En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables y algunas de las técnicas utilizadas en su cálculo. Después, basándose en este concepto, se establece la definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares y después se extiende la definición a los campos vectoriales

1. Derivación e integración de
funciones de varias variables
Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
universitaria
Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”
Facultad de arquitectura
Sede Barcelona
Autor:
Joselin Gómez
Junio 2019

2. Introducción
• En este apartado se estudia el concepto de límite de una función
de varias variables y algunas de las técnicas utilizadas en su
cálculo. Después, basándose en este concepto, se establece la
definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de
una función de varias variables. En principio se comienza con
campos escalares y después se extiende la definición a los campos
vectoriales

3. Limite y continuidad de funciones de varias
variables
Antes de comenzar con los campos escalares conviene recordar la definición de límite en
un
punto de una función real de variable real y = f (x) de la forma:
f :D⊂ ℝ→ℝ
donde D=(a,b) es un intervalo abierto.
En este contexto se dice que dado x0 ∈D∪ {a,b} el límite de la función y = f (x), cuando x
tiende a 0
x , es L si ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀x ∈D con 0
x ≠ x y tal que | − |< δ 0
x x se tenga
que | f (x) − L |< ε .

4. Limite y continuidad de funciones de varias
variables
NOTAS: 1ª. Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de
proximidad, entre los valores de la variable x con 0 x y los de la función f (x) con L.
2ª. También es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún método
para calcular el límite de una función en un punto. La definición sirve, no obstante, para
verificar si dicho límite tiene un valor de terminado.
3ª. También se debe destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye el
valor ( ) 0 f x de la función en dicho punto.
Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de
proximidad en el conjunto ℝ al espacio ℝ 𝑛
Para ello se introduce la definición de bola
abierta en ℝ 𝑛
(que equivale al concepto de entrono de un punto en ℝ)

5. Limite y continuidad de funciones de varias
variables
• Casos Particulares:
• Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R es una función real de variable real.
• Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ R n → R es una función real de n variables o de variable
vectorial.
• Si n = 1, m > 1, f : A ⊂ R → R m es una función vectorial de variable real.
• Si n > 1, m > 1, f : A ⊂ R n → R m es una función vectorial de variable vectorial.
• Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R Gráfica de f : (x, y) ∈ R 2/y = f(x)
• Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ R n → R Gráfica de f : (x1, x2, · · · , xn, y) ∈ R n+1/y = f(x1, x2,
· · · , xn) n = 2: (x, y, z) ∈ R 3/z = f(x, y)

6. Limite y continuidad de funciones de varias
variables
DEF. Se dice que f : A ⊂ R n → R m es continua en ~a ∈ A si:
1 ~a ∈ Ais(A) ⊂ A o
2 ~a ∈ A ′ tal que:
2.i) existe lim ~x→~a f(~x) =~l
2.ii) ~l = f(~a)
PROP. Se dice que f : A ⊂ R n → R m es continua en ~a ∈ A si sus m funciones componentes
lo son

7. Limite y continuidad de funciones de varias
variables
Propiedades
1) Los polinomios de varias variables son continuos en ℝ 𝑛
2) La suma, producto y cociente de funciones continuas es continua
3) La composición y la restricción de funciones continuas es otra función continua
4) La imagen continua de un conjunto compacto es otro conjunto compacto

8. Derivada de funciones de varias variables
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar
este concepto en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una
función de la forma f :I⊂ ℝ→ℝ , donde I⊂ℝ es un intervalo abierto, y x0 ∈ I un punto de
dicho intervalo, se define la derivada de f en 0 x como el límite:

9. Derivada de funciones de varias variables
Desde el punto de vista geométrico, f’ (𝑥0) corresponde a la pendiente de la recta
tangente
a la gráfica de la función f (x) en el punto,( 𝑥0 𝑓 𝑥0 ) por tanto, mide la mayor o menor
inclinación de la gráfica de la función en ese punto. La pendiente de la recta tangente es
el valor de
la tangente del ángulo que forma con la horizontal.

10. Derivadas parciales
En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la
derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las
derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones
analíticas, física, matemática, etc.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera
de las siguientes notaciones equivalentes:

11. Derivadas parciales
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de
la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano
formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje
que representa los valores de la función.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la
dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos
indica hacia donde hay mayor variación en la función.

12. Derivadas parciales
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente
es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor
de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable
cerca de a. En este caso, f es una función C1.
De la definición propuesta se infiere que las reglas para calcular las derivadas parciales son
las mismas que se usan para hallar la derivada de las funciones de una variable, es
necesario , solo, tener en cuenta , respecto a qué variable se plantea la derivada.

13. Diferencial total
En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales
corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes)
son los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede
ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n,
donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si z=z (x,y)
una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

14. Gradiente
En análisis matemático (cálculo avanzado), particularmente en análisis vectorial, el
gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado 𝛻𝑓 de un campo escalar 𝑓,
es un campo vectorial. El vector gradiente de 𝑓 evaluado en un punto genérico 𝑥 del
dominio de 𝑓, 𝛻𝑓(𝑥) indica la dirección en la cual el campo 𝑓 varía más rápidamente y su
módulo representa el ritmo de variación de 𝑓 en la dirección de dicho vector gradiente.

15. Gradiente
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla 𝛻 seguido de la función
(atención a no confundir el gradiente con la divergencia, esta última se denota con un
punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede
representarse mediante 𝛻𝑓, o usando la notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 .
La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables
es el concepto de matriz Jacobiana

16. Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a
inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector
sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el
área tiende a cero (Ecuación 1).

17. Rotacional
Aquí, 𝛻𝑠 es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El
resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su
componente según la dirección normal a 𝛻𝑠 y orientada según la regla de la mano derecha.
Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres
curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y
diferenciable en todos sus puntos.

18. Rotacional
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de
la siguiente ecuación:

19. Rotacional
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden
entonces el rot (𝛻f) =0
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
• Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo ℝ3
cuyas componentes
tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial
conservativo.

20. Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo
saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido
solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre
distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como
el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del
punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la
ecuación

21. Divergencia
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo
magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y 𝛻 es el operador nabla, que
se calcula de la siguiente forma:

22. Divergencia
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere
decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o
manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del
volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto
(diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o
sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula

23. Divergencia
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se
caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen
extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno
de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.

24. Plano tangente y recta normal
Hemos visto muchos ejemplos de la utilidad de las rectas normales en aplicaciones con
curvas. Las rectas normales son igualmente importantes en el análisis de superficies y
sólidos. Por ejemplo, consideremos la colisión de dos bolas de billar. Cuando se le da el
golpe a una bola detenida, en un punto P de su superficie, esta se mueve en la recta de
impacto determinada por P y el centro de la bola. El impacto puede suceder de dos
maneras. Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto, esta se para en seco y cede
todo su momento a la bola detenida, como se muestra en la figura 6.1. Este tipo de disparo
requiere precisión, ya que la recta de impacto debe coincidir exactamente con la dirección
de la bola lanzada. Frecuentemente, la bola lanzada se desvía a un lado u otro, reteniendo
parte de su momento. La parte de momento que se trasmite a la bola detenida siempre se
orienta sobre la línea de impacto, con independencia de la dirección de la bola lanzada,
como se indica en la figura 6.2. Llamamos a esta recta de impacto, recta normal a la
superficie de la bola en el punto P.

25. Plano tangente y recta normal
n el proceso de encontrar una recta normal a una superficie, se nos da la posibilidad de
resolver el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una superficie
dada por F(x,y,z)=0, y sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S.

26. Plano tangente y recta normal
Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial
Entonces, para todo t,
Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que
En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es =(gradiente).(vector tangente)

27. Conclusión
• La derivación e integración representan cálculos de importancia
para todo el que quiera ahondar en algún problema matemático,
para ello se parte por el tema pasado de funciones de varias
variables, esta vez se incluyo el tema de limites de dichas
funciones y su resolución, por otra parte también se tomo en
cuenta la continuidad de esos limites así como su derivada,
secuencialmente también se estudio lo que es derivadas parciales,
diferencial total, gradiente, rotacional, divergencia, plano
tangente y recta normal.

28. Bibliografía
Medina Luis (2019) plano tangente y recta normal
https://www.academia.edu/11468228/6_6_PLANO_TANGENTE_Y_RE
CTA_NORMAL
Rúa maxwell (2011) rotacional y divergencia
http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/
magnetismo_rotacionalydivergencia.htm
Wikipedia (2019) gradiente, diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente
https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total

29. Anexos
• https://youtu.be/pWccSRU3ntM
• https://www.youtube.com/watch?v=zDeeJBKiAfI
• https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48
• https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg