1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA NARANJAL
Vereda Naranjal – Quimbaya Quindío
TRIGONOMETRIA – TALLER MAT 10 - P1 - 1
¿Qué es trigonometría?
La palabra trigonometría indica el objetivo original de
esta rama de las matemáticas. Las tres palabras
griegas de la cuales proviene significan “tres-ángulosmedida” indica que, cuando se adoptó el nombre, el
tema que principalmente trataba estaba relacionado
con las medidas de los triángulos.
El triángulo
La suma de los tres ángulos internos de un triángulo
siempre dará 180º. Ejemplo hallar el ángulo que falta en
el siguiente triángulo:
Formula de distancia
La distancia entre dos puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2), se
obtiene de la siguiente expresión:
= ( − ) +( − )
Solución: sabemos que la suma de los ángulos
internos da 180º, por tanto:
X+90º+30º=180º,
despejo X obteniendo:
X=180º-90º-30º
X= 60º
Cuadrantes del plano cartesiano
El plano cartesiano
Las funciones trigonométricas se utilizan en la
actualidad para describir y analizar fenómenos
periódicos como mareas, ondas sonoras y voltaje
eléctrico.
El concepto básico para poder aplicar la trigonometría
en casos como los anteriores, es el sistema de
coordenadas dentro de un plano.
Un ejemplo de aplicación del sistema de coordenadas
se encuentra en la geología, cuando hay que
representar gráficamente los sitios de exploración
petrolera cercanos a la costa. Hallar la distancia entre B
y C.
Los ángulos
Llamamos ángulo a la región comprendida entre dos
semirrectas que tienen el punto de origen en común. A
ese punto se le llama vértice y a cada semirrecta se le
llama lado inicial y lado final.
= √52
= 7.21
La cantidad y dirección de rotación es la medida del
ángulo, cuya unidad más común es el grado. Si la
Docente: José Noé Sánchez Sierra

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rotación es en el sentido contrario a las manecillas del
reloj, la medición es positiva; pero si la rotación es en el
sentido de las manecillas del reloj, la medición será
negativa. Si la rotación es completa en el sentido
contrario a las manecillas del reloj, se tendrá un ángulo
cuya medida será 360º, con los lados inicial y final
coincidentes.
¿CÓMO SE NOMBRAN LOS ÁNGULOS?
Podemos nombrar un ángulo de dos maneras:
a) con la letra mayúscula que representa su vértice y el
símbolo encima, o
b) con tres letras mayúsculas y el símbolo encima:
las dos letras de los extremos representan a los lados y
la de en medio al vértice.
Se representa como
o
y
son ángulos externos.
2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un lado y
el vértice
.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Según su amplitud, un ángulo puede ser:
 Agudo: si es menor de 90°.
 Recto: si es igual a 90°.
 Obtuso: si es mayor de 90°.
Un ángulo recto (90° de amplitud) tiene sus dos lados
perpendiculares.
y
son ángulos consecutivos.
3. Ángulos adyacentes: si además de ser
consecutivos, tienen el lado no común sobre la misma
recta.
y
son ángulos adyacentes.
4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el vértice
común, y los lados de uno son prolongación de los
lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice
tienen la misma amplitud, son iguales.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOS
Según las posiciones que presenten dos ángulos entre
sí, estos pueden ser:
1. Ángulos externos: si no tienen nada en común.
Docente: José Noé Sánchez Sierra

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y
son ángulos opuestos por el vértice.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y
SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si su suma es igual
a 90°:
Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno
negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar
360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo
es medido en radianes.
Ejemplo 1:
Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo
con un ángulo de 30°.
30° – 360° = –330°
30° + 360° = 390°
Un ángulo de –330° y un ángulo de 390° son
coterminales con un ángulo de 30°.
Ejemplo 2:
Encuentre el ángulo coterminal positivo más pequeño
para el ángulo 840º
840º - 360º = 480º como aún es mayor que 360º
Vuelvo a restar 480º - 360º = 120º.
Medida de ángulos
y
son complementarios: + = 90°.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a
180°:
y
son suplementarios:
+
= 180°.
Ángulos coterminales
Los ángulos coterminales son ángulos en posición
estándar (ángulos con el lado inicial en el eje positivo
de las x) que tienen un lado terminal común. Por
ejemplo 30°, –330° y 390° son todos coterminales.
La medida de un ángulo es una magnitud que depende
de la amplitud y el sentido de la rotación. Para medir
ángulos se utilizan tres sistemas diferentes: el sistema
centesimal, el sistema cíclico o circular y el sistema
centesimal.
Sistema circular.- En este sistema se usa como
unidad el ángulo llamado "radián". Un radián es el
ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud
es igual al radio de la circunferencia.
Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes,
es decir 6.28 radianes, dándole a el valor de 3.14
Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360°
entre 2 )
Sistema sexagesimal.- Se considera a la
circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada
grado se considera dividido en 60 partes iguales
llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales
llamadas segundos.
Los símbolos para esta unidad son:
grado °, minuto ´, segundo "
Equivalencia entre grados y radianes
Las dos relaciones siguientes permiten calcular de
grados a radianes o viceversa la medida de un ángulo.
360º grados = 2 π radianes
180º grados = π radianes
Ejemplo 1:
Un ángulo mide 45º, calcular su amplitud en radianes.
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Se plantea la proporción:
=
180º 45º
45º
=
=
180º 4
El ángulo de 45º equivale a radianes.
Ejemplo 2:
Expresar en grados sexagesimales la amplitud de un
ángulo de radianes.
Se plantea la proporción:
=
5
3
5
(180º)
= 3
180º
12. Para cada rotación encuentre la medida del ángulo
y dibújelo en un plano cartesiano.
a. ¼ de rotación en sentido de las manecillas
del reloj.
b. 3/4 de rotación en sentido contrario al de
las manecillas del reloj.
c. 5/12 de rotación en sentido de las
manecillas del reloj.
d. 3/10 de rotación en sentido contrario al de
las manecillas del reloj.
13. Escribe el equivalente en grados del ángulo medido
en radianes:
b)
a)
c)
d)
e)
Actividad
Copie las preguntas y resuelva
1. Explique a qué se refiere el término trigonometría
2. Dé mínimo cinco ejemplos de cálculos de ángulos
de un triángulo.
3. Encuentre la distancia en metros entre cada par de
puntos dados. Grafique en cada caso el plano
cartesiano
a. A(-5, 4); B(3, -2)
b. C(-2, 3); D(-4, -1)
c. E(-2, 5); F(6, -1)
d. G(10, -5); H(-8, -3)
4. ¿Qué es un ángulo? Dibújelo
5. Dibuje dos ejemplos de ángulos positivos y dos de
ángulos negativos.
6. Indique en que cuadrante se encuentran los
siguientes ángulos:
d) −340°
a) −15°
b) −45°
c) 175°
e) 142°
f)
130°
g) −160°
j)
180°
k) 270°
l)
g)
h)
j)
k)
l)
14. Escribe el equivalente en radianes de cada ángulo
indicado:
d) 340°
a) 15°
b) 45°
c) 75°
e) 42°
i)
210°
f)
30°
g) 60°
h) 285°
j)
18°
k) 90°
l)
i)
45°
15. En un plano cartesiano, construye los ángulos
dados en el punto anterior. Dibuja un plano para
cuatro ángulos. Utilice transportador.
Tarea – Proyecto
Elaborar un juego para tipo dominó sobre radianes y
ángulos.
h) 28°
−20°
f)
i)
= 300º
135°
7. ¿Cómo se nombran los ángulos?
8. ¿Cómo se clasifican los ángulos? Elabore los
dibujos.
9. Explique y dibuje las posiciones relativas de dos
ángulos.
10. Explique qué son ángulos complementarios y
suplementarios. De cinco ejemplos de cada uno.
11. Explique ángulos coterminarles, de cinco ejemplos.
Docente: José Noé Sánchez Sierra