Este documento proporciona una introducción a los vectores en el espacio, incluyendo definiciones de vectores, sus características y tipos. Explica el álgebra vectorial y operaciones comunes con vectores como la adición y el producto escalar. También cubre ecuaciones paramétricas, incluyendo ejemplos y cómo graficar ecuaciones dadas en forma paramétrica. Por último, describe cómo calcular la longitud del arco para curvas dadas mediante ecuaciones paramétricas.

1. VECTORES EN EL ESPACIO
Autor:
Joselin Gómez
Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”
Facultad de arquitectura
Sede Barcelona
Junio 2019

2. Introducción 2
Para poder comenzar a analizar todo lo que es el algebra vectorial inicialmente se debe tener un
conocimiento acerca de lo que son los vectores, definido básicamente en que es uno de los conocimientos de
las matemáticas que provienen de la física. En la distingue entre magnitudes escalares y magnitudes
vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se
consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en
que se aplican.
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
• Origen o también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del
vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
• Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene
• Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado
de la línea de acción se dirige el vector.

3. Álgebra vectorial 3
El álgebra vectorial es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como
vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios
vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas
áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales,
investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
¿Qué es el algebra vectorial?

4. Tipos de vectores
Según convenga para el propósito particular, se usan vectores de distintos tipos:
• Vector deslizante. Puede considerarse en cualquier posición dentro de una recta ("recta de
acción"). Dos vectores de igual módulo y sentido sobre la misma recta, son el mismo vector
deslizante.
• Vector ligado. Está asociado a un determinado punto del espacio (punto de aplicación).
• Vector libre. no se considera asociado a ningún punto ni recta particular.
Circunstancialmente puede convenir considerar el vector libre de igual módulo y dirección que un
vector ligado (o deslizante). Decimos que se trata del "vector libre asociado" al vector ligado (o
deslizante). Decimos que dos vectores son "equipolentes" si tienen el mismo vector libre asociado.

5. Álgebra vectorial 5
vector libre Vector deslizante
vector ligado

6. Álgebra vectorial 6
Operaciones con vectores
Las operaciones más comunes con vectores son las siguientes:
Adición de vectores.
Producto de un vector por un escalar.
Producto escalar de dos vectores.
Producto vectorial de dos vectores.
Probablemente recordarás la definición de estas operaciones, y sus expresiones en función de unas
componentes cartesianas de los vectores. En principio, esas operaciones se definen para vectores libres,
aunque pueden definirse para vectores deslizantes o ligados bajo ciertas circunstancias. Por ejemplo, la
adición de vectores deslizantes está definida si las rectas de acción de los vectores pasan por un punto.
Un sistema de vectores es un conjunto cualquiera de vectores del mismo tipo. Por tanto, hay sistemas de
vectores ligados, deslizantes y libres. Siempre hay que tener en cuenta que el uso de uno u otro tipo de
vectores está en función de su utilidad para el problema en consideración.

7. Álgebra vectorial 7
Adición Producto de un vector por un escalar
Producto vectorial de dos vectores.

8. Algebra vectorial 8
Propiedades de los vectores
Entre las principales propiedades de los vectores se encuentran las siguientes:
Vectores equipolentes
Son aquellos vectores libres que tienen igual módulo, dirección (o estas son paralelas) y sentido que un
vector deslizante o un vector fijo.
Vectores equivalentes
Ocurre cuando dos vectores tienen la misma dirección (o son paralelas), el mismo sentido, y a pesar de tener
diferentes módulos y puntos de aplicación, estos provocan efectos iguales.
Igualdad de vectores
Estos tienen igual módulo, dirección y sentido, aun cuando sus puntos de partida son diferentes, lo que
permite que un vector paralelo se traslade a sí mismo sin afectarlo.

9. Álgebra vectorial 9
Vectores opuestos
Son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, pero su sentido es opuesto.
Vector unitario
Es aquel en el que el módulo es igual a la unidad (1). Este se obtiene al dividir el vector por su módulo y es
utilizado para determinar la dirección y sentido de un vector, bien sea en el plano o en el espacio, utilizando los
vectores base o unitarios normalizados
Vector nulo
Es aquel cuyo módulo es igual a 0; es decir, su punto de origen y extremo coinciden en un mismo punto.

10. Álgebra vectorial 10
Componentes de un vector
Las componentes de un vector son aquellos valores de las proyecciones del vector sobre los ejes del sistema
de referencia; dependiendo de la descomposición del vector, que puede ser en ejes de dos o tres dimensiones,
se obtendrán dos o tres componentes, respectivamente.
Las componentes de un vector son números reales, que pueden ser positivos, negativos o incluso cero (0).
De esa forma, si se tiene un vector Ā, con origen en un sistema de coordenadas rectangulares en el plano xy
(bidimensional), la proyección sobre el eje x es Āx y la proyección sobre el eje y es Āy. Así, el vector se
expresará como la suma de sus vectores componentes.

11. Ecuaciones paramétricas 11
¿Qué son las ecuaciones
paramétricas?
Sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en
el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una
variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función
dependiente del parámetro.

12. Ecuaciones paramétricas 12

13. Ecuaciones paramétricas 13
Ejemplos
Sea 3x - 2y – 5 = 0 la ecuación general de una recta, entonces caben las ecuaciones
paramétricas:
𝑥 = 2𝑡 + 5
𝑦 = 3𝑡 + 5
Dada la ecuación 𝑦 = 𝑥2 Una parametrización tendrá la forma
𝑥 = 𝑢 𝑡
𝑦 = 𝑣 𝑡
Una parametrización posible seria
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑡2
𝑡 ∈ 𝑅

14. Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en
donde x e y equivaliesen a 2U y 4U² con U  R , respectivamente, sería igualmente válida.
La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del
parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva
aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1
Ecuaciones paramétricas 14

15. Ecuaciones paramétricas 15
Grafica de ecuaciones paramétricas

16. Ecuaciones paramétricas 16
Para el caso (a), cuando el parámetro varía entre [0,1], el rango de x es [1,2] y el de y es [-1,1]. Sólo
con este hecho se puede ajustar la elección a la gráfica paramétrica número III. Para verificar si es
compatible la elección se observa que la parte superior de la curva es obtenida cuando se varía el
parámetro entre [0,1/2] y se alcanza un máximo para el valor de 1/4. La parte inferior se traza
cuando el parámetro varía entre [1/2,1] y el mínimo se alcanza para el valor de 3/4. Ya no hay duda
de la elección. La expresión funcional de x es x(t) = -4t2 + 4t + 1 y la de y es y(t) = sen(2πt).

17. Para el caso (b) el rango de x es [-2,2] al igual que para y. Eso excluye inmediatamente la gráfica de
IV. El patrón periódico permite escoger como la gráfica paramétrica de ajuste la I. Como x(t) =
2sen(4tπ) y y(t) = 2sen(6tπ)
Ecuaciones paramétricas 17
La opción (c) sólo permite que el rango de y sea positivo por lo que de las dos opciones restantes la
lógica es la IV. Esta curva paramétrica comienza a “devolverse” cuando se alcanza el primer
máximo de x(t)y sus valores se hacen negativos cuando los de la ecuación paramétrica x(t) también
lo hace. Para verificar si la elección es correcta se observa que x(t) se parece (obviamente no es
igual) a −2sen((3π/4)t) y y(t) es la porción superior de un círculo de radio 2, es decir, sqrt(4 -t2).

18. Ecuaciones paramétricas 18
Transformación de ecuaciones paramétricas a cartesianas

19. Ecuaciones paramétricas 19

20. Ecuaciones paramétricas 20
Longitud del arco en ecuaciones paramétricas
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o
camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta
longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada del
cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Como encontrarlo:
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma

21. Ecuaciones paramétricas 21
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando x y y son
funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para poder usar la integral de longitud de arco, primero
calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx, x y dy, y en términos de dt, t.
Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término dt² fuera del radical

22. Conocer a profundidad lo que son los vectores en el espacio representa una cantidad de información que
no se puede acortar sin embargo acá se resume de manera sistemática varios principios básicos de este
tema, partiendo por el algebra vectorial que ya se supo brevemente factores que pertenecen a el, como
son los tipos de vectores, las operaciones que se realizan con el, sus distintas propiedades y
componentes, dando así un inicio para comenzar a ahondar en las ecuaciones paramétricas, enfocándose
mas en el área de su graficación y el modo de hallar la longitud del arco
Conclusión 22

23. Bibliografías 23
D’Alessio torres V. J. (2016) Algebra vectorial: lidefer.com https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-
magnitudes-vectores/#Componentes_de_un_vector
Universidad de Valladolid (2018) Algebra vectorial: eii.uva
https://www.eii.uva.es/reic/RMgrado/algebra_vectorial.htm
Wikipedia (2018) longitud de arco: Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco
Guerrero J. (2013) el blog de jose guerrero: wordpress blogs
https://joseguerreroa.wordpress.com/2013/07/30/ajuste-de-graficos-de-ecuaciones-parametricas-x-ft-y-ft-con-
curvas-parametricas/

24. Anexos 24
Video: calculo de ecuaciones
paramétricas y vectoriales
Link:
https://www.youtube.com/watch?v=uTfg
zxabMbo
Video: suma y resta de vectores
Link:
https://www.youtube.com/watch?v=
nQnxMF1Jwso

25. Anexos 25
Video: grafica de vectores
Link:
https://www.youtube.com/watch?v=L
Wky_QWCxJQ
Video: longitud de la curva
Link:
https://www.youtube.com/watch?v=iC
NOdf6xF5I