es recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones, las cuales usualmente
corresponden a un intervalo.
Ejemplo de Inecuación
Inecuaciones Lineales
Una inecuación lineal es aquella que puede representarse con un predicado definido en
el conjunto de los reales:
p(x): ax + b >0
p(x): ax – b < 0